Динамический изгиб балки

Полный текст

1. Введение. Исследование динамического поведения конструкций и их элементов притягивает внимание ученых всего мира. Тем не менее остаётся ещё много вопросов, которые следуют рассмотреть более внимательно и скрупулезно. Следует отметить, что при значительном интересе к таким задачам большинство работ относятся к изучению собственных колебаний таких конструкции [1–3], в то время как решению волновых уравнений уделяется значительно меньшее внимание.

Хорошо известны задачи о продольных волновых движениях стержней, как однородных, так и не однородных, находящихся в условиях разных стеснений [4–10]. В этих работах показано, что в стержне возникает волновой фронт, который движется по длине стержня со скоростью звука. При этом точка приложения нагрузки (свободный конец) движется также с постоянной скоростью, но в противоположную сторону. И это решение не вызывает никаких возражений у исследователей.

Значительно меньшее количество работ посвящено исследованию динамики стержней, подверженных импульсному воздействию. Можно отметить работы [11, 12], выполненные в Санкт-Петербурге под руководством академика Н.Ф. Морозова.

В литературе также известно аналитическое решение задачи о движении стержня бесконечной длины, нагруженного в некоторой точке поперечной силой [13]. Особенностью данного решения является то, что в решении отсутствует волновой фронт. Считается, что все изменения напряжённо деформированного состояния балки распространяются с бесконечной скоростью. В литературе нет объяснения этого факта. Можно предположить, что такое отличие может быть связано, во-первых, некорректностью описания данного явления. Во-вторых, это может соответствовать физической сущности рассматриваемого явления и все результаты корректны. В статье довольно подробно исследуются эти решения.

В статье применяется метод, основанный на удовлетворении законов сохранения, а именно, закона сохранения энергии, закона изменения количества движения и закона изменения момента количества движения.

Рассмотрены три задачи о движении однородного полубесконечной длины стержня под действием постоянными продольной силы, поперечной силы, а также сосредоточенного момента. Полученные результаты сравниваются друг с другом и с ранее полученными решениями.

2. Динамическое поведение балки под действием сосредоточенной продольной силы. Рассмотрим длинный однородный стержень постоянного сечения, показанный на рис. 1, у которого один конец расположен в точке x = 0, а другой уходит в бесконечность. Предположим, что продольные напряжения в стержне являются преобладающими настолько, что остальными компонентами тензора напряжений можно пренебречь. Материал, из которого сделан стержень, характеризуется модулем упругости E. Так, что

Рис. 1. Полубесконечный однородный стержень.

$\sigma (x,t)=E\epsilon (x,t),$ (2.1)

где $\sigma$(x, t) – функция внутренних напряжений, а

$\epsilon (x,t)=\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}$ (2.2)

– функция деформаций, возникающих в процессе движения стержня.

Введем в рассмотрение функцию плотности количества движения p

$p(x,t)=\rho \frac{\partial u(x,t)}{\partial t}.$ (2.3)

Тогда динамическое уравнение равновесия для стержня, связывающее инерционную силу с изменением напряжения по длине стержня, имеет вид

$\frac{\partial \sigma (x,t)}{\partial x}-\frac{\partial p(x,t)}{\partial t}=0.$ (2.4)

Используя соотношения (0.1)–(0.4), можно получить волновое уравнение

$E\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}-\rho \frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=\mathrm{0,}$ (2.5)

определяющее скорость распространения продольных упругих волн в стержне

$v_s=\sqrt{E/\rho }.$ (2.6)

Здесь E – модуль Юнга, r – объемная плотность, u – функция перемещений точек стержня.

Предположим, что стержень в начальный момент времени находится в покое, т. е. перемещения и скорости всех точек стержня равны нулю

$u(x,t)=\dot{u}(x,t)=\mathrm{0,}t=0.$ (2.7)

В этот же момент времени к левому концу стержня (x = 0) прикладывается сила s₀. Считается, что в процессе движения стержня эта сила не меняется. Изучим изменение состояния стержня в процессе его движения. После того, как сила была приложена к стержню, он начинает двигаться, растягиваясь вслед за силой. При этом возмущение точек стержня, вызванные внешней силой распространяется в противоположную сторону. Следовательно область возмущения увеличивается в процессе движения.

При этом точки стержня движутся таким образом, что можно выделить некоторую точку x = x₁ и соответствующий момент времени t = t₁. Слева от этой точки состояние стержня считается возмущённым

$u(x,t)\ne \mathrm{0,}\dot{u}(x,t)\ne \mathrm{0,}\sigma (x,t)\ne \mathrm{0,}x<x_1,t<t_1,$ (2.8)

а справа остается невозмущенным

$u(x,t)=\mathrm{0,}\dot{u}(x,t)=\mathrm{0,}\sigma (x,t)=\mathrm{0,}x>x_1,t>t_1.$ (2.9)

Со временем положение точки x₁ изменяется со скоростью v_f (скорость волнового фронта).

