On a class of elliptic boundary-value problems with parameter and discontinuous non-linearity
- Authors: Pavlenko V.N.1, Potapov D.K.2
-
Affiliations:
- Chelyabinsk State University
- Saint Petersburg State University
- Issue: Vol 84, No 3 (2020)
- Pages: 168-184
- Section: Articles
- URL: https://journals.rcsi.science/1607-0046/article/view/133813
- DOI: https://doi.org/10.4213/im8847
- ID: 133813
Cite item
Abstract
We study an elliptic boundary-value problem in a bounded domain with inhomogeneous Dirichletcondition, discontinuous non-linearity and a positive parameter occurring as a factor in the non-linearity.The non-linearity is in the right-hand side of the equation. It is non-positive (resp. equal to zero) fornegative (resp, non-negative) values of the phase variable. Let $\widetilde{u}(x)$ be a solution ofthe boundary-value problem with zero right-hand side (the boundary function is assumed to be positive).Putting $v(x)=u(x)-\widetilde{u}(x)$, we reduce the original problem to a problem with homogeneousboundary condition. The spectrum of the transformed problem consists of the values of the parameterfor which this problem has a non-zero solution (the function $v(x)=0$ is a solution for all values of the parameter).Under certain additional restrictions we construct an iterative process converging to a minimal semiregularsolution of the transformed problem for an appropriately chosen starting point. We prove that any non-emptyspectrum of the boundary-value problem is a ray $[\lambda^*,+\infty)$, where $\lambda^*>0$. As an application,we consider the Gol'dshtik mathematical model for separated flows of an incompressible fluid. We show thatit satisfies the hypotheses of our theorem and has a non-empty spectrum.
About the authors
Vyacheslav Nikolaevich Pavlenko
Chelyabinsk State University
Email: pavlenko-vn@yandex.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor
Dmitriy Konstantinovich Potapov
Saint Petersburg State University
Email: d.potapov@spbu.ru
Candidate of physico-mathematical sciences, Associate professor
References
- В. Н. Павленко, Д. К. Потапов, “Существование полуправильных решений эллиптических спектральных задач с разрывными нелинейностями”, Матем. сб., 206:9 (2015), 121–138
- В. Н. Павленко, Д. К. Потапов, “Существование решений невариационной эллиптической краевой задачи с параметром и разрывной нелинейностью”, Матем. тр., 19:1 (2016), 91–105
- G. Barletta, A. Chinnì, D. O'Regan, “Existence results for a Neumann problem involving the $p(x)$-Laplacian with discontinuous nonlinearities”, Nonlinear Anal. Real World Appl., 27 (2016), 312–325
- S. Bensid, “Perturbation of the free boundary in elliptic problem with discontinuities”, Electron. J. Differential Equations, 2016 (2016), 132, 14 pp.
- R. Dhanya, S. Prashanth, S. Tiwari, K. Sreenadh, “Elliptic problems in $mathbb{R}^N$ with critical and singular discontinuous nonlinearities”, Complex Var. Elliptic Equ., 61:12 (2016), 1656–1676
- В. Н. Павленко, Д. К. Потапов, “Существование двух нетривиальных решений в задачах на собственные значения для уравнений с разрывными правыми частями при достаточно больших значениях спектрального параметра”, Матем. сб., 208:1 (2017), 165–182
- В. Н. Павленко, Д. К. Потапов, “Существование трех нетривиальных решений эллиптической краевой задачи с разрывной нелинейностью в случае сильного резонанса”, Матем. заметки, 101:2 (2017), 247–261
- В. Н. Павленко, Д. К. Потапов, “Об оценках спектрального параметра эллиптических краевых задач с разрывными нелинейностями”, Сиб. матем. журн., 58:2 (2017), 375–385
- G. C. G. Santos, G. M. Figueiredo, “Existence of solutions for an NSE with discontinuous nonlinearity”, J. Fixed Point Theory Appl., 19:1 (2017), 917–937
- S. Heidarkhani, F. Gharehgazlouei, “Multiplicity of elliptic equations involving the $p$-Laplacian with discontinuous nonlinearities”, Complex Var. Elliptic Equ., 62:3 (2017), 413–429
- Д. К. Потапов, “О решениях задачи Гольдштика”, Сиб. журн. вычисл. матем., 15:4 (2012), 409–415
- D. K. Potapov, V. V. Yevstafyeva, “Lavrent'ev problem for separated flows with an external perturbation”, Electron. J. Differential Equations, 2013 (2013), 255, 6 pp.
