Widths and rigidity of unconditional sets and random vectors

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We prove that any unconditional set in $\mathbb{R}^N$ invariant under cyclicshifts of coordinates is rigid in $\ell_q^N$, $1\le q\le 2$, that is, it cannot be well approximated by linear spaces of dimension essentially smaller than $N$. We apply E. D. Gluskin's approach to the setting of averaged Kolmogorov widths of unconditional random vectors or vectors of independent mean zero random variables, and prove their rigidity. These results are obtained using a general lower bound for the averaged Kolmogorov width via weak moments of biorthogonal random vector. This paper continues the study of the rigidity initiated by the first author.We also provide several corollaries including new bounds for Kolmogorov widths of mixed norm balls.

About the authors

Yuri Viatcheslavovich Malykhin

Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences, Moscow; Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics

Author for correspondence.
Email: malykhin-yuri@yandex.ru
Candidate of physico-mathematical sciences, no status

Konstantin Sergeevich Ryutin

Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics; Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics

Email: kriutin@yahoo.com
Candidate of physico-mathematical sciences, no status

References

  1. Ю. В. Малыхин, “Поперечники и жесткость”, Матем. сб., 215:4 (2024), 117–148
  2. S. V. Lokam, “Complexity lower bounds using linear algebra”, Found. Trends Theor. Comput. Sci., 4:1-2 (2008), 1–155
  3. J. Alman, R. Williams, “Probabilistic rank and matrix rigidity”, STOC'17 Proceedings of the 49th annual ACM SIGACT symposium on theory of computing (Montreal, QC, 2017), ACM, New York, 2017, 641–652
  4. Yu. Malykhin, “Matrix and tensor rigidity and $L_p$-approximation”, J. Complexity, 72 (2022), 101651, 13 pp.
  5. G. G. Lorentz, M. von Golitschek, Y. Makovoz, Constructive approximation. Advanced problems, Grundlehren Math. Wiss., 304, Springer-Verlag, Berlin, 1996, xii+649 pp.
  6. В. М. Тихомиров, “Теория приближений”, Анализ – 2, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 14, ВИНИТИ, М., 1987, 103–260
  7. A. Pinkus, $n$-widths in approximation theory, Ergeb. Math. Grenzgeb. (3), 7, Springer-Verlag, Berlin, 1985, x+291 pp.
  8. Е. Д. Глускин, “Пересечения куба с октаэдром плохо аппроксимируются подпространствами малой размерности”, Приближение функций специальными классами операторов, Межвуз. сб. науч. тр., Мин. прос. РСФСР, Вологодский гос. пед. ин-т, Вологда, 1987, 35–41
  9. Э. М. Галеев, “Поперечники по Колмогорову классов периодических функций одной и нескольких переменных”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 54:2 (1990), 418–430
  10. Э. М. Галеев, “Поперечники по Колмогорову некоторых конечномерных множеств в смешанной норме”, Матем. заметки, 58:1 (1995), 144–148
  11. Э. М. Галеев, “Поперечники функциональных классов и конечномерных множеств”, Владикавк. матем. журн., 13:2 (2011), 3–14
  12. А. Д. Изаак, “Поперечники по Колмогорову в конечномерных пространствах со смешанной нормой”, Матем. заметки, 55:1 (1994), 43–52
  13. А. А. Васильева, “Колмогоровские поперечники пересечения двух весовых классов Cоболева на отрезке с одинаковой гладкостью”, Тр. ИММ УрО РАН, 29, № 4, 2023, 55–63
  14. Ю. В. Малыхин, К. С. Рютин, “Произведение октаэдров плохо приближается в метрике $ell_{2,1}$”, Матем. заметки, 101:1 (2017), 85–90
  15. B. Green, “On the width of transitive sets: bounds on matrix coefficients of finite groups”, Duke Math. J., 169:3 (2020), 551–578
  16. A. Sah, M. Sawhney, Yufei Zhao, “The cylindrical width of transitive sets”, Israel J. Math., 253:2 (2023), 647–672
  17. V. D. Milman, G. Schechtman, Asymptotic theory of finite dimensional normed spaces. Isoperimetric inequalities in Riemannian manifolds, Lecture Notes in Math., 1200, Springer-Verlag, Berlin, 1986, viii+156 pp.
  18. S. V. Astashkin, G. P. Curbera, “Random unconditional convergence and divergence in Banach spaces close to $L^1$”, Rev. Mat. Complut., 31:2 (2018), 351–377
  19. С. В. Асташкин, Ф. А. Сукочев, “Независимые функции и геометрия банаховых пространств”, УМН, 65:6(396) (2010), 3–86
  20. А. А. Васильева, “Оценки колмогоровских поперечников пересечения двух шаров в смешанной норме”, Матем. сб., 215:1 (2024), 82–98
  21. A. A. Vasil'eva, “Kolmogorov and linear widths of the weighted Besov classes with singularity at the origin”, J. Approx. Theory, 167 (2013), 1–41
  22. S. Brazitikos, A. Giannopoulos, P. Valettas, B.-H. Vritsiou, Geometry of isotropic convex bodies, Math. Surveys Monogr., 196, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2014, xx+594 pp.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Malykhin Y.V., Ryutin K.S.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».