Threshold resonances and virtual levels in the spectrum of cylindrical and periodic waveguides

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We describe and classify the thresholds of the continuous spectrum and the resulting resonances forgeneral formally self-adjoint elliptic systems of second-order differential equations with Dirichlet or Neumannboundary conditions in domains with cylindrical and periodic outlets to infinity (in waveguides). These resonancesarise because there are “almost standing” waves, that is, non-trivial solutions of the homogeneousproblem which do not transmit energy. We consider quantum, acoustic, and elastic waveguides as examples.Our main focus is on degenerate thresholds which are characterized by the presence of standing waves withpolynomial growth at infinity and produce effects lacking for ordinary thresholds. In particular, we describe theeffect of lifting an eigenvalue from the degenerate zero threshold of the spectrum. This effect occurs for elasticwaveguides of a vector nature and is absent from the scalar problems for cylindrical acoustic and quantumwaveguides. Using the technique of self-adjoint extensions of differential operators in weighted spaces, weinterpret the almost standing waves as eigenvectors of certain operators and the threshold as the correspondingeigenvalue. Here the threshold eigenvalues and the corresponding vector-valued functions not decaying at infinitycan be obtained by approaching the threshold (the virtual level) either from below or from above. Hence their propertiesdiffer essentially from the customary ones. We state some open problems.

