One class of quasilinear elliptic type equations with discontinuous nonlinearities
- Authors: Pavlenko V.N.1, Potapov D.K.2
-
Affiliations:
- Chelyabinsk State University
- Saint Petersburg State University
- Issue: Vol 86, No 6 (2022)
- Pages: 143-160
- Section: Articles
- URL: https://journals.rcsi.science/1607-0046/article/view/133899
- DOI: https://doi.org/10.4213/im9175
- ID: 133899
Cite item
Open Access
Access granted
Subscription Access
Abstract
In a bounded domain $\Omega\subset \mathbb{R}^n$, a class of quasilinear elliptic type boundary problems with parameter anddiscontinuous nonlinearity is studied.This class of problems includes the H. J. Kuiper conductor heating problem in a homogeneous electric field.The topological method is applied to verify the existence of a continuum of generalized positive solutionsfrom the Sobolev space $W_p^2(\Omega)$ ($p>n$) connecting $(0,0)$ with $\infty$in the space $\mathbb R\times C^{1,\alpha}(\overline\Omega)$, $\alpha\in (0,(p-n)/p)$. A sufficient conditionfor semiregularity of generalized solutions of this problem is given.The constraints on the discontinuous nonlinearityare relaxed in comparison with those used by H. J. Kuiper and K. C. Chang.
About the authors
Vyacheslav Nikolaevich Pavlenko
Chelyabinsk State University
Email: pavlenko-vn@yandex.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor
Dmitriy Konstantinovich Potapov
Saint Petersburg State University
Email: d.potapov@spbu.ru
Candidate of physico-mathematical sciences, Associate professor
References
- Д. Гилбарг, Н. Трудингер, Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка, Наука, М., 1989, 464 с.
- М. А. Красносельский, А. В. Покровский, Системы с гистерезисом, Наука, М., 1983, 272 с.
- H. J. Kuiper, “On positive solutions of nonlinear elliptic eigenvalue problems”, Rend. Circ. Mat. Palermo (2), 20:2-3 (1971), 113–138
- М. А. Красносельский, А. В. Покровский, “Правильные решения уравнений с разрывными нелинейностями”, Докл. АН СССР, 226:3 (1976), 506–509
- В. Н. Павленко, Д. К. Потапов, “Существование полуправильных решений эллиптических спектральных задач с разрывными нелинейностями”, Матем. сб., 206:9 (2015), 121–138
- В. Н. Павленко, Д. К. Потапов, “Существование решений невариационной эллиптической краевой задачи с параметром и разрывной нелинейностью”, Матем. тр., 19:1 (2016), 91–105
- В. Н. Павленко, Д. К. Потапов, “Существование двух нетривиальных решений в задачах на собственные значения для уравнений с разрывными правыми частями при достаточно больших значениях спектрального параметра”, Матем. сб., 208:1 (2017), 165–182
- В. Н. Павленко, Д. К. Потапов, “Существование трех нетривиальных решений эллиптической краевой задачи с разрывной нелинейностью в случае сильного резонанса”, Матем. заметки, 101:2 (2017), 247–261
- В. Н. Павленко, Д. К. Потапов, “Об оценках спектрального параметра эллиптических краевых задач с разрывными нелинейностями”, Сиб. матем. журн., 58:2 (2017), 375–385
- В. Н. Павленко, Д. К. Потапов, “Задача Эленбааса об электрической дуге”, Матем. заметки, 103:1 (2018), 92–100
- В. Н. Павленко, Д. К. Потапов, “О свойствах спектра эллиптической краевой задачи с параметром и разрывной нелинейностью”, Матем. сб., 210:7 (2019), 145–170
- В. Н. Павленко, Д. К. Потапов, “Об одном классе эллиптических краевых задач с параметром и разрывной нелинейностью”, Изв. РАН. Сер. матем., 84:3 (2020), 168–184
- В. Н. Павленко, Д. К. Потапов, “О существовании трех нетривиальных решений резонансной эллиптической краевой задачи с разрывной нелинейностью”, Дифференц. уравнения, 56:7 (2020), 861–871
- В. Н. Павленко, Д. К. Потапов, “Положительные решения суперлинейных эллиптических задач с разрывными нелинейностями”, Изв. РАН. Сер. матем., 85:2 (2021), 95–112
- В. Н. Павленко, Д. К. Потапов, “Вариационный метод для эллиптических систем с разрывными нелинейностями”, Матем. сб., 212:5 (2021), 133–152
- В. Н. Павленко, Д. К. Потапов, “Существование полуправильных решений эллиптических систем с разрывными нелинейностями”, Матем. заметки, 110:2 (2021), 239–257
- H. J. Kuiper, “Eigenvalue problems for noncontinuous operators associated with quasilinear elliptic equations”, Arch. Ration. Mech. Anal., 53:2 (1974), 178–186
- И. В. Шрагин, “Условия измеримости суперпозиций”, Докл. АН СССР, 197:2 (1971), 295–298
- М. А. Красносельский, Положительные решения операторных уравнений, Физматгиз, М., 1962, 394 с.
- Kung-ching Chang, “Free boundary problems and the set-valued mappings”, J. Differential Equations, 49:1 (1983), 1–28
- С. Л. Соболев, Некоторые применения функционального анализа в математической физике, 3-е изд., перераб. и доп., Наука, М., 1988, 334 с.
- О. А. Ладыженская, Н. Н. Уральцева, Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа, 2-е изд., Наука, М., 1973, 576 с.
- В. Н. Павленко, “Управление сингулярными распределенными системами параболического типа с разрывными нелинейностями”, Укр. матем. журн., 46:6 (1994), 729–736
- Ю. Г. Борисович, Б. Д. Гельман, А. Д. Мышкис, В. В. Обуховский, Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений, 2-е изд., испр. и доп., Либроком, М., 2011, 224 с.
- H. J. Kuiper, W. R. Derrick, “Nonlinear ordinary and functional Sturm–Liouville problems”, Indiana Univ. Math. J., 25:2 (1976), 179–190
- J. T. Schwartz, Nonlinear functional analysis, Notes on Mathematics and its Applications, Gordon and Breach Science Publishers, New York–London–Paris, 1969, vii+236 pp.
Supplementary files
