On the standard conjecture for compactifications of Neron models of 4-dimensional Abelian varieties

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We prove that, after lifting to some finite ramified covering of a smooth projective curve $C$, the Grothendieck standard conjecture of Lefschetz type holds for the Künnemann compactification of the Neron minimal model of a 4-dimensional principally polarized Abelian variety over the field of rational functions on the curve $C$ provided that the endomorphism ring of the generic geometric fibre of the Neron model coincides with the ring of integers, all bad reductions are semi-stable and have toric rank 1 and, for any places $\delta,\delta'\in C$ of bad reductions, the Hodge conjecture on algebraic cycles holds for the product $A_\delta\times A_{\delta'}$ of the Abelian varieties $A_\delta,A_{\delta'}$ which are the quotients of the connected components of neutral elements in special fibres of the Neron minimal model modulo toric parts.

About the authors

Sergey Gennadievich Tankeev

Vladimir State University

Email: tankeev@vlsu.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. A. Grothendieck, “Standard conjectures on algebraic cycles”, Algebraic geometry, Internat. colloq. (Tata Inst. Fund. Res., Bombay, 1968), Oxford Univ. Press, London, 1969, 193–199
  2. S. L. Kleiman, “Algebraic cycles and the Weil conjectures”, Dix exposes sur la cohomologie des schemas, Adv. Stud. Pure Math., 3, North-Holland, Amsterdam, 1968, 359–386
  3. С. Г. Танкеев, “О стандартной гипотезе для комплексных абелевых схем над гладкими проективными кривыми”, Изв. РАН. Сер. матем., 67:3 (2003), 183–224
  4. С. Г. Танкеев, “О численной эквивалентности алгебраических циклов на потенциально простых абелевых схемах простой относительной размерности”, Изв. РАН. Сер. матем., 69:1 (2005), 145–164
  5. С. Г. Танкеев, “Моноидальные преобразования и гипотезы об алгебраических циклах”, Изв. РАН. Сер. матем., 71:3 (2007), 197–224
  6. D. I. Lieberman, “Numerical and homological equivalence of algebraic cycles on Hodge manifolds”, Amer. J. Math., 90:2 (1968), 366–374
  7. С. Г. Танкеев, “О стандартной гипотезе типа Лефшеца для комплексных проективных трехмерных многообразий. II”, Изв. РАН. Сер. матем., 75:5 (2011), 177–194
  8. D. Arapura, “Motivation for Hodge cycles”, Adv. Math., 207:2 (2006), 762–781
  9. F. Charles, E. Markman, “The standard conjectures for holomorphic symplectic varieties deformation equivalent to Hilbert schemes of $K3$ surfaces”, Compos. Math., 149:3 (2013), 481–494
  10. О. В. Никольская, “Об алгебраических циклах на расслоенном произведении семейств K3 поверхностей”, Изв. РАН. Сер. матем., 77:1 (2013), 145–164
  11. О. В. Никольская, “Об алгебраических циклах на расслоенных произведениях неизотривиальных семейств регулярных поверхностей с геометрическим родом 1”, Модел. и анализ информ. систем, 23:4 (2016), 440–465
  12. С. Г. Танкеев, “О стандартной гипотезе и существовании разложения Чжоу–Лефшеца для комплексных проективных многообразий”, Изв. РАН. Сер. матем., 79:1 (2015), 185–216
  13. С. Г. Танкеев, “О стандартной гипотезе для расслоенного на кривые $3$-мерного многообразия с неинъективным отображением Кодаиры–Спенсера”, Изв. РАН. Сер. матем., 84:5 (2020), 211–232
  14. С. Г. Танкеев, “О стандартной гипотезе для проективных компактификаций моделей Нерона $3$-мерных абелевых многообразий”, Изв. РАН. Сер. матем., 85:1 (2021), 154–186
  15. K. Künnemann, “Height pairings for algebraic cycles on abelian varieties”, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (4), 34:4 (2001), 503–523
  16. K. Künnemann, “Projective regular models for abelian varieties, semistable reduction, and the height pairing”, Duke Math. J., 95:1 (1998), 161–212
  17. A. Grothendieck, “Modèles de Neron et monodromie”, Groupes de monodromie en geometrie algebrique, Seminaire de geometrie algebrique du Bois-Marie 1967–1969 (SGA 7 I), Lecture Notes in Math., 288, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1972, Exp. No. IX, 313–523
  18. G. Kempf, F. Knudsen, D. Mumford, B. Saint-Donat, Toroidal embeddings. I, Lecture Notes in Math., 339, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1973, viii+209 pp.
  19. C. Consani, “The local monodromy as a generalized algebraic correspondence”, Doc. Math., 4 (1999), 65–108