About the authors

Sergei Aleksandrovich Nazarov

St. Petersburg State University, Mathematics and Mechanics Faculty

Email: srgnazarov@yahoo.co.uk
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. P. Exner, H. Kovar̆ik, Quantum waveguides, Theoret. Math. Phys., 22, Springer, Cham, 2015, xxii+382 pp.
  2. Р. Миттра, С. Ли, Аналитические методы теории волноводов, Мир, М., 1974, 328 с.
  3. S. Molchanov, B. Vainberg, “Scattering solutions in networks of thin fibers: small diameter asymptotics”, Comm. Math. Phys., 273:2 (2007), 533–559
  4. С. А. Назаров, “Разнообразные проявления аномалий Вуда в локально искривленных квантовых волноводах”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 58:11 (2018), 1911–1931
  5. В. П. Маслов, “Асимптотика собственных функций уравнения $Delta u+k^2u=0$ с краевыми условиями на эквидистантных кривых и рассеяние элекромагнитных волн в волноводе”, Докл. АН СССР, 123:4 (1958), 631–633
  6. P. Duclos, P. Exner, “Curvature-induced bound states in quantum waveguides in two and three dimensions”, Rev. Math. Phys., 7:1 (1995), 73–102
  7. В. В. Грушин, “О собственных значениях финитно возмущенного оператора Лапласа в бесконечных цилиндрических областях”, Матем. заметки, 75:3 (2004), 360–371
  8. Р. Р. Гадыльшин, “О локальных возмущениях квантовых волноводов”, ТМФ, 145:3 (2005), 358–371
  9. D. Borisov, P. Exner, R. Gadyl'shin, “Geometric coupling thresholds in a two-dimensional strip”, J. Math. Phys., 43:12 (2002), 6265–6278
  10. Д. И. Борисов, “Дискретный спектр пары несимметричных волноводов, соединенных окном”, Матем. сб., 197:4 (2006), 3–32
  11. С. А. Назаров, “Почти стоячие волны в периодическом волноводе с резонатором и околопороговые собственные числа”, Алгебра и анализ, 28:3 (2016), 111–160
  12. D. V. Evans, M. Levitin, D. Vassiliev, “Existence theorems for trapped modes”, J. Fluid Mech., 261 (1994), 21–31
  13. С. А. Назаров, “Вариационный и асимптотический методы поиска собственных чисел под порогом непрерывного спектра”, Сиб. матем. журн., 51:5 (2010), 1086–1101
  14. С. А. Назаров, “Собственные числа оператора Лапласа с условиями Неймана на регулярно возмущенных стенках волновода”, Проблемы матем. анализа, 53, Тамара Рожковская, Новосибирск, 2011, 104–119
  15. C. А. Назаров, “Лакуны и собственные частоты в спектре периодического акустического волновода”, Акустический журн., 59:3 (2013), 312–321
  16. I. Roitberg, D. Vassiliev, T. Weidl, “Edge resonance in an elastic semi-strip”, Quart. J. Mech. Appl. Math., 51:1 (1998), 1–13
  17. A. Holst, D. Vassiliev, “Edge resonance in an elastic semi-infinite cylinder”, Appl. Anal., 74:3-4 (2000), 479–495
  18. C. А. Назаров, “Локализованные упругие поля в периодических волноводах с дефектами”, Прикладная механика и техническая физика, 52:2 (2011), 183–194
  19. С. А. Назаров, “Упругие волны, захваченные однородным анизотропным полуцилиндром”, Матем. сб., 204:11 (2013), 99–130
  20. С. А. Назаров, “Околопороговые эффекты рассеяния волн в искривленном упругом двумерном волноводе”, ПММ, 79:4 (2015), 530–549
  21. Ф. А. Березин, Л. Д. Фаддеев, “Замечание об уравнении Шредингера с сингулярным потенциалом”, Докл. АН СССР, 137:5 (1961), 1011–1014
  22. Ю. Е. Карпешина, Б. С. Павлов, “Взаимодействие нулевого радиуса для бигармонического и полигармонического уравнений”, Матем. заметки, 40:1 (1986), 49–59
  23. Б. С. Павлов, “Теория расширений и явнорешаемые модели”, УМН, 42:6(258) (1987), 99–131
  24. С. А. Назаров, “Самосопряженные расширения оператора задачи Дирихле в весовых функциональных пространствах”, Матем. сб., 137(179):2(10) (1988), 224–241
  25. S. A. Nazarov, M. Specovius-Neugebauer, “Selfadjoint extensions of the Neumann Laplacian in domains with cylindrical outlets”, Comm. Math. Phys., 185:3 (1997), 689–707
  26. C. А. Назаров, “Асимптотические условия в точках, самосопряженные расширения операторов и метод сращиваемых асимптотических разложений”, Тр. С.-Петербург. матем. о-ва, 5, Изд-во С.-Петербург. ун-та, СПб., 1998, 112–183
  27. И. В. Камоцкий, С. А. Назаров, “Спектральные задачи в сингулярно возмущенных областях и самосопряженные расширения дифференциальных операторов”, Тр. С.-Петербург. матем. о-ва, 6, Научная книга, Новосибирск, 1998, 151–212
  28. М. Д. Ван Дайк, Методы возмущений в механике жидкостей, Мир, М., 1967, 310 с.
