Uniqueness sets of positive measure for the trigonometric system
- Authors: Plotnikov M.G.1,2
-
Affiliations:
- Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics
- Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics
- Issue: Vol 86, No 6 (2022)
- Pages: 161-186
- Section: Articles
- URL: https://journals.rcsi.science/1607-0046/article/view/133904
- DOI: https://doi.org/10.4213/im9263
- ID: 133904
Cite item
Abstract
There exists a family $\mathcal{B}$ of one-to-one mappings $B \colon \mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ satisfying the condition $B(-n) \equiv -B(n)$ such that for each $B \in \mathcal{B}$ there exists a perfect uniqueness set of positive measure for the $B$-rearranged trigonometric system$\{\exp(iB(n)x)\}$. For a certain wider class of rearrangements of thetrigonometric system, the strengthened assertion holds from the Stechkin–Ul'yanovconjecture.
Keywords
About the authors
Mikhail Gennadevich Plotnikov
Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics; Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics
Email: mgplotnikov@gmail.com
Doctor of physico-mathematical sciences, no status
References
- Г. Кантор, Труды по теории множеств, пер. с нем., Классики науки, Наука, М., 1985, 431 с.
- A. S. Kechris, A. Louveau, Descriptive set theory and the structure of sets of uniqueness, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 128, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1987, viii+367 pp.
- R. Cooke, “Uniqueness of trigonometric series and descriptive set theory, 1870–1985”, Arch. Hist. Exact Sci., 45:4 (1993), 281–334
- А. Зигмунд, Тригонометрические ряды, т. I, Мир, М., 1965, 615 с.
- Н. К. Бари, Тригонометрические ряды, Физматгиз, М., 1961, 936 с.
- Н. Н. Холщевникова, “К теореме Валле-Пуссена о единственности представления функции тригонометрическим рядом”, Матем. сб., 187:5 (1996), 143–160
- J.-P. Kahane, Y. Katznelson, “Sur les ensembles d'unicite $U(varepsilon)$ de Zygmund”, C. R. Acad. Sci. Paris Ser. A-B, 277 (1973), A893–A895
- М. Г. Плотников, “Задачи восстановления интегрируемых функций и тригонометрических рядов”, Матем. сб., 212:6 (2021), 109–125
- С. Б. Стечкин, П. Л. Ульянов, “О множествах единственности”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 26:2 (1962), 211–222
- J. E. Coury, “Some results on lacunary Walsh series”, Pacific J. Math., 45:2 (1973), 419–425
- С. Ф. Лукомский, “Необходимые условия для множеств единственности рядов Уолша с лакунами”, Матем. сб., 133(175):4(8) (1987), 469–480
- С. В. Асташкин, Р. С. Суханов, “О некоторых свойствах хаоса Радемахера”, Матем. заметки, 91:5 (2012), 654–666
- M. Plotnikov, “On the Vilenkin–Chrestenson systems and their rearrangements”, J. Math. Anal. Appl., 492:1 (2020), 124391, 13 pp.
