Dynamic bending of a beam

Толық мәтін

1. Введение. Исследование динамического поведения конструкций и их элементов притягивает внимание ученых всего мира. Тем не менее остаётся ещё много вопросов, которые следуют рассмотреть более внимательно и скрупулезно. Следует отметить, что при значительном интересе к таким задачам большинство работ относятся к изучению собственных колебаний таких конструкции [1–3], в то время как решению волновых уравнений уделяется значительно меньшее внимание.

Хорошо известны задачи о продольных волновых движениях стержней, как однородных, так и не однородных, находящихся в условиях разных стеснений [4–10]. В этих работах показано, что в стержне возникает волновой фронт, который движется по длине стержня со скоростью звука. При этом точка приложения нагрузки (свободный конец) движется также с постоянной скоростью, но в противоположную сторону. И это решение не вызывает никаких возражений у исследователей.

Значительно меньшее количество работ посвящено исследованию динамики стержней, подверженных импульсному воздействию. Можно отметить работы [11, 12], выполненные в Санкт-Петербурге под руководством академика Н.Ф. Морозова.

В литературе также известно аналитическое решение задачи о движении стержня бесконечной длины, нагруженного в некоторой точке поперечной силой [13]. Особенностью данного решения является то, что в решении отсутствует волновой фронт. Считается, что все изменения напряжённо деформированного состояния балки распространяются с бесконечной скоростью. В литературе нет объяснения этого факта. Можно предположить, что такое отличие может быть связано, во-первых, некорректностью описания данного явления. Во-вторых, это может соответствовать физической сущности рассматриваемого явления и все результаты корректны. В статье довольно подробно исследуются эти решения.

В статье применяется метод, основанный на удовлетворении законов сохранения, а именно, закона сохранения энергии, закона изменения количества движения и закона изменения момента количества движения.

Рассмотрены три задачи о движении однородного полубесконечной длины стержня под действием постоянными продольной силы, поперечной силы, а также сосредоточенного момента. Полученные результаты сравниваются друг с другом и с ранее полученными решениями.

2. Динамическое поведение балки под действием сосредоточенной продольной силы. Рассмотрим длинный однородный стержень постоянного сечения, показанный на рис. 1, у которого один конец расположен в точке x = 0, а другой уходит в бесконечность. Предположим, что продольные напряжения в стержне являются преобладающими настолько, что остальными компонентами тензора напряжений можно пренебречь. Материал, из которого сделан стержень, характеризуется модулем упругости E. Так, что

Рис. 1. Полубесконечный однородный стержень.

$\sigma (x,t)=E\epsilon (x,t),$ (2.1)

где $\sigma$(x, t) – функция внутренних напряжений, а

$\epsilon (x,t)=\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}$ (2.2)

– функция деформаций, возникающих в процессе движения стержня.

Введем в рассмотрение функцию плотности количества движения p

$p(x,t)=\rho \frac{\partial u(x,t)}{\partial t}.$ (2.3)

Тогда динамическое уравнение равновесия для стержня, связывающее инерционную силу с изменением напряжения по длине стержня, имеет вид

$\frac{\partial \sigma (x,t)}{\partial x}-\frac{\partial p(x,t)}{\partial t}=0.$ (2.4)

Используя соотношения (0.1)–(0.4), можно получить волновое уравнение

$E\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}-\rho \frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=\mathrm{0,}$ (2.5)

определяющее скорость распространения продольных упругих волн в стержне

$v_s=\sqrt{E/\rho }.$ (2.6)

Здесь E – модуль Юнга, r – объемная плотность, u – функция перемещений точек стержня.

Предположим, что стержень в начальный момент времени находится в покое, т. е. перемещения и скорости всех точек стержня равны нулю

$u(x,t)=\dot{u}(x,t)=\mathrm{0,}t=0.$ (2.7)

В этот же момент времени к левому концу стержня (x = 0) прикладывается сила s₀. Считается, что в процессе движения стержня эта сила не меняется. Изучим изменение состояния стержня в процессе его движения. После того, как сила была приложена к стержню, он начинает двигаться, растягиваясь вслед за силой. При этом возмущение точек стержня, вызванные внешней силой распространяется в противоположную сторону. Следовательно область возмущения увеличивается в процессе движения.

При этом точки стержня движутся таким образом, что можно выделить некоторую точку x = x₁ и соответствующий момент времени t = t₁. Слева от этой точки состояние стержня считается возмущённым

$u(x,t)\ne \mathrm{0,}\dot{u}(x,t)\ne \mathrm{0,}\sigma (x,t)\ne \mathrm{0,}x<x_1,t<t_1,$ (2.8)

а справа остается невозмущенным

$u(x,t)=\mathrm{0,}\dot{u}(x,t)=\mathrm{0,}\sigma (x,t)=\mathrm{0,}x>x_1,t>t_1.$ (2.9)

Со временем положение точки x₁ изменяется со скоростью v_f (скорость волнового фронта).

Для того чтобы описать динамическое поведение стержня нужно удовлетворить все законы сохранения, а именно закон сохранения энергии и закон изменения количества движения.

Предположим, чтобы удовлетворить всем законам сохранения можно выбрав функцию перемещений в виде линейной функции от пространственной координаты и времени

$u(x,t)=a+bx+ct,$ (2.10)

где a, b и c – неизвестные константы. Очевидно, что функция (2.10) тождественно удовлетворяет уравнен ие (2.5). Предположим также, что скорость волнового фронта также постоянна v_f = const.

Для того чтобы вычислить изменения кинетической $\Delta$T и потенциальной $\Delta$W энергий, а также работу внешних сил DA, выделим малый элемент стержня с координатой x = x₁ и длиной D x. Используя введенное постоянство скорости волнового фронта, можно видеть, что справедливо следующее равенство

$\Delta x=v_f\Delta t.$ (2.11)

Здесь $\Delta$t – временной интервал, в течение которого произошло изменение в координате $\Delta$x. Тогда изменение кинетической энергии $\Delta$T на этом интервале имеет вид

$\Delta T=\rho \frac{v_d^2}{2}\Delta x,$ (2.12)

где v_d – скорость деформирования стержня

$v_d=\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}.$ (2.13)

Для изменения потенциальной энергии получим следующее выражение

$\Delta W=\frac{{\sigma }_0^2}{2E}\Delta x.$ (2.14)

При этом прирост совершенной работы внешней силой $\sigma$₀ есть

$\Delta A=\frac{{\sigma }_0^2}{E}\Delta x.$ (2.15)

Тогда из закона сохранения энергии $∆$T + $∆$W - $∆$A = 0 находится скорость деформирования стержня

$v_d=\frac{{\sigma }_0}{\sqrt{E\rho }}.$ (2.16)

Закон изменения количества движения позволяет найти скорость волнового фронта v_f в явном виде. Для изменения количества движения p на заданном интервале $∆$ x имеем следующее выражение

$\Delta p=\rho v_d\Delta x.$ (2.17)

Для приращения импульса силы Df с учетом (2.11) получим

$\Delta f={\sigma }_0\Delta t={\sigma }_0\frac{\Delta x}{v_f}.$ (2.18)

Равенство правых частей раве нств и позволяет выразить скорость волнового фронта v_f через скорость деформирования v_d

$v_f=\frac{{\sigma }_0}{\rho v_d}.$ (2.19)

Или с учетом

$v_f=\sqrt{\frac{E}{\rho }}.$ (2.20)

Сравнение соотно шений и позволяет сделать вывод, что скорость волнового фронта v_f равна скорости распространения продольных упругих волн в стержне v_s.

Учитывая, что движение точек стержня происходят с постоянной скоростью, то перемещения стержня можно записать в виде

$\begin{array}{c}u=\frac{{\sigma }_0}{E}(x-v_{f}t),x<v_{f}t,\\ u=\mathrm{0,}x\ge v_{f}t.\end{array}$ (2.21)

3. Динамический изгиб балки под действием сосредоточенного поперечной силы. Рассмотрим, как и в предыдущем случае, прямолинейный стержень полубесконечной длины, показанный на рис. 2. Считается, что стержень находится в покое, то есть перемещения u(x) = 0 и скорости $\stackrel{.}{u}$(x) = 0 всех точек стержня равны нулю. В начальный момент времени t = 0 к концу стержня с координатой x = 0 прикладывается сосредоточенная поперечная сила P₀ > 0, которая воздействует на стержень всё время.

