On the standard conjecture for a fibre product of three elliptic surfaces with pairwise-disjoint discriminant loci
- Authors: Tankeev S.G.1
-
Affiliations:
- Vladimir State University
- Issue: Vol 83, No 3 (2019)
- Pages: 213-256
- Section: Articles
- URL: https://journals.rcsi.science/1607-0046/article/view/133795
- DOI: https://doi.org/10.4213/im8754
- ID: 133795
Cite item
Abstract
We prove that the Grothendieck standard conjecture $B(X)$ of Lefschetz typeon the algebraicity of the operator $ ^{\mathrm{c}}\Lambda$ of Hodge theoryis true for the fibre product $X=X_1\times_CX_2\times_CX_3$ of complex ellipticsurfaces $X_k\to C$ over a smooth projective curve $C$ provided that thediscriminant loci $\{\delta\in C\mid \operatorname{Sing}(X_{k\delta})\neq\varnothing\}$ $(k=1,2,3)$ are pairwise disjoint.
About the authors
Sergey Gennadievich Tankeev
Vladimir State University
Email: tankeev@vlsu.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor
References
- A. Grothendieck, “Standard conjectures on algebraic cycles”, Algebraic geometry, Internat. colloq. (Tata Inst. Fund. Res., Bombay, 1968), Oxford Univ. Press, London, 1969, 193–199
- S. L. Kleiman, “Algebraic cycles and the Weil conjectures”, Dix exposes sur la cohomologie des schemas, Adv. Stud. Pure Math., 3, North-Holland, Amsterdam, 1968, 359–386
- С. Г. Танкеев, “О стандартной гипотезе для комплексных абелевых схем над гладкими проективными кривыми”, Изв. РАН. Сер. матем., 67:3 (2003), 183–224
- D. I. Lieberman, “Numerical and homological equivalence of algebraic cycles on Hodge manifolds”, Amer. J. Math., 90:2 (1968), 366–374
- С. Г. Танкеев, “О стандартной гипотезе типа Лефшеца для комплексных проективных трехмерных многообразий. II”, Изв. РАН. Сер. матем., 75:5 (2011), 177–194
- F. Charles, E. Markman, “The standard conjectures for holomorphic symplectic varieties deformation equivalent to Hilbert schemes of $K3$ surfaces”, Compos. Math., 149:3 (2013), 481–494
- О. В. Никольская, “Об алгебраических циклах на расслоенном произведении семейств $K3$-поверхностей”, Изв. РАН. Сер. матем., 77:1 (2013), 145–164
- D. Huybrechts, M. Lehn, The geometry of moduli spaces of sheaves, Aspects Math., E31, Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1997, xiv+269 pp.
- D. Arapura, “Motivation for Hodge cycles”, Adv. Math., 207:2 (2006), 762–781
- С. Г. Танкеев, “О стандартной гипотезе и существовании разложения Чжоу–Лефшеца для комплексных проективных многообразий”, Изв. РАН. Сер. матем., 79:1 (2015), 185–216
- С. Г. Танкеев, “Об индуктивном подходе к стандартной гипотезе для расслоенного комплексного многообразия с сильными полустабильными вырождениями”, Изв. РАН. Сер. матем., 81:6 (2017), 199–231
- G. Kempf, F. Knudsen, D. Mumford, B. Saint-Donat, Toroidal embeddings. I, Lecture Notes in Math., 339, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1973, viii+209 pp.
- K. Kodaira, “On compact analytic surfaces. II”, Ann. of Math. (2), 77:3 (1963), 563–626
- П. Делинь, Д. Мамфорд, “Неприводимость многообразия кривых заданного рода”, Математика. Сб. пер., 16:3 (1972), 13–53
- R. Miranda, The basic theory of elliptic surfaces, Notes of lectures, Dottorato Ric. Mat., ETS Editrice, Pisa, 1989, vi+108 pp.
- P. Deligne, “Theorie de Hodge. III”, Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math., 44 (1974), 5–77
- Г. А. Мустафин, “Семейства алгебраических многообразий и инвариантные циклы”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 49:5 (1985), 948–978
- П. Делинь, “Теория Ходжа. II”, Математика. Сб. пер., 17:5 (1973), 3–56
- Ю. Г. Зархин, “Веса простых алгебр Ли в когомологиях алгебраических многообразий”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 48:2 (1984), 264–304
- B. B. Gordon, “A survey of the Hodge conjecture for Abelian varieties”: J. D. Lewis, A survey of the Hodge conjecture, CRM Monogr. Ser., 10, 2nd ed., Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999, 314–373
- Н. Бурбаки, Группы и алгебры Ли, гл. 1–3, Элементы математики, Мир, М., 1976, 496 с.
- S. Zucker, “Hodge theory with degenerating coefficients: $L_2$ cohomology in the Poincare metric”, Ann. of Math. (2), 109:3 (1979), 415–476
- С. Г. Танкеев, “О стандартной гипотезе типа Лефшеца для комплексных проективных трехмерных многообразий”, Изв. РАН. Сер. матем., 74:1 (2010), 175–196
- Р. Годеман, Алгебраическая топология и теория пучков, ИЛ, М., 1961, 319 с.
- Дж. Милн, Этальные когомологии, Мир, М., 1983, 392 с.
- Г. Э. Бредон, Теория пучков, Наука, М., 1988, 312 с.
- Р. Уэллс, Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях, Мир, М., 1976, 284 с.
- C. H. Clemens, “Degeneration of Kähler manifolds”, Duke Math. J., 44:2 (1977), 215–290
- W. Schmid, “Variation of Hodge structure: the singularities of the period mapping”, Invent. Math., 22:3-4 (1973), 211–319
- Н. Бурбаки, Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра, Элементы математики, Физматгиз, М., 1962, 516 с.
- Вик. С. Куликов, П. Ф. Курчанов, “Комплексные алгебраические многообразия: периоды интегралов, структуры Ходжа”, Алгебраическая геометрия – 3, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 36, ВИНИТИ, М., 1989, 5–231
- Ж.-П. Серр, Абелевы $l$-адические представления и эллиптические кривые, Мир, М., 1973, 192 с.
- Н. Бурбаки, Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра, Элементы математики, Наука, М., 1987, 183 с.
- T. Shioda, “On the Mordell–Weil lattices”, Comment. Math. Univ. St. Paul., 39:2 (1990), 211–240
- M. Schütt, T. Shioda, “Elliptic surfaces”, Algebraic geometry in East Asia – Seoul 2008, Adv. Stud. Pure Math., 60, Math. Soc. Japan, Tokyo, 2010, 51–160
- Д. Мамфорд, Лекции о кривых на алгебраической поверхности, Мир, М., 1968, 236 с.
- Р. Хартсхорн, Алгебраическая геометрия, Мир, М., 1981, 600 с.
- C. Voisin, Hodge theory and complex algebraic geometry, v. I, Cambridge Stud. Adv. Math., 76, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2002, x+322 pp.
- W. Fulton, Equivariant cohomology in algebraic geometry. Appendix A. Algebraic topology, Eilenberg lectures, notes by D. Anderson (Columbia Univ., 2007), 2007, 13 pp.
- А. Н. Паршин, “Минимальные модели кривых рода 2 и гомоморфизмы абелевых многообразий, определенных над полем конечной характеристики”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 36:1 (1972), 67–109
- Ю. И. Манин, Кубические формы: алгебра, геометрия, арифметика, Наука, М., 1972, 304 с.
- Дж. Харрис, Алгебраическая геометрия. Начальный курс, МЦНМО, М., 2005, 400 с.