  20. P. Deligne, “Theorie de Hodge. III”, Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math., 44 (1974), 5–77
  21. П. Делинь, “Теория Ходжа. II”, Математика. Сб. пер., 17, № 5, Мир, М., 1973, 3–56
  22. S. Zucker, “Hodge theory with degenerating coefficients: $L_2$ cohomology in the Poincare metric”, Ann. of Math. (2), 109:3 (1979), 415–476
  23. C. H. Clemens, “Degeneration of Kähler manifolds”, Duke Math. J., 44:2 (1977), 215–290
  24. Ю. Г. Зархин, “Веса простых алгебр Ли в когомологиях алгебраических многообразий”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 48:2 (1984), 264–304
  25. B. B. Gordon, “A survey of the Hodge conjecture for Abelian varieties”, Appendix in:: J. D. Lewis, A survey of the Hodge conjecture, CRM Monogr. Ser., 10, 2nd ed., Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999, 297–356
  26. D. Mumford, “A note of Shimura's paper “Discontinuous groups and abelian varieties””, Math. Ann., 181:4 (1969), 345–351
  27. С. Г. Танкеев, “О стандартной гипотезе для расслоенного произведения трех эллиптических поверхностей с попарно непересекающимися дискриминантными локусами”, Изв. РАН. Сер. матем., 83:3 (2019), 213–256
  28. Н. Бурбаки, Группы и алгебры Ли, гл. 1–3, Элементы математики, Мир, М., 1976, 496 с.
  29. B. J. J. Moonen, Yu. G. Zarhin, “Hodge classes on abelian varieties of low dimension”, Math. Ann., 315:4 (1999), 711–733
  30. O. V. Oreshkina, On the Hodge group and invariant cycles of a simple Abelian variety with a stable reduction of odd toric rank, 2018
  31. Г. А. Мустафин, “Семейства алгебраических многообразий и инвариантные циклы”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 49:5 (1985), 948–978
  32. H. Lange, C. Birkenhake, Complex abelian varieties, Grundlehren Math. Wiss., 302, Springer-Verlag, Berlin, 1992, viii+435 pp.
  33. С. Г. Танкеев, “Об индуктивном подходе к стандартной гипотезе для расслоенного комплексного многообразия с сильными полустабильными вырождениями”, Изв. РАН. Сер. матем., 81:6 (2017), 199–231
  34. C. Voisin, Hodge theory and complex algebraic geometry, Transl. from the French, v. I, Cambridge Stud. Adv. Math., 76, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2002, x+322 pp.
  35. С. Г. Танкеев, “О стандартной гипотезе типа Лефшеца для комплексных проективных трехмерных многообразий”, Изв. РАН. Сер. матем., 74:1 (2010), 175–196
  36. А. Гротендик, О некоторых вопросах гомологической алгебры, ИЛ, М., 1961, 175 с.
  37. Р. Уэллс, Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях, Мир, М., 1976, 284 с.
  38. Р. Годеман, Алгебраическая топология и теория пучков, ИЛ, М., 1961, 319 с.
  39. Э. Спеньер, Алгебраическая топология, Мир, М., 1971, 680 с.
  40. Г. Э. Бредон, Теория пучков, Наука, М., 1988, 312 с.
  41. Дж. Милн, Этальные когомологии, Мир, М., 1983, 392 с.
  42. Н. Бурбаки, Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра, Элементы математики, Наука, М., 1987, 183 с.
  43. S. G. Tankeev, “On algebraic isomorphisms of rational cohomology of a Künneman compactification of the Neron minimal model”, Сиб. электрон. матем. изв., 17 (2020), 89–125
  44. И. М. Гельфанд, Лекции по линейной алгебре, 4-е изд., Наука, М., 1971, 271 с.
  45. М. В. Боровой, “Группа Ходжа и алгебра эндоморфизмов абелева многообразия”, Вопросы теории групп и гомологической алгебры, ЯрГУ, Ярославль, 1981, 124–126
  46. Д. Мамфорд, Абелевы многообразия, Мир, М., 1971, 299 с.
  47. S. Lang, Abelian varieties, Reprint of the 1959 original, Springer-Verlag, New York–Berlin, 1983, xii+256 pp.
  48. J. Jiraud, Cohomologie non abelienne, Grundlehren Math. Wiss., 179, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1971, ix+467 pp.
  49. D. Bertrand, B. Edixhoven, “Pink's conjecture on unlikely intersections and families of semi-abelian varieties”, J. Ec. polytech. Math., 7 (2020), 711–742
  50. K. Künnemann, “Algebraic cycles on toric fibrations over abelian varieties”, Math. Z., 232:3 (1999), 427–435
  51. K. Kodaira, D. C. Spencer, “On deformations of complex analytic structures. I”, Ann. of Math. (2), 67:2 (1958), 328–401
  52. D. Abramovich, K. Karu, K. Matsuki, J. Wlodarczyk, “Torification and factorization of birational maps”, J. Amer. Math. Soc., 15:3 (2002), 531–572
  53. В. И. Данилов, “Геометрия торических многообразий”, УМН, 33:2(200) (1978), 85–134

Copyright (c) 2022 Tankeev S.G.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies