Instantaneous blow-up versus local solubility of the Cauchy problem for a two-dimensional equation of a semiconductor with heating
- Authors: Korpusov M.O.1,2, Panin A.A.1
-
Affiliations:
- Faculty of Physics, Lomonosov Moscow State University
- Peoples' Friendship University of Russia
- Issue: Vol 83, No 6 (2019)
- Pages: 104-132
- Section: Articles
- URL: https://journals.rcsi.science/1607-0046/article/view/133786
- DOI: https://doi.org/10.4213/im8872
- ID: 133786
Cite item
Open Access
Access granted
Subscription Access
Abstract
We consider the Cauchy problem for a model third-order partial differential equation with non-linearity of the form$|\nabla u|^q$. We prove that for $q\in(1,2]$ the Cauchy problem in $\mathbb{R}^2$ has no local-in-time weaksolution for a large class of initial functions, while for $q>2$ a local weak solution exists.
About the authors
Maxim Olegovich Korpusov
Faculty of Physics, Lomonosov Moscow State University; Peoples' Friendship University of Russia
Email: korpusov@gmail.com
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor
Alexander Anatolyevich Panin
Faculty of Physics, Lomonosov Moscow State University
Email: a-panin@yandex.ru
Candidate of physico-mathematical sciences, no status
References
- H. Brezis, X. Cabre, “Some simple nonlinear PDE's without solutions”, Boll. Unione Mat. Ital. Sez. B Artic. Ric. Mat. (8), 1-B:2 (1998), 223–262
- X. Cabre, Y. Martel, “Existence versus explosion instantanee pour des equations de la chaleur lineaires avec potentiel singulier [Existence versus instantaneous blow-up for linear heat equations with singular potentials]”, C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math., 329:11 (1999), 973–978
- F. B. Weissler, “Local existence and nonexistence for semilinear parabolic equations in $L^p$”, Indiana Univ. Math. J., 29:1 (1980), 79–102
- Э. Митидиери, С. И. Похожаев, “Априорные оценки и отсутствие решений нелинейных уравнений и неравенств в частных производных”, Тр. МИАН, 234, Наука, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2001, 3–383
- V. A. Galaktionov, J.-L. Vazquez, “The problem of blow-up in nonlinear parabolic equations”, Current developments in partial differential equations (Temuco, 1999), Discrete Contin. Dyn. Syst., 8:2 (2002), 399–433
- J. A. Goldstein, I. Kombe, “Instantaneous blow up”, Advances in differential equations and mathematical physics (Birmingham, AL, 2002), Contemp. Math., 327, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2003, 141–150
- Y. Giga, N. Umeda, “On instant blow-up for semilinear heat equations with growing initial data”, Methods Appl. Anal., 15:2 (2008), 185–195
- Е. И. Галахов, “Об отсутствии локальных решений некоторых эволюционных задач”, Матем. заметки, 86:3 (2009), 337–349
- Е. И. Галахов, “О мгновенном разрушении решений некоторых квазилинейных эволюционных задач”, Дифференц. уравнения, 46:3 (2010), 326–335
- B. D. Coleman, R. J. Duffin, V. J. Mizel, “Instability, uniqueness, and nonexistence theorems for the equation $u_t=u_{xx}-u_{xtx}$ on a strip”, Arch. Rational Mech. Anal., 19:2 (1965), 100–116
- Г. А. Свиридюк, “К общей теории полугрупп операторов”, УМН, 49:4(298) (1994), 47–74
- A. B. Al'shin, M. O. Korpusov, A. G. Sveshnikov, Blow-up in nonlinear Sobolev type equations, De Gruyter Ser. Nonlinear Anal. Appl., 15, Walter de Gruyter & Co., Berlin, 2011, xii+648 pp.
- М. О. Корпусов, “Критические показатели мгновенного разрушения или локальной разрешимости нелинейных уравнений соболевского типа”, Изв. РАН. Сер. матем., 79:5 (2015), 103–162
- M. O. Korpusov, A. V. Ovchinnikov, A. A. Panin, “Instantaneous blow-up versus local solvability of solutions to the Cauchy problem for the equation of a semiconductor in a magnetic field”, Math. Methods Appl. Sci., 41:17 (2018), 8070–8099
- В. Л. Бонч-Бруевич, С. Г. Калашников, Физика полупроводников, Наука, М., 1977, 672 с.
- В. А. Диткин, А. П. Прудников, Справочник по операционному исчислению, Высшая школа, М., 1965, 465 с.
- И. С. Градштейн, И. М. Рыжик, Таблицы интегралов, рядов и произведений, 7-е изд., Бхв-Петербург, СПб., 2011, 1176 с.
- В. С. Владимиров, Уравнения математической физики, 5-е изд., Наука, М., 1988, 512 с.
- А. А. Панин, “О локальной разрешимости и разрушении решения абстрактного нелинейного интегрального уравнения Вольтерра”, Матем. заметки, 97:6 (2015), 884–903
- Дж. Уэрмер, Теория потенциала, Мир, М., 1980, 136 с.
Supplementary files
