Mathematical scattering theory in electromagnetic waveguides

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

A waveguide occupying a 3D domain $G$ with several cylindrical outlets to infinity is described bythe non-stationary Maxwell system with conductive boundary conditions. Dielectric permittivity and magnetic permeability are assumed to be positive definite matrices $\varepsilon(x)$ and $\mu(x)$ depending on a point $x$ in $G$. At infinity, in each cylindrical outlet, thematrix-valued functions converge with exponential rate to matrix-valued functions that do not depend on the axial coordinate of the cylinder.For the corresponding stationary problem with spectral parameter, we define continuous spectrum eigenfunctions and the scattering matrix. The non-stationary Maxwell system is extended up to an equation of the form $i \partial_t \mathcal{U}(x,t)=\mathcal{A}(x,D_x)\mathcal{U}(x,t)$ with elliptic operator $\mathcal{A}(x,D_x)$. We associate with the equation a boundary value problem and, for an appropriate couple of such problems, construct the scattering theory. We calculate the wave operators, define the scattering operator,and describe its relation to the scattering matrix. From the obtained results we extract information about the original Maxwell system.

About the authors

Boris Alekseevich Plamenevskii

St. Petersburg State University, Faculty of Physics

Email: boris.plamen@gmail.com

Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Aleksandr S. Poretskii

St. Petersburg State University, Faculty of Physics

Email: poras1990@list.ru

Candidate of physico-mathematical sciences

Oleg Vasil'evich Sarafanov

St. Petersburg State University, Faculty of Physics

Author for correspondence.
Email: saraf@math.nw.ru

Doctor of physico-mathematical sciences

References

  1. Б. А. Пламеневский, А. С. Порецкий, О. В. Сарафанов, “Математическая теория рассеяния в электромагнитных волноводах”, Докл. РАН. Физ., техн. науки, 503:1 (2022), 23–27
  2. П. Д. Лакс, Р. С. Филлипс, Теория рассеяния, Мир, М., 1971, 312 с.
  3. М. Рид, Б. Саймон, Методы современной математической физики, т. 3, Мир, М., 1982, 445 с.
  4. Д. Р. Яфаев, Математическая теория рассеяния. Общая теория, Изд-во С.-Петербург. ун-та, СПб., 1994, 423 с.
  5. D. R. Yafaev, Mathematical scattering theory. Analytic theory, Math. Surveys Monogr., 158, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2010, xiv+444 pp.
  6. D. Colton, R. Kress, Inverse acoustic and electromagnetic scattering theory, Appl. Math. Sci., 93, 3rd ed., Springer, New York, 2013, xiv+405 pp.
  7. P. Monk, Finite element methods for Maxwell's equations, Numer. Math. Sci. Comput., Oxford Univ. Press, New York, 2003, xiv+450 pp.
  8. М. Ш. Бирман, М. З. Соломяк, “Самосопряженный оператор Максвелла в произвольных областях”, Алгебра и анализ, 1:1 (1989), 96–110
  9. Л. А. Вайнштейн, Теория дифракции и метод факторизации, Сов. радио, М., 1966, 431 с.
  10. Е. И. Нефедов, А. Т. Фиалковский, Асимптотическая теория дифракции электромагнитных волн на конечных структурах, Наука, М., 1972, 204 с.
  11. Р. Миттра, С. Ли, Аналитические методы теории волноводов, Мир, М., 1974, 328 с.
  12. P. Exner, H. Kovar̆ik, Quantum waveguides, Theoret. Math. Phys., 22, Springer, Cham, 2015, xxii+382 pp.
  13. С. А. Назаров, Б. А. Пламеневский, Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей, Наука, М., 1991, 336 с.
  14. А. С. Ильинский, В. В. Кравцов, А. Г. Свешников, Математические модели электродинамики, Уч. пособ. для вузов, Высшая школа, М., 1991, 224 с.
  15. Т. Н. Галишникова, А. С. Ильинский, Метод интегральных уравнений в задачах дифракции волн, МАКС Пресс, М., 2013, 248 с.