  29. А. М. Ильин, Согласование асимптотических разложений решений краевых задач, Наука, М., 1989, 336 с.
  30. J. Nečas, Les methodes directes en theorie des equations elliptiques, Masson et Cie, Paris; Academia, Editeurs, Prague, 1967, 351 pp.
  31. C. А. Назаров, “Полиномиальное свойство самосопряженных эллиптических краевых задач и алгебраическое описание их атрибутов”, УМН, 54:5(329) (1999), 77–142
  32. В. А. Кондратьев, “Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками”, Тр. ММО, 16, Изд-во Моск. ун-та, М., 1967, 209–292
  33. С. А. Назаров, Б. А. Пламеневский, Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей, Наука, М., 1991, 336 с.
  34. И. Ц. Гохберг, М. Г. Крейн, Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов, Наука, М., 1965, 448 с.
  35. М. М. Вайнберг, В. А. Треногин, Теория ветвления решений нелинейных уравнений, Наука, М., 1969, 527 с.
  36. М. Рид, Б. Саймон, Методы современной математической физики, т. 3, Теория рассеяния, Мир, М., 1982, 445 с.
  37. П. А. Кучмент, “Теория Флоке для дифференциальных уравнений в частных производных”, УМН, 37:4(226) (1982), 3–52
  38. М. М. Скриганов, “Геометрические и арифметические методы в спектральной теории многомерных периодических операторов”, Тр. МИАН СССР, 171, Наука, Л., 1985, 3–122
  39. P. Kuchment, Floquet theory for partial differential equations, Oper. Theory Adv. Appl., 60, Birchäuser Verlag, Basel, 1993, xiv+350 pp.
  40. И. М. Гельфанд, “Разложение по собственным функциям уравнения с периодическими коэффициентами”, Докл. АН СССР, 73 (1950), 1117–1120
  41. О. А. Ладыженская, Краевые задачи математической физики, Наука, М., 1973, 407 с.
  42. Ж.-Л. Лионс, Э. Мадженес, Неоднородные граничные задачи и их приложения, Мир, М., 1971, 371 с.
  43. М. Ш. Бирман, М. З. Соломяк, Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, Изд-во Ленингр. ун-та, Л., 1980, 264 с.
  44. A. V. Sobolev, J. Walthoe, “Absolute continuity in periodic waveguides”, Proc. London Math. Soc. (3), 85:3 (2002), 717–741
  45. Т. А. Суслина, Р. Г. Штеренберг, “Абсолютная непрерывность спектра магнитного оператора Шрeдингера с метрикой в двумерном периодическом волноводе”, Алгебра и анализ, 14:2 (2002), 159–206
  46. И. Качковский, Н. Филонов, “Абсолютная непрерывность спектра периодического оператора Шрeдингера в многомерном цилиндре”, Алгебра и анализ, 21:1 (2009), 133–152
  47. K. Miller, “Nonunique continuation for uniformly parabolic and elliptic equations in self-adjoint divergence form with Hölder continuous coefficients”, Arch. Rational Mech. Anal., 54:2 (1974), 105–117
  48. Н. Д. Филонов, “Эллиптическое уравнение второго порядка в дивергентной форме, имеющее решение с компактным носителем”, Проблемы матем. анализа, 22, СПбГУ, СПб., 2001, 246–257
  49. М. Н. Демченко, “О неединственности продолжения решения системы Максвелла”, Математические вопросы теории распространения волн. 41, Зап. науч. сем. ПОМИ, 393, ПОМИ, СПб., 2011, 80–100
  50. С. А. Назаров, “Несамосопряженные эллиптические задачи с полиномиальным свойством в областях, имеющих цилиндрические выходы на бесконечность”, Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 29, Зап. науч. сем. ПОМИ, 249, ПОМИ, СПб., 1997, 212–230
  51. С. А. Назаров, Б. А. Пламеневский, “Об условиях излучения для самосопряженных эллиптических задач”, Докл. АН СССР, 311:3 (1990), 532–536
  52. С. А. Назаров, Б. А. Пламеневский, “Принципы излучения для самосопряженных эллиптических задач”, Дифференциальные уравнения. Спектральная теория. Распространение волн, Проблемы матем. физики, 13, Изд-во Ленингр. ун-та, Л., 1991, 192–244
  53. C. А. Назаров, “Эллиптические краевые задачи с периодическими коэффициентами в цилиндре”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 45:1 (1981), 101–112
  54. М. С. Агранович, М. И. Вишик, “Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида”, УМН, 19:3(117) (1964), 53–161
  55. В. Г. Мазья, Б. А. Пламеневский, “О коэффициентах в асимптотике решений эллиптических краевых задач в области с коническими точками”, Math. Nachr., 76 (1977), 29–60
  56. С. А. Назаров, “Асимптотика собственных чисел на непрерывном спектре регулярно возмущенного квантового волновода”, ТМФ, 167:2 (2011), 239–263
  57. C. А. Назаров, “Энергетические условия излучения Мандельштама и вектор Умова–Пойнтинга в упругих волноводах”, Проблемы матем. анализа, № 72, Тамара Рожковская, Новосибирск, 2013, 101–146
