On the standard conjecture for compactifications of Neron models of 4-dimensional Abelian varieties
- Authors: Tankeev S.G.1
-
Affiliations:
- Vladimir State University
- Issue: Vol 86, No 4 (2022)
- Pages: 192-232
- Section: Articles
- URL: https://journals.rcsi.science/1607-0046/article/view/133893
- DOI: https://doi.org/10.4213/im9135
- ID: 133893
Cite item
Abstract
We prove that, after lifting to some finite ramified covering of a smooth projective curve $C$, the Grothendieck standard conjecture of Lefschetz type holds for the Künnemann compactification of the Neron minimal model of a 4-dimensional principally polarized Abelian variety over the field of rational functions on the curve $C$ provided that the endomorphism ring of the generic geometric fibre of the Neron model coincides with the ring of integers, all bad reductions are semi-stable and have toric rank 1 and, for any places $\delta,\delta'\in C$ of bad reductions, the Hodge conjecture on algebraic cycles holds for the product $A_\delta\times A_{\delta'}$ of the Abelian varieties $A_\delta,A_{\delta'}$ which are the quotients of the connected components of neutral elements in special fibres of the Neron minimal model modulo toric parts.
About the authors
Sergey Gennadievich Tankeev
Vladimir State University
Email: tankeev@vlsu.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor
References
- A. Grothendieck, “Standard conjectures on algebraic cycles”, Algebraic geometry, Internat. colloq. (Tata Inst. Fund. Res., Bombay, 1968), Oxford Univ. Press, London, 1969, 193–199
- S. L. Kleiman, “Algebraic cycles and the Weil conjectures”, Dix exposes sur la cohomologie des schemas, Adv. Stud. Pure Math., 3, North-Holland, Amsterdam, 1968, 359–386
- С. Г. Танкеев, “О стандартной гипотезе для комплексных абелевых схем над гладкими проективными кривыми”, Изв. РАН. Сер. матем., 67:3 (2003), 183–224
- С. Г. Танкеев, “О численной эквивалентности алгебраических циклов на потенциально простых абелевых схемах простой относительной размерности”, Изв. РАН. Сер. матем., 69:1 (2005), 145–164
- С. Г. Танкеев, “Моноидальные преобразования и гипотезы об алгебраических циклах”, Изв. РАН. Сер. матем., 71:3 (2007), 197–224
- D. I. Lieberman, “Numerical and homological equivalence of algebraic cycles on Hodge manifolds”, Amer. J. Math., 90:2 (1968), 366–374
- С. Г. Танкеев, “О стандартной гипотезе типа Лефшеца для комплексных проективных трехмерных многообразий. II”, Изв. РАН. Сер. матем., 75:5 (2011), 177–194
- D. Arapura, “Motivation for Hodge cycles”, Adv. Math., 207:2 (2006), 762–781
- F. Charles, E. Markman, “The standard conjectures for holomorphic symplectic varieties deformation equivalent to Hilbert schemes of $K3$ surfaces”, Compos. Math., 149:3 (2013), 481–494
- О. В. Никольская, “Об алгебраических циклах на расслоенном произведении семейств K3 поверхностей”, Изв. РАН. Сер. матем., 77:1 (2013), 145–164
- О. В. Никольская, “Об алгебраических циклах на расслоенных произведениях неизотривиальных семейств регулярных поверхностей с геометрическим родом 1”, Модел. и анализ информ. систем, 23:4 (2016), 440–465
- С. Г. Танкеев, “О стандартной гипотезе и существовании разложения Чжоу–Лефшеца для комплексных проективных многообразий”, Изв. РАН. Сер. матем., 79:1 (2015), 185–216
- С. Г. Танкеев, “О стандартной гипотезе для расслоенного на кривые $3$-мерного многообразия с неинъективным отображением Кодаиры–Спенсера”, Изв. РАН. Сер. матем., 84:5 (2020), 211–232
- С. Г. Танкеев, “О стандартной гипотезе для проективных компактификаций моделей Нерона $3$-мерных абелевых многообразий”, Изв. РАН. Сер. матем., 85:1 (2021), 154–186
- K. Künnemann, “Height pairings for algebraic cycles on abelian varieties”, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (4), 34:4 (2001), 503–523
- K. Künnemann, “Projective regular models for abelian varieties, semistable reduction, and the height pairing”, Duke Math. J., 95:1 (1998), 161–212
- A. Grothendieck, “Modèles de Neron et monodromie”, Groupes de monodromie en geometrie algebrique, Seminaire de geometrie algebrique du Bois-Marie 1967–1969 (SGA 7 I), Lecture Notes in Math., 288, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1972, Exp. No. IX, 313–523
- G. Kempf, F. Knudsen, D. Mumford, B. Saint-Donat, Toroidal embeddings. I, Lecture Notes in Math., 339, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1973, viii+209 pp.
