On mixed dynamics of two-dimensional reversible diffeomorphisms with symmetric non-transversal heteroclinic cycles

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We consider one-parameter families (general unfoldings) of two-dimensional reversible diffeomorphisms that contain a diffeomorphism with a symmetric non-transversal heteroclinic cycle. We show that in such families there exist Newhouse intervals of parameters such that the values corresponding to the co-existence of infinitely many stable, completely unstable, saddle and symmetric elliptic periodic orbits are generic (that is, they form Baire second-category sets). Also, the closures of the sets of orbits of different types have non-empty intersections.

About the authors

Sergei Vladimirovich Gonchenko

Lobachevski State University of Nizhni Novgorod

Email: sergey.gonchenko@mail.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Marina Sergeevna Gonchenko

Universitat Politècnica de Catalunya, Escola Politècnica Superior d’Enginyeria de Manresa

Email: marina.gonchenko@upc.edu

Il'ya Olegovich Sinitsky

Lobachevski State University of Nizhni Novgorod

Email: sinitskyilya@yandex.ru

References

  1. С. В. Гонченко, Д. В. Тураев, Л. П. Шильников, “Об областях Ньюхауса двумерных диффеоморфизмов, близких к диффеоморфизму с негрубым гетероклиническим контуром”, Динамические системы и смежные вопросы, Сборник статей. К 60-летию со дня рождения академика Дмитрия Викторовича Аносова, Тр. МИАН, 216, Наука, М., 1997, 76–125
  2. S. V. Gonchenko, L. P. Shilnikov, O. V. Sten'kin, “On Newhouse regions with infinitely many stable and unstable invariant tori”, Progress in nonlinear science (Nizhny Novgorod, 2001), v. 1, RAS, Inst. Appl. Phys., Nizhniy Novgorod, 2002, 80–102
  3. С. В. Гонченко, О. В. Стенькин, Л. П. Шильников, “О существовании счетного множества устойчивых и неустойчивых инвариантных торов у систем из областей Ньюхауса с гетероклиническими касаниями”, Нелинейная динам., 2:1 (2006), 3–25
  4. D. Turaev, “Maps close to identity and universal maps in the Newhouse domain”, Comm. Math. Phys., 335:3 (2015), 1235–1277
  5. S. V. Gonchenko, “Reversible mixed dynamics: a concept and examples”, Discontin. Nonlinearity Complex., 5:4 (2016), 365–374
  6. С. В. Гонченко, Д. В. Тураев, “О трех типах динамики и понятии аттрактора”, Порядок и хаос в динамических системах, Сборник статей. К 80-летию со дня рождения академика Дмитрия Викторовича Аносова, Тр. МИАН, 297, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2017, 133–157
  7. S. E. Newhouse, “The abundance of wild hyperbolic sets and non-smooth stable sets for diffeomorphisms”, Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math., 50 (1979), 101–151
  8. С. В. Гонченко, Д. В. Тураев, Л. П. Шильников, “О существовании областей Ньюхауса вблизи систем с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре (многомерный случай)”, Докл. РАН, 329:4 (1993), 404–407
  9. S. E. Newhouse, “Diffeomorphisms with infinitely many sinks”, Topology, 13 (1974), 9–18
  10. С. В. Гонченко, Д. В. Тураев, Л. П. Шильников, “Динамические явления в многомерных системах с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре”, Докл. РАН, 330:2 (1993), 144–147
  11. S. V. Gonchenko, L. P. Shil'nikov, D. V. Turaev, “Dynamical phenomena in systems with structurally unstable Poincare homoclinic orbits”, Chaos, 6:1 (1996), 15–31
  12. S. V. Gonchenko, L. P. Shilnikov, D. Turaev, “On dynamical properties of multidimensional diffeomorphisms from Newhouse regions. I”, Nonlinearity, 21:5 (2008), 923–972
  13. V. S. Afraĭmovich, L. P. Shilnikov, “Strange attractors and quasiattractors”, Nonlinear dynamics and turbulence, Interaction Mech. Math. Ser., Pitman, Boston, MA, 1983, 1–34