Для того чтобы описать динамическое поведение стержня нужно удовлетворить все законы сохранения, а именно закон сохранения энергии и закон изменения количества движения.

Предположим, чтобы удовлетворить всем законам сохранения можно выбрав функцию перемещений в виде линейной функции от пространственной координаты и времени

$u(x,t)=a+bx+ct,$ (2.10)

где a, b и c – неизвестные константы. Очевидно, что функция (2.10) тождественно удовлетворяет уравнен ие (2.5). Предположим также, что скорость волнового фронта также постоянна v_f = const.

Для того чтобы вычислить изменения кинетической $\Delta$T и потенциальной $\Delta$W энергий, а также работу внешних сил DA, выделим малый элемент стержня с координатой x = x₁ и длиной D x. Используя введенное постоянство скорости волнового фронта, можно видеть, что справедливо следующее равенство

$\Delta x=v_f\Delta t.$ (2.11)

Здесь $\Delta$t – временной интервал, в течение которого произошло изменение в координате $\Delta$x. Тогда изменение кинетической энергии $\Delta$T на этом интервале имеет вид

$\Delta T=\rho \frac{v_d^2}{2}\Delta x,$ (2.12)

где v_d – скорость деформирования стержня

$v_d=\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}.$ (2.13)

Для изменения потенциальной энергии получим следующее выражение

$\Delta W=\frac{{\sigma }_0^2}{2E}\Delta x.$ (2.14)

При этом прирост совершенной работы внешней силой $\sigma$₀ есть

$\Delta A=\frac{{\sigma }_0^2}{E}\Delta x.$ (2.15)

Тогда из закона сохранения энергии $∆$T + $∆$W - $∆$A = 0 находится скорость деформирования стержня

$v_d=\frac{{\sigma }_0}{\sqrt{E\rho }}.$ (2.16)

Закон изменения количества движения позволяет найти скорость волнового фронта v_f в явном виде. Для изменения количества движения p на заданном интервале $∆$ x имеем следующее выражение

$\Delta p=\rho v_d\Delta x.$ (2.17)

Для приращения импульса силы Df с учетом (2.11) получим

$\Delta f={\sigma }_0\Delta t={\sigma }_0\frac{\Delta x}{v_f}.$ (2.18)

Равенство правых частей раве нств и позволяет выразить скорость волнового фронта v_f через скорость деформирования v_d

$v_f=\frac{{\sigma }_0}{\rho v_d}.$ (2.19)

Или с учетом

$v_f=\sqrt{\frac{E}{\rho }}.$ (2.20)

Сравнение соотно шений и позволяет сделать вывод, что скорость волнового фронта v_f равна скорости распространения продольных упругих волн в стержне v_s.

Учитывая, что движение точек стержня происходят с постоянной скоростью, то перемещения стержня можно записать в виде

$\begin{array}{c}u=\frac{{\sigma }_0}{E}(x-v_{f}t),x<v_{f}t,\\ u=\mathrm{0,}x\ge v_{f}t.\end{array}$ (2.21)

3. Динамический изгиб балки под действием сосредоточенного поперечной силы. Рассмотрим, как и в предыдущем случае, прямолинейный стержень полубесконечной длины, показанный на рис. 2. Считается, что стержень находится в покое, то есть перемещения u(x) = 0 и скорости $\stackrel{.}{u}$(x) = 0 всех точек стержня равны нулю. В начальный момент времени t = 0 к концу стержня с координатой x = 0 прикладывается сосредоточенная поперечная сила P₀ > 0, которая воздействует на стержень всё время.

Задача состоит в том, чтобы определить напряжённо деформированное состояние стержня в любой момент времени.

Сначала кратко приведем основные результаты, полученные ранее [13], при решении данной задачи, основываясь на модели балки Эйлера–Бернулли. Из балочного уравнения

Рис. 2. Изгибаемый стержень сосредоточенной силой.

$\frac{{\partial }^{4}u}{\partial x^4}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}={\delta }_1\left(x\right),$ (3.1)

где d₁(x) дельта функция, с помощью преобразования Фурье по x находим

$u=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\frac{\left(1-\cos z^{2}t\right)}{z^2}\cos zxdz.$ (3.2)

Здесь единицами измерения длины служит радиус инерции стержня r = (J/S )^1/2; времени – r/c₀, где c₀ = (E/r)^1/2; J, S – момент инерции и площадь поперечного сечения балки.