- G. Kozma, A. M. Olevskiĭ, “Cantor uniqueness and multiplicity along subsequences”, Алгебра и анализ, 32:2 (2021), 85–106
- П. Л. Ульянов, “Решенные и нерешенные проблемы теории тригонометрических и ортогональных рядов”, УМН, 19:1(115) (1964), 3–69
- Г. Г. Геворкян, “Теоремы единственности для простых тригонометрических рядов и их применение к кратным рядам”, Матем. сб., 212:12 (2021), 20–39
- N. Kholshchevnikova, V. Skvortsov, “On $U$- and $M$-sets for series with respect to characters of compact zero-dimensional groups”, J. Math. Anal. Appl., 446:1 (2017), 383–394
- N. Kholshchevnikova, “The union problem and the category problem of sets of uniqueness in the theory of orthogonal series”, Real Anal. Exchange, 44:1 (2019), 65–76
- С. Ф. Лукомский, “О множествах единственности кратных рядов Уолша для сходимости по кубам”, Матем. заметки, 109:3 (2021), 397–406
- Г. Г. Геворкян, “Теоремы единственности для одномерных и двойных рядов Франклина”, Изв. РАН. Сер. матем., 84:5 (2020), 3–19
- Г. Г. Геворкян, Л. А. Акопян, “Теоремы единственности кратных рядов Франклина, сходящихся по прямоугольникам”, Матем. заметки, 109:2 (2021), 206–218
- Г. Г. Геворкян, “Теоремы единственности рядов Франклина, сходящихся к интегрируемым функциям”, Матем. сб., 209:6 (2018), 25–46
- V. Skvortsov, “Recovering Banach-valued coefficients of series with respect to characters of zero-dimensional groups”, Ann. Univ. Sci. Budapest. Sect. Comput., 49 (2019), 379–397
- M. Plotnikov, “$mathcal V$-sets in the products of zero-dimensional compact abelian groups”, Eur. J. Math., 5:1 (2019), 223–240
- В. А. Скворцов, “Восстановление обобщенного ряда Фурье по его сумме на компактной нульмерной группе в неабелевом случае”, Матем. заметки, 109:4 (2021), 616–624
- J. M. Ash, Gang Wang, “Uniqueness questions for multiple trigonometric series”, Topics in harmonic analysis and ergodic theory, Contemp. Math., 444, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2007, 129–165
- J. O. Smith III, Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT), with audio applications, 2 ed., W3K Publishing, 2007, 306 pp.
- I. W. Selesnick, G. Schuller, “The discrete Fourier transform”, The transform and data compression textbook, Ch. 2, CRC Press LLC, Boca Raton, FL, 2001, 37–79
- Н. М. Коробов, Тригонометрические суммы и их приложения, Наука, М., 1989, 240 с.
- L. Carleson, “On convergence and growth of partial sums of Fourier series”, Acta. Math., 116 (1966), 135–157
- R. A. Hunt, “On the convergence of Fourier series”, Orthogonal expansions and their continuous analogues (Edwardsville, IL, 1967), Southern Illinois Univ. Press, Carbondale, IL, 1968, 235–255
- P. Sjölin, “An inequality of Paley and convergence a.e. of Walsh–Fourier series”, Ark. Mat., 7:6 (1969), 551–570
- N. Yu. Antonov, “Convergence of Fourier series”, East J. Approx., 2:2 (1996), 187–196
- П. Л. Ульянов, “О рядах по переставленной тригонометрической системе”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 22:4 (1958), 515–542
- J. M. Ash, Sh. T. Tetunashvili, “Uniqueness for multiple trigonometric and Walsh series with convergent rearranged square partial sums”, Proc. Amer. Math. Soc., 134:6 (2006), 1681–1686
- J. M. Ash, C. Freiling, D. Rinne, “Uniqueness of rectangularly convergent trigonometric series”, Ann. of Math. (2), 137:1 (1993), 145–166
- Н. Н. Холщевникова, “Объединение множеств единственности кратных рядов – Уолша и тригонометрических”, Матем. сб., 193:4 (2002), 135–160
- Ш. Т. Тетунашвили, “О некоторых кратных функциональных рядах и решение проблемы единственности кратных тригонометрических рядов для сходимости по Прингсхейму”, Матем. сб., 182:8 (1991), 1158–1176
- Л. Д. Гоголадзе, “К вопросу о восстановлении коэффициентов сходящихся кратных функциональных рядов”, Изв. РАН. Сер. матем., 72:2 (2008), 83–90
- Т. А. Жеребьeва, “Об одном классе множеств единственности для двойных тригонометрических рядов”, Матем. заметки, 87:6 (2010), 830–839
- J. Bourgain, “Spherical summation and uniqueness of multiple trigonometric series”, Internat. Math. Res. Notices, 1996:3 (1996), 93–107