- C. Consani, “The local monodromy as a generalized algebraic correspondence”, Doc. Math., 4 (1999), 65–108
- P. Deligne, “Theorie de Hodge. III”, Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math., 44 (1974), 5–77
- П. Делинь, “Теория Ходжа. II”, Математика. Сб. пер., 17, № 5, Мир, М., 1973, 3–56
- S. Zucker, “Hodge theory with degenerating coefficients: $L_2$ cohomology in the Poincare metric”, Ann. of Math. (2), 109:3 (1979), 415–476
- C. H. Clemens, “Degeneration of Kähler manifolds”, Duke Math. J., 44:2 (1977), 215–290
- Ю. Г. Зархин, “Веса простых алгебр Ли в когомологиях алгебраических многообразий”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 48:2 (1984), 264–304
- B. B. Gordon, “A survey of the Hodge conjecture for Abelian varieties”, Appendix in:: J. D. Lewis, A survey of the Hodge conjecture, CRM Monogr. Ser., 10, 2nd ed., Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999, 297–356
- D. Mumford, “A note of Shimura's paper “Discontinuous groups and abelian varieties””, Math. Ann., 181:4 (1969), 345–351
- С. Г. Танкеев, “О стандартной гипотезе для расслоенного произведения трех эллиптических поверхностей с попарно непересекающимися дискриминантными локусами”, Изв. РАН. Сер. матем., 83:3 (2019), 213–256
- Н. Бурбаки, Группы и алгебры Ли, гл. 1–3, Элементы математики, Мир, М., 1976, 496 с.
- B. J. J. Moonen, Yu. G. Zarhin, “Hodge classes on abelian varieties of low dimension”, Math. Ann., 315:4 (1999), 711–733
- O. V. Oreshkina, On the Hodge group and invariant cycles of a simple Abelian variety with a stable reduction of odd toric rank, 2018
- Г. А. Мустафин, “Семейства алгебраических многообразий и инвариантные циклы”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 49:5 (1985), 948–978
- H. Lange, C. Birkenhake, Complex abelian varieties, Grundlehren Math. Wiss., 302, Springer-Verlag, Berlin, 1992, viii+435 pp.
- С. Г. Танкеев, “Об индуктивном подходе к стандартной гипотезе для расслоенного комплексного многообразия с сильными полустабильными вырождениями”, Изв. РАН. Сер. матем., 81:6 (2017), 199–231
- C. Voisin, Hodge theory and complex algebraic geometry, Transl. from the French, v. I, Cambridge Stud. Adv. Math., 76, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2002, x+322 pp.
- С. Г. Танкеев, “О стандартной гипотезе типа Лефшеца для комплексных проективных трехмерных многообразий”, Изв. РАН. Сер. матем., 74:1 (2010), 175–196
- А. Гротендик, О некоторых вопросах гомологической алгебры, ИЛ, М., 1961, 175 с.
- Р. Уэллс, Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях, Мир, М., 1976, 284 с.
- Р. Годеман, Алгебраическая топология и теория пучков, ИЛ, М., 1961, 319 с.
- Э. Спеньер, Алгебраическая топология, Мир, М., 1971, 680 с.
- Г. Э. Бредон, Теория пучков, Наука, М., 1988, 312 с.
- Дж. Милн, Этальные когомологии, Мир, М., 1983, 392 с.
- Н. Бурбаки, Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра, Элементы математики, Наука, М., 1987, 183 с.
- S. G. Tankeev, “On algebraic isomorphisms of rational cohomology of a Künneman compactification of the Neron minimal model”, Сиб. электрон. матем. изв., 17 (2020), 89–125
- И. М. Гельфанд, Лекции по линейной алгебре, 4-е изд., Наука, М., 1971, 271 с.
- М. В. Боровой, “Группа Ходжа и алгебра эндоморфизмов абелева многообразия”, Вопросы теории групп и гомологической алгебры, ЯрГУ, Ярославль, 1981, 124–126
- Д. Мамфорд, Абелевы многообразия, Мир, М., 1971, 299 с.
- S. Lang, Abelian varieties, Reprint of the 1959 original, Springer-Verlag, New York–Berlin, 1983, xii+256 pp.
- J. Jiraud, Cohomologie non abelienne, Grundlehren Math. Wiss., 179, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1971, ix+467 pp.
- D. Bertrand, B. Edixhoven, “Pink's conjecture on unlikely intersections and families of semi-abelian varieties”, J. Ec. polytech. Math., 7 (2020), 711–742
- K. Künnemann, “Algebraic cycles on toric fibrations over abelian varieties”, Math. Z., 232:3 (1999), 427–435
- K. Kodaira, D. C. Spencer, “On deformations of complex analytic structures. I”, Ann. of Math. (2), 67:2 (1958), 328–401
- D. Abramovich, K. Karu, K. Matsuki, J. Wlodarczyk, “Torification and factorization of birational maps”, J. Amer. Math. Soc., 15:3 (2002), 531–572
- В. И. Данилов, “Геометрия торических многообразий”, УМН, 33:2(200) (1978), 85–134