Дифференцируя интеграл по времени (здесь дифференцирование под знаком интеграла допустимо), получаем

$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\frac{\sin z^{2}t\cos zx}{z^2}dz=\frac{\kappa }{2}\left\{F\left(\kappa \right)-C\left(\kappa \right)\right\}+\sqrt{\frac{t}{\pi }}\sin \left(\kappa +\frac{\pi }{4}\right),\kappa =\frac{x^2}{4t},$ (3.3)

где F (k) и C (k) – интегралы Френеля:

$F\left(\kappa \right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{0}{\overset{\kappa }{\int }}\frac{\sin t}{\sqrt{t}}dt,C\left(\kappa \right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{0}{\overset{\kappa }{\int }}\frac{\cos t}{\sqrt{t}}dt.$ (3.4)

Интегрируя по частям (0.25) получим

$\begin{array}{c}u=\frac{2}{3}\sqrt{\frac{1}{\pi }}{t}^{\frac{3}{2}}\left\{\sin \left(\kappa +\frac{\pi }{4}\right)-\kappa \cos \left(\kappa +\frac{\pi }{4}\right)+\right.\\ +\frac{3}{2}\sqrt{\pi \kappa }\left[S\left(\kappa \right)-F\left(\kappa \right)\right]+\sqrt{\pi }{\kappa }^{\frac{3}{2}}\left[1-F\left(\kappa \right)-S\left(\kappa \right)\right].\end{array}$ (3.5)

Функция перемещений (3.5) представлена на рис. 3 для трех моментов времени. Из представленных зависимостей видно, что решение определено на всем диапазоне x > 0, t > 0 и нельзя выделить такую точку x₁ (как это было сделано в предыдущем разделе), определяющую положение волнового фронта. Другими словами, скорость распространения возмущения по длине балки равна бесконечности. Также стоит отметить осциллирующий характер решения.

Рис. 3. Функция перемещений u для моментов времени t = 1, 5, 10.

Характерной особенностью полученного решения является то, что оно представимо в виде

$u=t^{\frac{2}{3}}v\left(\kappa \right).$ (3.6)

Амплитуда прогиба растёт пропорционально t^3/2, а форма, как функция k = x²/4t, остается постоянной (в функции от x, оставаясь подобной самой себе, расширяется пропорционально $\sqrt{t}$. При x = 0 (k = 0)

$u=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{2}{\pi }}{t}^{\frac{3}{2}}.$ (3.7)

При $x\to \infty$

$u~-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{\pi }}{t}^{\frac{3}{2}}\frac{\sin \left(\kappa +\frac{\pi }{4}\right)}{{\kappa }^2}.$ (3.8)

Таким образом, прогиб стержня описывается осциллирующей функцией. Для криви зны балки из следует, что

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=-\sqrt{\frac{t}{\pi }}\left\{\cos \left(\kappa +\frac{\pi }{4}\right)-\sqrt{\pi \kappa }\left[1-F\left(\kappa \right)-C\left(\kappa \right)\right]\right\}$ (3.9)

При k = 0

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=-\sqrt{\frac{t}{2\pi }}.$ (3.10)

А при $\kappa \to \infty$

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}~\frac{1}{2}\sqrt{\frac{t}{\pi }}\frac{\sin \left(\kappa +\frac{\pi }{4}\right)}{\kappa }.$ (3.11)

Для того чтобы решить эту задачу, удовлетворяя, как и в предыдущем параграфе законам сохранения, сделаем два важных предположения. Во-первых, в некоторые момент времени t = t₁ существует такая точка x = x₁ (рис. 3), которая разделяет стержень на две части. При x > x₁ все точки стержня нахо дятся в покое (2.9). А при x < x₁ все точки стержня имеют не нулевые перемеще ния и скорости (2.8).

Во-вторых, для всех точек x < x₁ напряжённо деформированное состояние стержня является однородным и удовлетворяет следующему уравнению состояния

$u_{xxx}-\frac{P_0}{EJ}=0.$ (3.12)

Также будем считать, что положение точки x₁ является непрерывной функцией времени t.

Трижды интегрируя уравнение (0.33) по координате x получим следующее выражение для функции перемещений

$u\left(x,t\right)=\frac{P_0{x}^3}{6EJ}+\frac{c_1\left(t\right)x^2}{2}+c_2\left(t\right)x+c_3\left(t\right).$ (3.13)

Здесь c₁(t), c₂(t) и c₃(t) есть неизвестные функции времени. В дальнейшем аргументы у функций будут опущены.

Удовлетворяя условие непрерывности функции перемещений в точке x = x₁(t) и исключая функцию c₃, получим следующую функцию перемещений

$u=P_0\frac{x^3-{x_1}^3}{6EJ}+c_1\frac{x^2-{x_1}^2}{2}+c_2\left(x-x_1\right).$ (3.14)

Функция скоростей u_t находится простым дифференцированием функции перемещений по времени

$u_t=c_{1t}\frac{x^2-{x_1}^2}{2}-c_{2t}\left(x-x_1\right)-\frac{P_0{x_1}^2{x}_{1t}}{2EJ}-x_{1t}{c}_2-x_1{c}_{2t}.$ (3.15)

После сделанных предположений задача заключается в нахождении трех неизвестных функций времени x₁, c₁ и c₂. Для определения этих функций воспользуемся законами сохранения, а именно, законами сохранения энергии, изменения количества движения и изменения момента количества движения.