- Y. Zhang, I. Danaila, “Existence and numerical modelling of vortex rings with elliptic boundaries”, Appl. Math. Model., 37:7 (2013), 4809–4824
- Д. К. Потапов, “Об одной задаче электрофизики с разрывной нелинейностью”, Дифференц. уравнения, 50:3 (2014), 421–424
- В. Н. Павленко, Д. К. Потапов, “Задача Эленбааса об электрической дуге”, Матем. заметки, 103:1 (2018), 92–100
- О. А. Ладыженская, Н. Н. Уральцева, Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа, Наука, М., 1964, 538 с.
- М. А. Гольдштик, “Математическая модель отрывных течений несжимаемой жидкости”, Докл. АН СССР, 147:6 (1962), 1310–1313
- А. В. Васин, “Приложение задачи Гольдштика к расчету гидродинамических нагрузок на гидрозатворы обводных галерей”, Речной транспорт (XXI век), 2013, № 2(61), 69–73
- И. И. Вайнштейн, И. М. Федотова, “Задача Гольдштика о склейке вихревых течений идеальной жидкости в осесимметрическом случае”, Вестн. СибГАУ, 2014, № 3(55), 48–54
- О. А. Тимофеева, “Анализ численных методов расчета течения жидкости в водопропускных сооружениях”, Вестн. гос. ун-та морского и речного флота им. адм. С. О. Макарова, 2015, № 4, 104–108
- К. Миранда, Уравнения с частными производными эллиптического типа, ИЛ, М., 1957, 256 с.
- В. Н. Павленко, “Существование решений у нелинейных уравнений с разрывными монотонными операторами”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 1973, № 6, 21–29
- C. A. Stuart, “Maximal and minimal solutions of elliptic differential equations with discontinuous non-linearities”, Math. Z., 163:3 (1978), 239–249
- S. Heikkilä, “On an elliptic boundary value problems with discontinuous nonlinearity”, Appl. Anal., 37:1-4 (1990), 183–189
- S. Carl, “A combined variational-monotone iterative method for elliptic boundary value problems with discontinuous nonlinearity”, Appl. Anal., 43:1-2 (1992), 21–45
- S. Carl, S. Heikkilä, “On extremal solutions of an elliptic boundary value problem involving discontinuous nonlinearities”, Differential Integral Equations, 5:3 (1992), 581–589
- S. Heikkilä, V. Lakshmikantham, Monotone iterative techniques for discontinuous nonlinear differential equations, Monogr. Textbooks Pure Appl. Math., 181, Marcel Dekker, Inc., New York, 1994, xii+514 pp.
- P. Nistri, “Positive solutions of a non-linear eigenvalue problem with discontinuous non-linearity”, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, 83:1-2 (1979), 133–145
- Д. К. Потапов, “Непрерывная аппроксимация одномерного аналога модели Гольдштика отрывных течений несжимаемой жидкости”, Сиб. журн. вычисл. матем., 14:3 (2011), 291–296
- S. Bensid, J. I. Diaz, “Stability results for discontinuous nonlinear elliptic and parabolic problems with a $S$-shaped bifurcation branch of stationary solutions”, Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B, 22:5 (2017), 1757–1778
- И. В. Шрагин, “Условия измеримости суперпозиций”, Докл. АН СССР, 197:2 (1971), 295–298
- Д. Гилбарг, Н. Трудингер, Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка, Наука, М., 1989, 464 с.
- М. А. Красносельский, А. В. Покровский, Системы с гистерезисом, Наука, М., 1983, 272 с.
- Н. Данфорд, Дж. Т. Шварц, Линейные операторы, т. I, Общая теория, ИЛ, М., 1962, 895 с.
- В. Н. Павленко, О. В. Ульянова, “Метод верхних и нижних решений для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями”, Изв. вузов. Матем., 1998, № 11, 69–76
- H. Amann, “Fixed point equations and nonlinear eigenvalue problems in ordered Banach spaces”, SIAM Rev., 18:4 (1976), 620–709
- М. А. Красносельский, Положительные решения операторных уравнений, Физматгиз, М., 1962, 394 с.