Равномерные жесткие фреймы Мальцева

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Только для подписчиков

Аннотация

Фрейм пространства $\mathbb{R}^d$ – это набор из $n\geq d$ векторов, линейная оболочка которых совпадает с $\mathbb{R}^d$. Фрейм называется равномерным, если все векторы фрейма имеют одинаковые нормы. Жесткий фрейм допускает представление произвольного вектора из $\mathbb{R}^d$ в форме, максимально похожей на представление в ортонормированном базисе. Каждый равномерный жесткий фрейм является ценным инструментом в создании эффективных вычислительных алгоритмов. Основой построения таких фреймов для $\mathbb{C}^d$ была матрица дискретного преобразования Фурье, в $\mathbb{R}^d$ первые построения равномерных жестких фреймов появились только в начале XXI в. В настоящей работе показано, что заметка А. И. Мальцева 1947 г. опередила время на десятилетия, оказалась пропущенной специалистами по теории фреймов, и именно А. И. Мальцева следует считать автором первой в мире конструкции равномерного жесткого фрейма в $\mathbb{R}^d$. Основная цель данной работы – показать историческую значимость открытия А. И. Мальцева. Упомянутая работа А. И. Мальцева рассмотрена с позиций современной теории фреймов конечномерных пространств. Для исследования важных с точки зрения теории фреймов свойств, таких как равенство модулей попарных скалярных произведений (равноугольность) и наличие полного спарка, т. е. линейная независимость каждого набора из $d$ векторов фрейма, привлекаются проекторы Наймарка и другие операторные методы.Библиография: 10 наименований.

Об авторах

Сергей Яковлевич Новиков

Самарский национальный исследовательский университет имени академика С. П. Королева

Email: nvks@ssau.ru
доктор физико-математических наук, профессор

Виктория Владимировна Севостьянова

Самарский национальный исследовательский университет имени академика С. П. Королева

Email: berlua@mail.ru

Список литературы

  1. O. Christensen, An introduction to frames and Riesz bases, Appl. Numer. Harmon. Anal., Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2003, xxii+440 pp.
  2. М. А. Наймарк, “Спектральные функции симметрического оператора”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 4:3 (1940), 277–318
  3. Б. С. Кашин, Т. Ю. Куликова, “Замечание об описании фреймов общего вида”, Матем. заметки, 72:6 (2002), 941–945
  4. С. Я. Новиков, “Бесселевы последовательности как проекции ортогональных систем”, Матем. заметки, 81:6 (2007), 893–903
  5. А. И. Мальцев, “Замечание к работе А. Н. Колмогорова, А. А. Петрова и Ю. М. Смирнова “Одна формула Гаусса из теории наименьших квадратов””, Изв. АН СССР. Сер. матем., 11:6 (1947), 567–568
  6. А. Н. Колмогоров, А. А. Петров, Ю. М. Смирнов, “Одна формула Гаусса из теории метода наименьших квадратов”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 11:6 (1947), 561–566
  7. P. G. Casazza, M. T. Leon, “Existence and construction of finite tight frames”, J. Concr. Appl. Math., 4:3 (2006), 277–289
  8. М. С. Беспалов, “Собственные подпространства дискретного преобразования Уолша”, Пробл. передачи информ., 46:3 (2010), 60–79
  9. M. Fickus, J. Jasper, D. G. Mixon, J. Peterson, “Hadamard equiangular tight frames”, Appl. Comput. Harmon. Anal., 50:1 (2021), 281–302
  10. M. Elad, Sparse and redundant representations. From theory to applications in signal and image processing, Springer, New York, 2010, xx+376 pp.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML

© Новиков С.Я., Севостьянова В.В., 2022

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».