Закон сохранения энергии имеет вид

$T_0\left(t\right)+{\Pi }_0\left(t\right)-A_0\left(t\right)=0$ (3.16)

Для кинетической энергии имеем следующее выражение

$\begin{array}{c}{T}_0\left(t\right)=\frac{\rho {x_1}^5{c}_{1t}}{15}+\frac{\rho {x_1}^4{x}_{1t}{c}_{1t}}{3}+\frac{\rho {x_1}^3{x}_{1t}^2{c_1}^2}{2}+\frac{\rho P_0{x_1}^5{c}_{1t}{x}_{1t}}{6EJ}+\frac{\rho P_0{x_1}^4{x_{1t}}^2{c}_1}{2EJ}+\\ +\frac{\rho {P_0}^2{x_1}^5{x}_{1t}^2}{8E{J}^2}+\frac{5\rho {x_1}^4{c}_1{c}_2}{24}+\frac{\rho {x_1}^3{x}_{1t}{c}_{1t}{c}_2}{3}+\frac{\rho {x_1}^3{x}_{1t}{c}_{2t}{c}_1}{2}+\rho {x_1}^2{x_{1t}}^2{c}_1{c}_2+\\ +\frac{\rho P_0{x_1}^4{c}_{2t}{x}_{1t}}{4EJ}+\frac{\rho P_0{x_1}^3{x}_{1t}^2{c}_{2t}}{2EJ}+\frac{\rho {x_1}^3{c}_{2t}^2}{6}+\frac{\rho {x_1}^2{c}_{2t}{x}_{1t}{c}_2}{2}+\frac{\rho x_1{x}_{1t}^2{c_2}^2}{2}.\end{array}$ (3.17)

Понятно, что любой квалифицированный исследователь способен выписать это соотношение в явном виде. Выражение приведено только для того, чтобы продемонстрировать насколько сложно в него входят неизвестные функции.

Потенциальная энергия имеет следующее представление

$W_0=\underset{0}{\overset{x_1\left(t\right)}{\int }}\frac{{\left(P_{0}x\right)}^2}{6EJ}dx=\frac{{P_0}^2{x_1}^3}{6EJ}.$ (3.18)

И работа внешних сил

$A_0=P_{0}u\left(t\mathrm{,0}\right)=-P_0{x}_1\left(\frac{x_1{c}_1}{2}+\frac{{x_1}^2}{6EJ}+c_2\right).$ (3.19)

Подстановка выраже ний (3.17)–(3.19) в равенство позволяет скомпоновать одно обыкновенное нелинейное дифференциальное уравнение, зависящее от трех неизвестных функций x₁, c₁ и c₂.

Выражение для плотности количества движения стержня имеет вид

$p(x,t)=\rho u_t.$ (3.20)

Закон изменения количества движения (условие динамического равновесия) дает

$\begin{array}{c}{\left(\underset{0}{\overset{x_1}{\int }}\rho u_{t}dx\right)}_t-P_0=-2\rho {x_1}^2{c}_{1t}{x}_{1t}-\rho x_1{c}_1{x}_{1t}^2-\frac{\rho {x_1}^3{c}_{1tt}}{3}-\rho {x_1}^2{c}_1{x}_{1tt}-\\ -\frac{\rho P_0{x_1}^2{x_{1t}}^2}{EJ}-\frac{\rho P_0{x_1}^3{x}_{1t}}{2EJ}-2\rho x_1{c}_{2t}{x}_{1t}-\frac{\rho {x_1}^2{c}_{2tt}}{2}-\rho x_1{c}_2{x}_{1tt}-P_0=0.\end{array}$ (3.21)

Выражение для плотности момента количества движения стержня имеет вид

$l_0=\rho u_{t}x.$ (3.22)

Изменение моментов вычислим относительно точки x = 0. Момент от силы P₀ равен нулю. Тогда выражение dL/dt = 0 ведет к L = const. В начальный момент времени L = 0. Отсюда вытекает, что L = 0. Следовательно момент количества движения не зависит от времени и равен нулю

$L=\underset{0}{\overset{x_1}{\int }}{l}_{0}dx=3{x_1}^2{c}_{1t}+12x_1{c}_1{x}_{1t}+\frac{6P_0}{EJ}{x_1}^2{x}_{1t}+4x_1{c}_{2t}+12c_2{x}_{1t}=0.$ (3.23)

Таким образом имеем три нелинейных дифференциальных уравнения, а именно, (3.16) с подстановками (3.17)–(3.19), и уравнения (3.21) и (3.23) относительно трех переменных функций x₁, c₁ и c₂.