Задача состоит в том, чтобы определить напряжённо деформированное состояние стержня в любой момент времени.

Сначала кратко приведем основные результаты, полученные ранее [13], при решении данной задачи, основываясь на модели балки Эйлера–Бернулли. Из балочного уравнения

Рис. 2. Изгибаемый стержень сосредоточенной силой.

$\frac{{\partial }^{4}u}{\partial x^4}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}={\delta }_1\left(x\right),$ (3.1)

где d₁(x) дельта функция, с помощью преобразования Фурье по x находим

$u=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\frac{\left(1-\cos z^{2}t\right)}{z^2}\cos zxdz.$ (3.2)

Здесь единицами измерения длины служит радиус инерции стержня r = (J/S )^1/2; времени – r/c₀, где c₀ = (E/r)^1/2; J, S – момент инерции и площадь поперечного сечения балки.

Дифференцируя интеграл по времени (здесь дифференцирование под знаком интеграла допустимо), получаем

$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\frac{\sin z^{2}t\cos zx}{z^2}dz=\frac{\kappa }{2}\left\{F\left(\kappa \right)-C\left(\kappa \right)\right\}+\sqrt{\frac{t}{\pi }}\sin \left(\kappa +\frac{\pi }{4}\right),\kappa =\frac{x^2}{4t},$ (3.3)

где F (k) и C (k) – интегралы Френеля:

$F\left(\kappa \right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{0}{\overset{\kappa }{\int }}\frac{\sin t}{\sqrt{t}}dt,C\left(\kappa \right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{0}{\overset{\kappa }{\int }}\frac{\cos t}{\sqrt{t}}dt.$ (3.4)

Интегрируя по частям (0.25) получим

$\begin{array}{c}u=\frac{2}{3}\sqrt{\frac{1}{\pi }}{t}^{\frac{3}{2}}\left\{\sin \left(\kappa +\frac{\pi }{4}\right)-\kappa \cos \left(\kappa +\frac{\pi }{4}\right)+\right.\\ +\frac{3}{2}\sqrt{\pi \kappa }\left[S\left(\kappa \right)-F\left(\kappa \right)\right]+\sqrt{\pi }{\kappa }^{\frac{3}{2}}\left[1-F\left(\kappa \right)-S\left(\kappa \right)\right].\end{array}$ (3.5)

Функция перемещений (3.5) представлена на рис. 3 для трех моментов времени. Из представленных зависимостей видно, что решение определено на всем диапазоне x > 0, t > 0 и нельзя выделить такую точку x₁ (как это было сделано в предыдущем разделе), определяющую положение волнового фронта. Другими словами, скорость распространения возмущения по длине балки равна бесконечности. Также стоит отметить осциллирующий характер решения.

Рис. 3. Функция перемещений u для моментов времени t = 1, 5, 10.

Характерной особенностью полученного решения является то, что оно представимо в виде

$u=t^{\frac{2}{3}}v\left(\kappa \right).$ (3.6)

Амплитуда прогиба растёт пропорционально t^3/2, а форма, как функция k = x²/4t, остается постоянной (в функции от x, оставаясь подобной самой себе, расширяется пропорционально $\sqrt{t}$. При x = 0 (k = 0)

$u=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{2}{\pi }}{t}^{\frac{3}{2}}.$ (3.7)

При $x\to \infty$

$u~-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{\pi }}{t}^{\frac{3}{2}}\frac{\sin \left(\kappa +\frac{\pi }{4}\right)}{{\kappa }^2}.$ (3.8)

Таким образом, прогиб стержня описывается осциллирующей функцией. Для криви зны балки из следует, что

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=-\sqrt{\frac{t}{\pi }}\left\{\cos \left(\kappa +\frac{\pi }{4}\right)-\sqrt{\pi \kappa }\left[1-F\left(\kappa \right)-C\left(\kappa \right)\right]\right\}$ (3.9)

При k = 0

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=-\sqrt{\frac{t}{2\pi }}.$ (3.10)

А при $\kappa \to \infty$

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}~\frac{1}{2}\sqrt{\frac{t}{\pi }}\frac{\sin \left(\kappa +\frac{\pi }{4}\right)}{\kappa }.$ (3.11)

Для того чтобы решить эту задачу, удовлетворяя, как и в предыдущем параграфе законам сохранения, сделаем два важных предположения. Во-первых, в некоторые момент времени t = t₁ существует такая точка x = x₁ (рис. 3), которая разделяет стержень на две части. При x > x₁ все точки стержня нахо дятся в покое (2.9). А при x < x₁ все точки стержня имеют не нулевые перемеще ния и скорости (2.8).