  16. А. Н. Боголюбов, А. Л. Делицын, А. Г. Свешников, “О задаче возбуждения волновода с неоднородным заполнением”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 39:11 (1999), 1869–1888
  17. А. Н. Боголюбов, А. Л. Делицын, А. Г. Свешников, “Об условиях разрешимости задачи возбуждения радиоволновода”, Докл. АН СССР, 370:4 (2000), 453–456
  18. А. Л. Делицын, “О постановке краевых задач для системы уравнений Максвелла в цилиндре и их разрешимости”, Изв. РАН. Сер. матем., 71:3 (2007), 61–112
  19. П. Е. Краснушкин, Е. И. Моисеев, “О возбуждении вынужденных колебаний в слоистом радиоволноводе”, Докл. АН СССР, 264:5 (1982), 1123–1127
  20. Б. А. Пламеневский, А. С. Порецкий, “Система Максвелла в волноводах с несколькими цилиндрическими выходами на бесконечность и неоднородным анизотропным заполнением”, Алгебра и анализ, 29:2 (2017), 89–126
  21. C. I. Goldstein, “Eigenfunction expansions associated with the Laplacian for certain domains with infinite boundaries. I”, Trans. Amer. Math. Soc., 135 (1969), 1–31
  22. W. C. Lyford, “A two Hilbert space scattering theorem”, Math. Ann., 217:3 (1975), 257–261
  23. W. C. Lyford, “Spectral analysis of the Laplacian in domains with cylinders”, Math. Ann., 218:3 (1975), 229–251
  24. W. C. Lyford, “Asymptotic energy propagation and scattering of waves in waveguides with cylinders”, Math. Ann., 219:3 (1976), 193–212
  25. R. Picard, S. Seidler, “A remark on two Hilbert space scattering theory”, Math. Ann., 269:3 (1984), 411–415
  26. D. Krejčiřik, R. Tiedra de Aldecoa, “The nature of the essential spectrum in curved quantum waveguides”, J. Phys. A, 37:20 (2004), 5449–5466
  27. M. Melgaard, “Scattering properties for a pair of Schrödinger type operators on cylindrical domains”, Cent. Eur. J. Math., 5:1 (2007), 134–153
  28. R. B. Melrose, The Atiyah–Patody–Singer index theorem, Res. Notes Math., 4, A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 1993, xiv+377 pp.
  29. T. Christiansen, “Scattering theory for manifolds with asymptotically cylindrical ends”, J. Func. Anal., 131:2 (1995), 499–530
  30. R. Picard, “On the low frequency asymptotics in electromagnetic theory”, J. Reine Angew. Math., 354 (1984), 50–73
  31. T. Ohmura, “A new formulation on the electromagnetic field”, Progr. Theoret. Phys., 16:6 (1956), 684–685
  32. И. С. Гудович, С. Г. Крейн, Краевые задачи для переопределенных систем уравнений в частных производных, Дифференциальные уравнения и их применения. Тр. сем., 9, Ин-т физ. и матем. АН Лит.ССР, Вильнюс, 1974, 146 с.
  33. Б. А. Пламеневский, А. С. Порецкий, О. В. Сарафанов, “Математическая теория рассеяния в квантовых волноводах”, Докл. РАН, 489:2 (2019), 142–146
  34. Б. А. Пламеневский, А. С. Порецкий, О. В. Сарафанов, “Математическая теория рассеяния в квантовых и акустических волноводах”, Проблемы матем. анализа, 115 (2022), 87–110
  35. Т. Като, Теория возмущений линейных операторов, Мир, М., 1972, 740 с.
  36. B. A. Plamenevskii, “On spectral properties of elliptic problems in domains with cylindrical ends”, Nonlinear equations and spectral theory, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 220, Adv. Math. Sci., 59, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2007, 123–139
  37. М. С. Агранович, М. И. Вишик, “Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида”, УМН, 19:3(117) (1964), 53–161
  38. Б. А. Пламеневский, А. С. Порецкий, “О поведении волноводных матриц рассеяния в окрестности порогов”, Алгебра и анализ, 30:2 (2018), 188–237
  39. В. Г. Мазья, Пространства С. Л. Соболева, Изд-во Ленингр. ун-та, Л., 1985, 416 с.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Plamenevskii B.A., Poretskii A.S., Sarafanov O.V.

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).