Completeness of asymmetric products of harmonic functions and uniqueness of the solutionto the Lavrent'ev equation in inverse wave sounding problems

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We prove that the family of all pairwise products of regularharmonic functions in a domain $D \subset \mathbb{R}^3$ andNewtonian potentials of points located on a ray outside $D$ is complete in $L_2(D)$.This result is used for justification of uniqueness of a solution to the linear integral equationto which inverse problems of wave sounding in $\mathbb{R}^3$ are reduced.The corresponding inverse problems are shown to be uniquely solvable in spatially non-overdetermined settings wherethe dimension of the spatial data support coincides with that of the support of the sought-for function.Uniqueness theorems are used for establishingthat the axial symmetry of the input data for the inverse problemsunder consideration implies that of the solutions to these problems.

About the authors

Mikhail Yur'evich Kokurin

Mari State University

Email: kokurinm@yandex.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. A. P. Calderon, “On an inverse boundary value problem”, Seminar on numerical analysis and its applications to continuum physics (Rio de Janeiro, 1980), Soc. Brasil. Mat., Rio de Janeiro, 1980, 65–73
  2. V. Isakov, Inverse problems for partial differential equations, Appl. Math. Sci., 127, 2nd ed., Springer, New York, 2006, xiv+344 pp.
  3. C. Kenig, M. Salo, “Recent progress in the Calderon problem with partial data”, Inverse problems and applications, Contemp. Math., 615, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2014, 193–222
  4. М. Ю. Кокурин, “О полноте произведений гармонических функций и единственности решения обратной задачи акустического зондирования”, Матем. заметки, 104:5 (2018), 708–716
  5. М. Ю. Кокурин, “Полнота асимметричных произведений решений эллиптических уравнений второго порядка и единственность решения обратной задачи для волнового уравнения”, Дифференц. уравнения, 57:2 (2021), 255–264
  6. В..П. Михайлов, Дифференциальные уравнения в частных производных, Наука, М., 1976, 391 с.
  7. А. Ф. Никифоров, В. Б. Уваров, Специальные функции математической физики, Наука, М., 1978, 318 с.
  8. Д. А. Варшалович, А. Н. Москалев, В. К. Херсонский, Квантовая теория углового момента, Наука, Ленинград. отд., Л., 1975, 439 с.
  9. И. Стейн, Г. Вейс, Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах, Мир, М., 1974, 336 с.
  10. С. М. Никольский, Приближение функций многих переменных и теоремы вложения, 2-е изд., Наука, М., 1977, 455 с.
  11. И. П. Натансон, Теория функций вещественной переменной, 3-е изд., Наука, М., 1974, 480 с.
  12. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теоретическая физика, т. 3, Квантовая механика. Нерелятивистская теория, 6-е изд., Физматлит, М., 2008, 800 с.
  13. Н. И. Ахиезер, Лекции по теории аппроксимации, 2-е изд., Наука, М., 1965, 407 с.
  14. А. Б. Бакушинский, А. И. Козлов, М. Ю. Кокурин, “Об одной обратной задаче для трехмерного волнового уравнения”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 43:8 (2003), 1201–1209
  15. М. М. Лаврентьев, “Об одной обратной задаче для волнового уравнения”, Докл. АН СССР, 157:3 (1964), 520–521
  16. М. М. Лаврентьев, “Об одном классе обратных задач для дифференциальных уравнений”, Докл. АН СССР, 160:1 (1965), 32–35
  17. Б. Р. Вайнберг, Асимптотические методы в уравнениях математической физики, МГУ, М., 1982, 295 с.
  18. В. Г. Романов, “О гладкости фундаментального решения для гиперболического уравнения второго порядка”, Сиб. матем. журн., 50:4 (2009), 883–889
  19. М. М. Лаврентьев, В. Г. Романов, С. П. Шишатский, Некорректные задачи математической физики и анализа, Наука, М., 1980, 287 с.
  20. А. Г. Рамм, Многомерные обратные задачи рассеяния, Мир, М., 1994, 469 с.
  21. А. Л. Бухгейм, Г. В. Дятлов, В. Б. Кардаков, Е. В. Танцерев, “Единственность в одной обратной задаче для системы уравнений упругости”, Сиб. матем. журн., 45:4 (2004), 747–757
  22. M. Yu. Kokurin, “On a multidimensional integral equation with data supported by low-dimensional analytic manifolds”, J. Inverse Ill-Posed Probl., 21:1 (2013), 125–140
  23. M. V. Klibanov, Jingzhi Li, Wenlong Zhang, “Linear Lavrent'ev integral equation for the numerical solution of a nonlinear coefficient inverse problem”, SIAM J. Appl. Math., 81:5 (2021), 1954–1978
  24. D. Colton, R. Kress, Inverse acoustic and electromagnetic scattering theory, Appl. Math. Sci., 93, 2nd ed., Springer-Verlag, Berlin, 1998, xii+334 pp.
  25. M. V. Klibanov, “Phaseless inverse scattering problems in three dimensions”, SIAM J. Appl. Math., 74:2 (2014), 392–410
  26. M. V. Klibanov, “Uniqueness of two phaseless non-overdetermined inverse acoustic problems in 3-d”, Appl. Anal., 93:6 (2014), 1135–1149
  27. M. V. Klibanov, V. G. Romanov, “Reconstruction procedures for two inverse scattering problems without the phase information”, SIAM J. Appl. Math., 76:1 (2016), 178–196
  28. В. Г. Романов, “Задача об определении коэффициента диэлектрической проницаемости по модулю рассеянного электромагнитного поля”, Сиб. матем. журн., 58:4 (2017), 916–924
  29. В. Г. Романов, “Обратные задачи без фазовой информации, использующие интерференцию волн”, Сиб. матем. журн., 59:3 (2018), 626–638
  30. М. А. Красносельский, П. П. Забрейко, Е. И. Пустыльник, П. Е. Соболевский, Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций, Наука, М., 1966, 499 с.
  31. A. G. Ramm, “Symmetry properties of scattering amplitudes and applications to inverse problems”, J. Math. Anal. Appl., 156:2 (1991), 333–340

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2022 Kokurin M.Y.

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).