Во-вторых, для всех точек x < x₁ напряжённо деформированное состояние стержня является однородным и удовлетворяет следующему уравнению состояния

$u_{xxx}-\frac{P_0}{EJ}=0.$ (3.12)

Также будем считать, что положение точки x₁ является непрерывной функцией времени t.

Трижды интегрируя уравнение (0.33) по координате x получим следующее выражение для функции перемещений

$u\left(x,t\right)=\frac{P_0{x}^3}{6EJ}+\frac{c_1\left(t\right)x^2}{2}+c_2\left(t\right)x+c_3\left(t\right).$ (3.13)

Здесь c₁(t), c₂(t) и c₃(t) есть неизвестные функции времени. В дальнейшем аргументы у функций будут опущены.

Удовлетворяя условие непрерывности функции перемещений в точке x = x₁(t) и исключая функцию c₃, получим следующую функцию перемещений

$u=P_0\frac{x^3-{x_1}^3}{6EJ}+c_1\frac{x^2-{x_1}^2}{2}+c_2\left(x-x_1\right).$ (3.14)

Функция скоростей u_t находится простым дифференцированием функции перемещений по времени

$u_t=c_{1t}\frac{x^2-{x_1}^2}{2}-c_{2t}\left(x-x_1\right)-\frac{P_0{x_1}^2{x}_{1t}}{2EJ}-x_{1t}{c}_2-x_1{c}_{2t}.$ (3.15)

После сделанных предположений задача заключается в нахождении трех неизвестных функций времени x₁, c₁ и c₂. Для определения этих функций воспользуемся законами сохранения, а именно, законами сохранения энергии, изменения количества движения и изменения момента количества движения.

Закон сохранения энергии имеет вид

$T_0\left(t\right)+{\Pi }_0\left(t\right)-A_0\left(t\right)=0$ (3.16)

Для кинетической энергии имеем следующее выражение

$\begin{array}{c}{T}_0\left(t\right)=\frac{\rho {x_1}^5{c}_{1t}}{15}+\frac{\rho {x_1}^4{x}_{1t}{c}_{1t}}{3}+\frac{\rho {x_1}^3{x}_{1t}^2{c_1}^2}{2}+\frac{\rho P_0{x_1}^5{c}_{1t}{x}_{1t}}{6EJ}+\frac{\rho P_0{x_1}^4{x_{1t}}^2{c}_1}{2EJ}+\\ +\frac{\rho {P_0}^2{x_1}^5{x}_{1t}^2}{8E{J}^2}+\frac{5\rho {x_1}^4{c}_1{c}_2}{24}+\frac{\rho {x_1}^3{x}_{1t}{c}_{1t}{c}_2}{3}+\frac{\rho {x_1}^3{x}_{1t}{c}_{2t}{c}_1}{2}+\rho {x_1}^2{x_{1t}}^2{c}_1{c}_2+\\ +\frac{\rho P_0{x_1}^4{c}_{2t}{x}_{1t}}{4EJ}+\frac{\rho P_0{x_1}^3{x}_{1t}^2{c}_{2t}}{2EJ}+\frac{\rho {x_1}^3{c}_{2t}^2}{6}+\frac{\rho {x_1}^2{c}_{2t}{x}_{1t}{c}_2}{2}+\frac{\rho x_1{x}_{1t}^2{c_2}^2}{2}.\end{array}$ (3.17)

Понятно, что любой квалифицированный исследователь способен выписать это соотношение в явном виде. Выражение приведено только для того, чтобы продемонстрировать насколько сложно в него входят неизвестные функции.