Введем в рассмотрение две новые функции x₂ и c₃

$x_2={x_1}^2,{ñ}_3={ñ}_1{x}_1,$ (3.24)

подстановка которых в систему уравнений приводит компоненты этих уравнений к однородному виду относительно степеней функций x₂, c₂ и c₃. Тогда используя замену

$\left\{x_2=b_{1}t,c_3=b_{2}t,c_2=b_{3}t\right\},$ (3.25)

получаем следующую систему нелинейных алгебраических уравнений относительно параметров

$\begin{array}{c}108\rho b_1{b_2}^2+330\rho b_1{b}_2{b}_3+260\rho b_1{b_3}^2+\frac{80\rho P_0{b_1}^2{b}_2}{EJ}+\frac{120\rho P_0{b_1}^2{b}_3}{EJ}+\\ +\frac{15\rho {P_0}^2{b_1}^3}{E{J}^2}+240P_0{b}_2+480P_0{b}_3+\frac{160{P_0}^2{b}_1}{EJ}=\mathrm{0,}\end{array}$ (3.26)

$10\rho EJ{b}_1{b}_2+18\rho EJ{b}_1{b}_3+3\rho P_0{b_1}^2+24P_{0}EJ=\mathrm{0,}$ (3.27)

$15EJ{b}_2+20EJ{b}_3+6P_0{b}_1=0.$ (3.28)

Эта система уравнений имеет единственное аналитическое решение

$\begin{array}{c}\left\{b_1=\sqrt{\frac{10EJ\left(385\sqrt{13}-1373\right)}{27\rho }},b_2=\frac{8\sqrt{30}{P}_0\left(40-11\sqrt{13}\right)}{3\sqrt{\rho EJ\left(385\sqrt{13}-1373\right)}},\right.\\ \left.b_3=-\frac{P_0\left(1027-275\sqrt{13}\right)}{\sqrt{30\rho EJ\left(85\sqrt{13}-1373\right)}}\right\}\end{array}$ (3.29)

или приближенное значение

$\left\{b_1=2.368\sqrt{\frac{EJ}{\rho }},b_2=1.272\frac{P_0}{\sqrt{\rho EJ}},b_2=-1.665\frac{P_0}{\sqrt{\rho EJ}}\right\}.$ (3.30)

Из решения (3.30) следует, что искомые функции x₁(t), c₁(t) и c₂(t) имеют вид

$x_1=1.539{\left(\frac{EJ}{\rho }\right)}^{1/4}\sqrt{t},c_1=\frac{0.827P_0}{\sqrt{EJ\sqrt{\rho EJ}}}\sqrt{t},c_2=-\frac{1.665P_0}{\sqrt{\rho EJ}}t.$ (3.31)

Таким о бразом функцию перемещений балки можно представить в виде

$u(x,t)=\left\{\begin{array}{l}{P}_0\left(\frac{0.167}{EJ}{x}^3-\frac{1.665}{\sqrt{\rho EJ}}xt+\frac{0.975}{\sqrt{\rho \sqrt{\rho EJ}}}{t}^{\frac{3}{2}}+\frac{0.413}{\sqrt{EJ\sqrt{\rho EJ}}}{x}^2\text{}\sqrt{t}\right),x<x_1,\\ \mathrm{0,}x\ge x_1.\end{array}\right.$ (3.32)

Характерное распределение перемещений по длине балки представлено на рис. 4. Важно отметить, что присутствует волновой фронт (точка x₁). Наличие отрицательных перемещений объясняется тем, что суммарный момент количества движения балки всегда равен нулю.

.

Рис. 4. Перемещения балки в момент времени t = 10 при следующих значениях параметров EJ = $\mathit{\rho }$ = M₀ = 1.

Соответственно, для скоростей точек балки имеем следующее представление

$u_t(x,t)=\left\{\begin{array}{l}{P}_0\left(-\frac{1.664}{\sqrt{\rho EJ}}x+\frac{0.207}{\sqrt{EJ\sqrt{\rho EJ}}}\frac{x^2}{\sqrt{t}}+\frac{1.462\sqrt{t}}{\sqrt{\rho \sqrt{\rho EJ}}}\right),x<x_1.\\ \mathrm{0,}x\ge x_1.\end{array}\right.$ (3.33)

При этом скорость волнового фронта v_f(t) является величиной переменной и равна

$v_f\left(t\right)=0.769{\left(\frac{EJ}{\rho }\right)}^{1/4}\text{}\frac{1}{\sqrt{t}}.$ (3.34)

Важно отметить, что скорость волнового фронта зависит от жесткостных и инерционных характеристик балки и не зависит от величины перерезывающей силы P₀. Стоит отметить, что с увеличением времени скорость волнового фронта уменьшается и стремится к нулю при бесконечном распространении возмущения. Скорость точки приложения нагрузки является корневой функцией времени в процессе движения и равна

$u_t\left(\mathrm{0,}t\right)=\frac{1.462P_0}{\sqrt{\rho \sqrt{\rho EJ}}}\sqrt{t}.$ (3.35)

4. Динамический изгиб балки под действием сосредоточенного момента. Рассмотрим прямолинейный стержень полубесконечной длины, показанный на рис. 5. Считается, что стержень находится в покое, то есть перемещения u(x) = 0 и скорости $\dot{u}\left(x\right)=0$ всех точек стержня равны нулю. В начальный момент времени t = 0 к концу стержня с координатой x = 0 прикладывается сосредоточенный изгибающий момент M₀ > 0, который воздействует на стержень всё время t > 0.