  14. С. В. Гонченко, Л. П. Шильников, “О двумерных сохраняющих площадь отображениях с гомоклиническими касаниями”, Докл. РАН, 378:6 (2001), 727–732
  15. M. S. Gonchenko, S. V. Gonchenko, “On cascades of elliptic periodic points in two-dimensional symplectic maps with homoclinic tangencies”, Regul. Chaotic Dyn., 14:1 (2009), 116–136
  16. A. Delshams, M. Gonchenko, S. Gonchenko, “On dynamics and bifurcations of area-preserving maps with homoclinic tangencies”, Nonlinearity, 28:9 (2015), 3027–3071
  17. A. O. Kazakov, “Strange attractors and mixed dynamics in the problem of an unbalanced rubber ball rolling on a plane”, Regul. Chaotic Dyn., 18:5 (2013), 508–520
  18. L. M. Lerman, D. Turaev, “Breakdown of symmetry in reversible systems”, Regul. Chaotic Dyn., 17:3-4 (2012), 318–336
  19. A. S. Gonchenko, S. V. Gonchenko, A. O. Kazakov, D. V. Turaev, “On the phenomenon of mixed dynamics in Pikovsky–Topaj system of coupled rotators”, Phys. D, 350 (2017), 45–57
  20. M. B. Sevryuk, Reversible Systems, Lecture Notes in Math., 1211, Springer-Verlag, Berlin, 1986, vi+319 pp.
  21. C. В. Гонченко, Й. С. В. Лэмб, И. Риос, Д. Тураев, “Аттракторы и репеллеры в окрестности эллиптических точек обратимых систем”, Докл. РАН, 454:4 (2014), 375–378
  22. Д. В. Аносов, И. У. Бронштейн, “Гладкие динамические системы. Гл. 3. Топологическая динамика”, Динамические системы – 1, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 1, ВИНИТИ, М., 1985, 204–229
  23. J. S. W. Lamb, O. V. Stenkin, “Newhouse regions for reversible systems with infinitely many stable, unstable and elliptic periodic orbits”, Nonlinearity, 17:4 (2004), 1217–1244
  24. A. Delshams, S. V. Gonchenko, V. S. Gonchenko, J. T. Lazaro, O. V. Sten'kin, “Abundance of attracting, repelling and elliptic periodic orbits in two-dimensional reversible maps”, Nonlinearity, 26:1 (2013), 1–33
  25. A. Delshams, M. Gonchenko, S. V. Gonchenko, J. T. Lazaro, “Mixed dynamics of $2$-dimensional reversible maps with a symmetric couple of quadratic homoclinic tangencies”, Discrete Contin. Dyn. Syst., 38:9 (2018), 4483–4507
  26. С. В. Гонченко, Л. П. Шильников, “Об инвариантах $Omega$-сопряженности диффеоморфизмов с негрубой гомоклинической траекторией”, Укр. матем. журн., 42:2 (1990), 153–159
  27. С. В. Гонченко, Л. П. Шильников, “О модулях систем с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре”, Изв. РАН. Сер. матем., 56:6 (1992), 1165–1197
  28. C. Conley, Isolated invariant sets and the Morse index, CBMS Regional Conf. Ser. in Math., 38, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1978, iii+89 pp.
  29. D. Ruelle, “Small random perturbations of dynamical systems and the definition of attractors”, Comm. Math. Phys., 82:1 (1981), 137–151
  30. M. Hurley, “Attractors: persistence, and density of their basins”, Trans. Amer. Math. Soc., 269:1 (1982), 247–271
  31. Д. В. Тураев, Л. П. Шильников, “Пример дикого странного аттрактора”, Матем. сб., 189:2 (1998), 137–160
  32. S. S. Gonchenko, A. O. Kazakov, D. Turaev, Wild pseudohyperbolic attractors in a four-dimensional Lorenz system
  33. A. S. Gonchenko, S. V. Gonchenko, A. O. Kazakov, A. D. Kozlov, “Elements of contemporary theory of dynamical chaos: a tutorial. Part I. Pseudohyperbolic attractors”, Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg., 28:11 (2018), 1830036, 29 pp.
  34. S. V. Gonchenko, L. P. Shil'nikov, D. V. Turaev, “Quasiattractors and homoclinic tangencies”, Comput. Math. Appl., 34:2-4 (1997), 195–227

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2020 Gonchenko S.V., Gonchenko M.S., Sinitsky I.O.

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).