Потенциальная энергия имеет следующее представление

$W_0=\underset{0}{\overset{x_1\left(t\right)}{\int }}\frac{{\left(P_{0}x\right)}^2}{6EJ}dx=\frac{{P_0}^2{x_1}^3}{6EJ}.$ (3.18)

И работа внешних сил

$A_0=P_{0}u\left(t\mathrm{,0}\right)=-P_0{x}_1\left(\frac{x_1{c}_1}{2}+\frac{{x_1}^2}{6EJ}+c_2\right).$ (3.19)

Подстановка выраже ний (3.17)–(3.19) в равенство позволяет скомпоновать одно обыкновенное нелинейное дифференциальное уравнение, зависящее от трех неизвестных функций x₁, c₁ и c₂.

Выражение для плотности количества движения стержня имеет вид

$p(x,t)=\rho u_t.$ (3.20)

Закон изменения количества движения (условие динамического равновесия) дает

$\begin{array}{c}{\left(\underset{0}{\overset{x_1}{\int }}\rho u_{t}dx\right)}_t-P_0=-2\rho {x_1}^2{c}_{1t}{x}_{1t}-\rho x_1{c}_1{x}_{1t}^2-\frac{\rho {x_1}^3{c}_{1tt}}{3}-\rho {x_1}^2{c}_1{x}_{1tt}-\\ -\frac{\rho P_0{x_1}^2{x_{1t}}^2}{EJ}-\frac{\rho P_0{x_1}^3{x}_{1t}}{2EJ}-2\rho x_1{c}_{2t}{x}_{1t}-\frac{\rho {x_1}^2{c}_{2tt}}{2}-\rho x_1{c}_2{x}_{1tt}-P_0=0.\end{array}$ (3.21)

Выражение для плотности момента количества движения стержня имеет вид

$l_0=\rho u_{t}x.$ (3.22)

Изменение моментов вычислим относительно точки x = 0. Момент от силы P₀ равен нулю. Тогда выражение dL/dt = 0 ведет к L = const. В начальный момент времени L = 0. Отсюда вытекает, что L = 0. Следовательно момент количества движения не зависит от времени и равен нулю

$L=\underset{0}{\overset{x_1}{\int }}{l}_{0}dx=3{x_1}^2{c}_{1t}+12x_1{c}_1{x}_{1t}+\frac{6P_0}{EJ}{x_1}^2{x}_{1t}+4x_1{c}_{2t}+12c_2{x}_{1t}=0.$ (3.23)

Таким образом имеем три нелинейных дифференциальных уравнения, а именно, (3.16) с подстановками (3.17)–(3.19), и уравнения (3.21) и (3.23) относительно трех переменных функций x₁, c₁ и c₂.

Введем в рассмотрение две новые функции x₂ и c₃

$x_2={x_1}^2,{ñ}_3={ñ}_1{x}_1,$ (3.24)

подстановка которых в систему уравнений приводит компоненты этих уравнений к однородному виду относительно степеней функций x₂, c₂ и c₃. Тогда используя замену

$\left\{x_2=b_{1}t,c_3=b_{2}t,c_2=b_{3}t\right\},$ (3.25)

получаем следующую систему нелинейных алгебраических уравнений относительно параметров

$\begin{array}{c}108\rho b_1{b_2}^2+330\rho b_1{b}_2{b}_3+260\rho b_1{b_3}^2+\frac{80\rho P_0{b_1}^2{b}_2}{EJ}+\frac{120\rho P_0{b_1}^2{b}_3}{EJ}+\\ +\frac{15\rho {P_0}^2{b_1}^3}{E{J}^2}+240P_0{b}_2+480P_0{b}_3+\frac{160{P_0}^2{b}_1}{EJ}=\mathrm{0,}\end{array}$ (3.26)

$10\rho EJ{b}_1{b}_2+18\rho EJ{b}_1{b}_3+3\rho P_0{b_1}^2+24P_{0}EJ=\mathrm{0,}$ (3.27)

$15EJ{b}_2+20EJ{b}_3+6P_0{b}_1=0.$ (3.28)

Эта система уравнений имеет единственное аналитическое решение

$\begin{array}{c}\left\{b_1=\sqrt{\frac{10EJ\left(385\sqrt{13}-1373\right)}{27\rho }},b_2=\frac{8\sqrt{30}{P}_0\left(40-11\sqrt{13}\right)}{3\sqrt{\rho EJ\left(385\sqrt{13}-1373\right)}},\right.\\ \left.b_3=-\frac{P_0\left(1027-275\sqrt{13}\right)}{\sqrt{30\rho EJ\left(85\sqrt{13}-1373\right)}}\right\}\end{array}$ (3.29)