Также введены инерционные (линейная плотность материала r) и жесткостные (изгибная жёсткость EJ) характеристики стержня. Здесь E – модуль Юнга и J – момент инерции сечения. Считается, что все характеристики стержня постоянны и не изменяются, как по длине, так и во времени.

Задача состоит в том, чтобы определить напряжённо деформированное состояние стержня в любой момент времени. Для решения этой задачи сделаем два важных предположения. Во-первых, предположим, что в некоторые моменты времени t = t₁ существует такая точка x = x₁ (рис. 5), которая разделяет стержень на две части. При x > x₁ все точ ки стержня остаются в покое (2.9). А при x < x₁ все точки стержня имеют не ну левые перемещения и скорости (2.8). Во-вторых, предполагается, что для всех точек x < x₁ напряжённо деформированное состояние стержня является однородным и удовлетворяет следующему уравнению состояния

Рис. 5. Изгибаемый стержень сосредоточенным моментом.

$EJ{u}_{xx}-M_0=0.$ (4.1)

Также будем считать, что положение точки x₁ является непрерывной функцией времени t. Все, сделанные здесь предположения аналогичны тем, которые были сделаны в предыдущем параграфе.

Дважды интегрируя уравнение (0.57) по координате x, получим следующее выражение для функции перемещений

$u\left(x,t\right)=-\frac{M_0{x}^2}{2EJ}-a_1\left(t\right)x-b_1\left(t\right).$ (4.2)

Здесь a₁(t) и b₁(t) есть неизвестные функции времени. Аргументы у функций в дальнейшем опускаются.

Удовлетворяя условие непрерывности функции перемещений в точке x = x₁ и исключая функцию b₁, получим следующую функцию перемещений

$u=\frac{M_0\left({x_1}^2-x^2\right)}{2EJ}+a_1(x_1-x).$ (4.3)

Функция скоростей u_t находится простым дифференцированием функции перемещений по времени

$u_t=a_{1t}\left(x_1-x\right)+\left(\frac{M_0{x}_1}{EJ}+a_1\right)x_{1t}.$ (4.4)

После сделанных предположений задача заключается в нахождении двух неизвестных функций времени x₁ и a₁. Для определения этих функций воспользуемся законами сохранения, а именно, законами сохранения энергии, изменения количества движения и изменения момента количества движения.

Закон сохранения энергии запишем в виде

$T_0\left(t\right)+{\Pi }_0\left(t\right)-A_0\left(t\right)=\mathrm{0,}$ (4.5)

где T₀(t) – кинетическая энергия балки, П₀(t) – ее потенциальная энергия, A₀(t) – работа внешних сил, совершенная над балкой. Все эти величины вычислены в момент времени t.

Для кинетической энергии имеем следующее выражение

$\begin{array}{c}{T}_0=\underset{0}{\overset{x_1}{\int }}\frac{\rho {u_t}^2}{2}dx=\frac{\rho a_t^2{x}_1^3}{6}+\frac{\rho a{x}_1^2{a}_t{x}_{1t}}{2}+\frac{\rho {a_1}^2{x}_1{x}_{1t}^2}{2}+\\ +\frac{\rho M_0{x}_1^3{a}_{1t}{x}_{1t}}{2EJ}+\frac{\rho M_0{a}_1{x}_1^2{x}_{1t}^2}{EJ}+\frac{\rho M_0^2{x}_1^3{x}_{1t}^2}{2E{J}^2}.\end{array}$ (4.6)

Потенциальная энергия имеет следующее представление

$W_0=\underset{0}{\overset{x_1}{\int }}\frac{M_0^2}{2EJ}dx=\frac{M_0^2{x}_1}{2EJ}.$ (4.7)

И работа внешних сил

$A_0=\underset{0}{\overset{x_1}{\int }}{\left.u_x\right|}_{x=0}dx=-M_0{a}_1.$ (4.8)

Подстановка выражений (4.6)–(4.8) в равенство позволяет скомпоновать одно обыкновенное нелинейное дифференциальное уравнение, зависящее от двух неизвестных функций x₁ и a₁.

