A functional realization of the Gelfand–Tsetlin base
- Authors: Artamonov D.V.1
-
Affiliations:
- Lomonosov Moscow State University
- Issue: Vol 87, No 6 (2023)
- Pages: 3-34
- Section: Articles
- URL: https://journals.rcsi.science/1607-0046/article/view/147913
- DOI: https://doi.org/10.4213/im9150
- ID: 147913
Cite item
Open Access
Access granted
Subscription Access
Abstract
A realization of a finite dimensional irreducible representation of the Lie algebra $\mathfrak{gl}_n$ in the space of functions on the group $\mathrm{GL}_n$ is considered.It is proved that functions corresponding to Gelfand–Tsetlin diagrams are linear combinations of some new functions of hypergeometric type which are closely related to $A$-hypergeometric functions. These new functions are solution of a system of partial differential equations whichfollows from the Gelfand–Kapranov–Zelevinsky by an “antisymmetrization”. The coefficients in the constructed linear combination are hypergeometric constants, that is, they are values of some hypergeometric functions when instead of all arguments ones are substituted.Bibliography: 16 titles.
About the authors
Dmitrii Vyacheslavovich Artamonov
Lomonosov Moscow State University
Author for correspondence.
Email: artamonov.dmitri@gmail.com
Candidate of physico-mathematical sciences, Associate professor
References
- И. М. Гельфанд, М. Л. Цетлин, “Конечномерные представления группы унимодулярных матриц”, Докл. АН СССР, 71:5 (1950), 825–828
- G. E. Baird, L. C. Biedenharn, “On the representations of semisimple Lie groups. II”, J. Math. Phys., 4:12 (1963), 1449–1466
- Д. В. Артамонов, “Коэффициенты Клебша–Гордана для $mathfrak{gl}_3$ и гипергеометрические функции”, Алгебра и анализ, 33:1 (2021), 1–29
- П. А. Валиневич, “Построение базиса Гельфанда–Цетлина для представлений основной унитарной серии алгебры $sl_n(mathbb{C})$”, ТМФ, 198:1 (2019), 162–174
- V. K. Dobrev, P. Truini, “Polynomial realization of $U_q(mathrm{sl}(3))$ Gel'fand–(Weyl)–Zetlin basis”, J. Math. Phys., 38:7 (1997), 3750–3767
- V. K. Dobrev, A. D. Mitov, P. Truini, “Normalized $U_q(mathrm{sl}(3))$ Gel'fand–(Weyl)–Zetlin basis and new summation formulas for $q$-hypergeometric functions”, J. Math. Phys., 41:11 (2000), 7752–7768
- Д. В. Артамонов, “Базис типа Гельфанда–Цетлина для алгебры $mathfrak{sp}_4$ и гипергеометрические функции”, ТМФ, 206:3 (2021), 279–294
- Д. П. Желобенко, Компактные группы Ли и их представления, Наука, М., 1970, 664 с.
- И. М. Гельфанд, М. И. Граев, В. С. Ретах, “Общие гипергеометрические системы уравнений и ряды гипергеометрического типа”, УМН, 47:4(286) (1992), 3–82
- D. V. Artamonov, “Formula for the product of Gauss hypergeometric functions and applications”, J. Math. Sci. (N.Y.), 249 (2020), 817–826
- И. М. Гельфанд, А. В. Зелевинский, М. М. Капранов, “Гипергеометрические функции и торические многообразия”, Функц. анализ и его прил., 23:2 (1989), 12–26
- J. Kamnitzer, “Geometric constructions of the irreducible representations of $GL_n$”, Geometric representation theory and extended affine Lie algebras (Ottawa, 2009), Fields Inst. Commun., 59, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2011, 1–18
- V. Guillemin, S. Sternberg, “The Gelfand–Cetlin system and quantization of the complex flag manifolds”, J. Funct. Anal., 52:1 (1983), 106–128
- Т. М. Садыков, А. К. Цих, Гипергеометрические и алгебраические функции многих переменных, Наука, М., 2014, 408 с.
- E. Miller, B. Sturmfels, Combinatorial commutative algebra, Grad. Texts in Math., 227, Springer-Verlag, New York, 2005, xiv+417 pp.
- Р. Л. Грэхем, Д. Э. Кнут, О. Паташник, Конкретная математика. Основание информатики, Мир, М., 1998, 703 с.
