Widths and rigidity of unconditional sets and random vectors
- Authors: Malykhin Y.V.1,2, Ryutin K.S.2,3
-
Affiliations:
- Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences, Moscow
- Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics
- Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics
- Issue: Vol 89, No 2 (2025)
- Pages: 45-59
- Section: Articles
- URL: https://journals.rcsi.science/1607-0046/article/view/303946
- DOI: https://doi.org/10.4213/im9620
- ID: 303946
Cite item
Open Access
Access granted
Subscription Access
Abstract
We prove that any unconditional set in $\mathbb{R}^N$ invariant under cyclicshifts of coordinates is rigid in $\ell_q^N$, $1\le q\le 2$, that is, it cannot be well approximated by linear spaces of dimension essentially smaller than $N$. We apply E. D. Gluskin's approach to the setting of averaged Kolmogorov widths of unconditional random vectors or vectors of independent mean zero random variables, and prove their rigidity. These results are obtained using a general lower bound for the averaged Kolmogorov width via weak moments of biorthogonal random vector. This paper continues the study of the rigidity initiated by the first author.We also provide several corollaries including new bounds for Kolmogorov widths of mixed norm balls.
Keywords
About the authors
Yuri Viatcheslavovich Malykhin
Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences, Moscow; Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics
Author for correspondence.
Email: malykhin-yuri@yandex.ru
Candidate of physico-mathematical sciences, no status
Konstantin Sergeevich Ryutin
Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics; Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics
Email: kriutin@yahoo.com
Candidate of physico-mathematical sciences, no status
References
- Ю. В. Малыхин, “Поперечники и жесткость”, Матем. сб., 215:4 (2024), 117–148
- S. V. Lokam, “Complexity lower bounds using linear algebra”, Found. Trends Theor. Comput. Sci., 4:1-2 (2008), 1–155
- J. Alman, R. Williams, “Probabilistic rank and matrix rigidity”, STOC'17 Proceedings of the 49th annual ACM SIGACT symposium on theory of computing (Montreal, QC, 2017), ACM, New York, 2017, 641–652
- Yu. Malykhin, “Matrix and tensor rigidity and $L_p$-approximation”, J. Complexity, 72 (2022), 101651, 13 pp.
- G. G. Lorentz, M. von Golitschek, Y. Makovoz, Constructive approximation. Advanced problems, Grundlehren Math. Wiss., 304, Springer-Verlag, Berlin, 1996, xii+649 pp.
- В. М. Тихомиров, “Теория приближений”, Анализ – 2, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 14, ВИНИТИ, М., 1987, 103–260
- A. Pinkus, $n$-widths in approximation theory, Ergeb. Math. Grenzgeb. (3), 7, Springer-Verlag, Berlin, 1985, x+291 pp.
- Е. Д. Глускин, “Пересечения куба с октаэдром плохо аппроксимируются подпространствами малой размерности”, Приближение функций специальными классами операторов, Межвуз. сб. науч. тр., Мин. прос. РСФСР, Вологодский гос. пед. ин-т, Вологда, 1987, 35–41
- Э. М. Галеев, “Поперечники по Колмогорову классов периодических функций одной и нескольких переменных”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 54:2 (1990), 418–430
- Э. М. Галеев, “Поперечники по Колмогорову некоторых конечномерных множеств в смешанной норме”, Матем. заметки, 58:1 (1995), 144–148
- Э. М. Галеев, “Поперечники функциональных классов и конечномерных множеств”, Владикавк. матем. журн., 13:2 (2011), 3–14
- А. Д. Изаак, “Поперечники по Колмогорову в конечномерных пространствах со смешанной нормой”, Матем. заметки, 55:1 (1994), 43–52
- А. А. Васильева, “Колмогоровские поперечники пересечения двух весовых классов Cоболева на отрезке с одинаковой гладкостью”, Тр. ИММ УрО РАН, 29, № 4, 2023, 55–63
- Ю. В. Малыхин, К. С. Рютин, “Произведение октаэдров плохо приближается в метрике $ell_{2,1}$”, Матем. заметки, 101:1 (2017), 85–90
- B. Green, “On the width of transitive sets: bounds on matrix coefficients of finite groups”, Duke Math. J., 169:3 (2020), 551–578
- A. Sah, M. Sawhney, Yufei Zhao, “The cylindrical width of transitive sets”, Israel J. Math., 253:2 (2023), 647–672
- V. D. Milman, G. Schechtman, Asymptotic theory of finite dimensional normed spaces. Isoperimetric inequalities in Riemannian manifolds, Lecture Notes in Math., 1200, Springer-Verlag, Berlin, 1986, viii+156 pp.
- S. V. Astashkin, G. P. Curbera, “Random unconditional convergence and divergence in Banach spaces close to $L^1$”, Rev. Mat. Complut., 31:2 (2018), 351–377
- С. В. Асташкин, Ф. А. Сукочев, “Независимые функции и геометрия банаховых пространств”, УМН, 65:6(396) (2010), 3–86
- А. А. Васильева, “Оценки колмогоровских поперечников пересечения двух шаров в смешанной норме”, Матем. сб., 215:1 (2024), 82–98
- A. A. Vasil'eva, “Kolmogorov and linear widths of the weighted Besov classes with singularity at the origin”, J. Approx. Theory, 167 (2013), 1–41
- S. Brazitikos, A. Giannopoulos, P. Valettas, B.-H. Vritsiou, Geometry of isotropic convex bodies, Math. Surveys Monogr., 196, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2014, xx+594 pp.
Supplementary files