Выражение для плотности количества движения стержня имеет вид

$p(x,t)=\rho u_t\left(x,t\right)$ (4.9)

Тогда закон изменения количества движения (условие динамического равновесия) имеет вид dP(t)/dt = F = 0. Следовательно, P(t) = C = const. Начальное условие P(0) = 0 позволяет определить константу C = 0. Тогда закон изменения количества движения эквивалентен равенству нулю интеграла от скоростей балки по ее длине

$\underset{0}{\overset{x_1}{\int }}{u}_{t}dx=\frac{\rho {x_1}^2{a}_{1t}}{2}+\rho x_1{x}_{1t}{a}_1+\frac{\rho M_0{x_1}^2{x}_{1t}}{EJ}=0.$ (4.10)

Выражение для плотности момента количества движения стержня имеет вид

$l_0=\rho u_{t}x.$ (4.11)

Изменение моментов вычислим относительно точки x = 0, которое имеет вид

$\begin{array}{c}\frac{d}{dt}\left[\underset{0}{\overset{x_1}{\int }}{l}_{0}dx\right]-M_0=\frac{\rho {x_1}^3{a}_{1tt}}{6}+\frac{\rho {x_1}^2{x}_{1tt}{a}_1}{2}+\rho {x_1}^2{x}_{1t}{a}_{1t}+\\ +\rho x_1{a}_1{x}_{1t}^2+\frac{\rho M_0{x_1}^3{x}_{1tt}}{2EJ}+\frac{\rho M_0{x_1}^2{x}_{1t}^2}{2EJ}-M_0=0.\end{array}$ (4.12)

Таким образом, для нахождения двух неизвестных функций {x₁, a₁} имеется три нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений (4.5), (4.10) и (4.12). Найти точное решение такой задачи весьма затруднительно. Это связано, во-первых, с тем, что уравнения, входящие в систему, являются нелинейными. Во-вторых, система уравнений является переопределенной. На три уравнения приходится только две переменные. То есть, для того чтобы существовало решение этой системы, уравнения должны быть зависимы. Проанализировать эту систему в полном объеме вряд ли удастся. Однако, построить некоторое частное решение вполне возможно.

Для начала, попробуем специальной подстановкой преобразовать к более удобному, однородному относительно степеней неизвестных функций виду. Введем в рассмотрение две новые функции x₂ и a₂

$x_2={x_1}^2,a_2=a_1{x}_1.$ (4.13)

Используя замену (4.13), уравнения (4.5), (4.10) и (4.12) соответственно преобразуются к виду

$\begin{array}{c}4\rho E{J}^2{a}_{2t}^2{x}_2^2+2\rho E{J}^2{a}_{2t}{x}_{2t}{a}_2{x}_2+\rho E{J}^2{x}_{2t}^2{a}_2^2+6\rho M_{0}EJ{a}_{2t}{x}_{2t}{x}_2^2+\\ +3\rho M_{0}EJ{x}_{2t}^2{a}_2{x}_2+3\rho {M_0}^2{x}_{2t}^2{x}_2^2+24M_{0}E{J}^2{a}_2{x}_2+12{M_0}^{2}EJ{x}_2^2=\mathrm{0,}\end{array}$ (4.14)

$2M_0{x}_{2t}{x}_2+2EJ{a}_{2t}{x}_2+EJ{x}_{2t}{a}_2=\mathrm{0,}$ (4.15)

$\begin{array}{c}\frac{\rho a_{2tt}{x_2}^3}{6}+\frac{\rho x_{2tt}{x_2}^2{a}_2}{2}+\rho a_{2t}{x}_{2t}{x_2}^2+\rho {x_{2t}}^2{x}_2{a}_2+\\ +\frac{\rho M_0{x}_{2tt}{x_2}^3}{2EJ}+\frac{3\rho M_0{x}_{2t}^2{x_2}^2}{2EJ}-M_0=0.\end{array}$ (4.16)

Из представления уравнений (4.16)–(4.17) видно, что переменные x₂(t) и c₂(t) входят однородно (с одинаковыми степенями) в уравнения. Таким образом, подстановка {x₂ = b₁t, c₂ = b₂t} сводит систему дифференциальных уравнений соответственно к системе нелинейных алгебраических уравнений относительно параметров {b₁, b₂}

$7\rho E{J}^2{b}_1{b_2}^2+9\rho EJ{M}_0{b_1}^2{b}_2+3\rho {M_0}^2{b_1}^3+24E{J}^2{M}_0{b}_2+12EJ{M_0}^2{b}_1=\mathrm{0,}$ (4.17)

$2M_0{b}_1+3EJ{b}_2=\mathrm{0,}$ (4.18)

$\frac{\rho M_0}{4EJ}{b_1}^2+\frac{\rho b_1{b}_2}{3}-M_0=0.$ (4.19)

Видно, что проще всего разрешить уравнения (4.18) и (4.19). В результате имеем

$\left\{b_1=6\sqrt{\frac{EJ}{\rho }},b_2=-\frac{4M_0}{\sqrt{EJ\rho }}\right\}.$ (4.20)

Можно убедиться, что подстановка (4.20) тождественно удовлетворяет уравнению (4.17).