  58. C. А. Назаров, “Условия излучения Умова–Мандельштама в упругих периодических волноводах”, Матем. сб., 205:7 (2014), 43–72
  59. Н. А. Умов, Уравнения движения энергии в телах, Тип. Ульриха и Шульце, Одесса, 1874, 58 с.
  60. J. H. Poynting, “On the transfer of energy in the electromagnetic field”, Philos. Trans. R. Soc. Lond., 175 (1884), 343–361
  61. Л. И. Мандельштам, Лекции по оптике теории относительности и квантовой механике, Сб. трудов, т. 2, Изд-во АН СССР, М., 1947, 372 с.
  62. И. И. Ворович, В. А. Бабешко, Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей, Наука, М., 1979, 320 с.
  63. С. А. Назаров, Асимптотическая теория тонких пластин и стержней. Понижение размерности и интегральные оценки, Научная книга, Новосибирск, 2002, 408 с.
  64. C. А. Назаров, “О коэффициентах в асимптотике решений эллиптических краевых задач с периодическими коэффициентами”, Вестн. ЛГУ. Сер. 1. Матем., мех., астроном., 1985, № 15(3), 16–22
  65. C. А. Назаров, “Трещина на стыке анизотропных тел. Сингулярности напряжений и инвариантные интегралы”, ПММ, 62:3 (1998), 489–502
  66. S. Nazarov, “Properties of spectra of boundary value problems in cylindrical and quasicylindrical domains”, Sobolev spaces in mathematics, v. II, Int. Math. Ser. (N.Y.), 9, Springer, New York, 2008, 261–309
  67. Т. Като, Теория возмущений линейных операторов, Мир, М., 1972, 740 с.
  68. C. А. Назаров, “Асимптотический анализ произвольно анизотропной пластины переменной толщины (пологой оболочки)”, Матем. сб., 191:7 (2000), 129–159
  69. С. А. Назаров, “Собственные частоты слабоискривленной изотропной полосы, зажатой между абсолютно жесткими профилями”, ПММ, 78:4 (2014), 527–541
  70. С. А. Назаров, “Дискретный спектр коленчатых квантовых и упругих волноводов”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 56:5 (2016), 879–895
  71. С. А. Назаров, “Открытие лакуны в непрерывном спектре периодически возмущенного волновода”, Матем. заметки, 87:5 (2010), 764–786
  72. D. Borisov, K. Pankrashkin, “Quantum waveguides with small periodic perturbations: gaps and edges of Brillouin zones”, J. Phys. A, 46:23 (2013), 235203, 18 pp.
  73. С. А. Назаров, “Асимптотика спектральных лакун в регулярно возмущенном периодическом волноводе”, Вестн. СПбГУ. Сер. 1. Матем., мех., астроном., 2013, № 2, 54–63
  74. С. А. Назаров, “Принудительная устойчивость простого собственного числа на непрерывном спектре волновода”, Функц. анализ и его прил., 47:3 (2013), 37–53
  75. D. Grieser, “Spectra of graph neighborhoods and scattering”, Proc. Lond. Math. Soc. (3), 97:3 (2008), 718–752
  76. P. Exner, O. Post, “Convergence of spectra of graph-like thin manifolds”, J. Geom. Phys., 54:1 (2005), 77–115
  77. Ф. Л. Бахарев, С. А. Назаров, “Критерии отсутствия и наличия ограниченных решений на пороге непрерывного спектра в объединении квантовых волноводов”, Алгебра и анализ (в печати)
  78. С. А. Назаров, “Критерий существования затухающих решений в задаче о резонаторе с цилиндрическим волноводом”, Функц. анализ и его прил., 40:2 (2006), 20–32
  79. С. А. Назаров, А. С. Слуцкий, “Произвольные плоские системы анизотропных балок”, Дифференциальные уравнения и динамические системы, Сборник статей. К 80-летию со дня рождения академика Евгения Фроловича Мищенко, Тр. МИАН, 236, Наука, М., 2002, 234–261
  80. С. А. Назаров, А. С. Слуцкий, “Асимптотический анализ произвольной пространственной системы тонких стержней”, Тр. С.-Петербург. матем. о-ва, 10, Тамара Рожковская, Новосибирск, 2004, 63–115
  81. С. А. Назаров, А. С. Слуцкий, “Асимптотика собственных колебаний сочленений упругих стержней с подвижными фрагментами”, ПММ, 82:3 (2018), 332–347
  82. С. А. Назаров, “Асимптотика матрицы рассеяния вблизи краев спектральной лакуны”, Матем. сб., 208:1 (2017), 111–164
  83. Б. А. Пламеневский, А. С. Порецкий, О. В. Сарафанов, “Метод вычисления волноводной матрицы рассеяния в окрестности порогов”, Алгебра и анализ, 26:1 (2014), 128–164
  84. Б. А. Пламеневский, А. С. Порецкий, О. В. Сарафанов, “О вычислении волноводной матрицы рассеяния для системы Максвелла”, Функц. анализ и его прил., 49:1 (2015), 93–96

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2020 Nazarov S.A.

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).