Из решения (4.20) следует, что искомые функции x₁(t) и a₁(t) имеют вид

$x_1=\sqrt{6t\sqrt{\frac{EJ}{\rho }}},a_1=-\frac{2M_0}{3}\sqrt{\frac{6t}{EJ\sqrt{\rho EJ}}}.$ (4.21)

Таким образом функцию перемещений балки (0.59) можно представить в виде

$u(x,t)=\left\{\begin{array}{l}-M_0\left(\frac{x^2}{2}+\frac{x\sqrt{8t}}{\sqrt{3}}+t\right),x<\sqrt{6t\sqrt{\frac{EJ}{\rho }},}\\ \mathrm{0,}x\ge \sqrt{6t\sqrt{\frac{EJ}{\rho }}}.\end{array}\right.$ (4.22)

Характерное распределение перемещений по длине балки представлено на рис. 6. Важно отметить, что присутствует волновой фронт (точка x₁). Наличие отрицательных перемещений объясняется тем, что суммарное количество движения балки всегда равно нулю.

Рис. 6. Перемещения балки в момент времени t = 10 при следующих значениях параметров EJ = $\mathit{\rho }$ = M₀ = 1.

Соответственно, для скоростей точек балки имеем следующее представление

$u_t(x,t)=\left\{\begin{array}{l}{M}_0\left(\frac{\sqrt{2}x}{\sqrt{3t}\sqrt[4]{\rho E{J}^3}}-\frac{1}{\sqrt{\rho EJ}}\right),x<\sqrt{6t\sqrt{\frac{EJ}{\rho }}}\\ \mathrm{0,}x\ge \sqrt{6t\sqrt{\frac{EJ}{\rho }}}\end{array}\right.$ (4.23)

При этом, скорость волнового фронта v_f (t) является величиной переменной и равна

$v_f\left(t\right)=\sqrt{\frac{3}{2t}\sqrt{\frac{EJ}{\rho }}}.$ (4.24)

Важно отметить, что скорость волнового фронта зависит от жесткостных и инерционных характеристик балки и не зависит от величины изгибающего момента M₀. С увеличением времени скорость волнового фронта уменьшается и стремится к нулю при бесконечном распространении возмущения. Скорость точки приложения нагрузки постоянна в процессе движения и равна

$u_t\left(\mathrm{0,}t\right)=-\frac{M_0}{\sqrt{\rho EJ}}.$ (4.25)

5. Некоторые выводы и сопоставления.

1. Из условия выполнения интегральных законов, а именно, закона сохранения энергии, закона изменения количества движения и закона изменения момента количества движения решены аналитически три задачи нестационарной динамики стержня.
2. Построены точные выражения для перемещений балки для этих трёх задач. Следует отметить, что е сли при продольных движениях функция пе ремещений (0.21) точно удовлетворяет во лн овое уравнение (0.5), то функции изгибных п еремещений (0.53) и (0.77) не удовлетворяют волновому уравнению (0.22).
3. Все построенные решения характеризуется наличием в балке волнового фронта. При этом в аналитическом решении волнового уравнения (0.22) все динамические возмущения распространяются по длине балки с бесконечной скоростью в отсутствии волнового фронта.
4. Показано, что в отличие от передачи продольных возмущений по длине балки, которые происходят с постоянной скоростью, изгибные возмущения распространяются с переменной скоростью, причём, с ростом времени это скорость уменьшается и стремится к нулю в бесконечно удаленной точке балки.
5. Из представленных решений следует, что скорости распространения волнового фронта для передачи сосредоточенной силы и сосредоточенного момента отличается друг от друга. При этом скорость передачи поперечной силы почти в два раза превосходит скорость волнового фронта от изгибающего момента.

Работа выполнена в рамках Госзадания № 124012500437-9.

Об авторах

В. В. Саурин

Автор, ответственный за переписку.
Email: saurin@ipmnet.ru
Россия, Москва

Список литературы

Дополнительные файлы

Доп. файлы

Действие

1. JATS XML

Скачать

2. Рис. 1. Полубесконечный однородный стержень.

Скачать (63KB)

Метаданные

3. Рис. 2. Изгибаемый стержень сосредоточенной силой.

Скачать (57KB)

Метаданные

4. Рис. 3. Функция перемещений u для моментов времени t = 1, 5, 10.

Скачать (66KB)

Метаданные

5. Рис. 4. Перемещения балки в момент времени t = 10 при следующих значениях параметров.

Скачать (41KB)

Метаданные

6. Рис. 5. Изгибаемый стержень сосредоточенным моментом.

Скачать (58KB)

Метаданные

7. Рис. 6. Перемещения балки в момент времени t = 10 при следующих значениях

Скачать (42KB)

Метаданные