или приближенное значение

$\left\{b_1=2.368\sqrt{\frac{EJ}{\rho }},b_2=1.272\frac{P_0}{\sqrt{\rho EJ}},b_2=-1.665\frac{P_0}{\sqrt{\rho EJ}}\right\}.$ (3.30)

Из решения (3.30) следует, что искомые функции x₁(t), c₁(t) и c₂(t) имеют вид

$x_1=1.539{\left(\frac{EJ}{\rho }\right)}^{1/4}\sqrt{t},c_1=\frac{0.827P_0}{\sqrt{EJ\sqrt{\rho EJ}}}\sqrt{t},c_2=-\frac{1.665P_0}{\sqrt{\rho EJ}}t.$ (3.31)

Таким о бразом функцию перемещений балки можно представить в виде

$u(x,t)=\left\{\begin{array}{l}{P}_0\left(\frac{0.167}{EJ}{x}^3-\frac{1.665}{\sqrt{\rho EJ}}xt+\frac{0.975}{\sqrt{\rho \sqrt{\rho EJ}}}{t}^{\frac{3}{2}}+\frac{0.413}{\sqrt{EJ\sqrt{\rho EJ}}}{x}^2\text{}\sqrt{t}\right),x<x_1,\\ \mathrm{0,}x\ge x_1.\end{array}\right.$ (3.32)

Характерное распределение перемещений по длине балки представлено на рис. 4. Важно отметить, что присутствует волновой фронт (точка x₁). Наличие отрицательных перемещений объясняется тем, что суммарный момент количества движения балки всегда равен нулю.

.

Рис. 4. Перемещения балки в момент времени t = 10 при следующих значениях параметров EJ = $\mathit{\rho }$ = M₀ = 1.

Соответственно, для скоростей точек балки имеем следующее представление

$u_t(x,t)=\left\{\begin{array}{l}{P}_0\left(-\frac{1.664}{\sqrt{\rho EJ}}x+\frac{0.207}{\sqrt{EJ\sqrt{\rho EJ}}}\frac{x^2}{\sqrt{t}}+\frac{1.462\sqrt{t}}{\sqrt{\rho \sqrt{\rho EJ}}}\right),x<x_1.\\ \mathrm{0,}x\ge x_1.\end{array}\right.$ (3.33)

При этом скорость волнового фронта v_f(t) является величиной переменной и равна

$v_f\left(t\right)=0.769{\left(\frac{EJ}{\rho }\right)}^{1/4}\text{}\frac{1}{\sqrt{t}}.$ (3.34)

Важно отметить, что скорость волнового фронта зависит от жесткостных и инерционных характеристик балки и не зависит от величины перерезывающей силы P₀. Стоит отметить, что с увеличением времени скорость волнового фронта уменьшается и стремится к нулю при бесконечном распространении возмущения. Скорость точки приложения нагрузки является корневой функцией времени в процессе движения и равна

$u_t\left(\mathrm{0,}t\right)=\frac{1.462P_0}{\sqrt{\rho \sqrt{\rho EJ}}}\sqrt{t}.$ (3.35)

4. Динамический изгиб балки под действием сосредоточенного момента. Рассмотрим прямолинейный стержень полубесконечной длины, показанный на рис. 5. Считается, что стержень находится в покое, то есть перемещения u(x) = 0 и скорости $\dot{u}\left(x\right)=0$ всех точек стержня равны нулю. В начальный момент времени t = 0 к концу стержня с координатой x = 0 прикладывается сосредоточенный изгибающий момент M₀ > 0, который воздействует на стержень всё время t > 0.

Также введены инерционные (линейная плотность материала r) и жесткостные (изгибная жёсткость EJ) характеристики стержня. Здесь E – модуль Юнга и J – момент инерции сечения. Считается, что все характеристики стержня постоянны и не изменяются, как по длине, так и во времени.

Задача состоит в том, чтобы определить напряжённо деформированное состояние стержня в любой момент времени. Для решения этой задачи сделаем два важных предположения. Во-первых, предположим, что в некоторые моменты времени t = t₁ существует такая точка x = x₁ (рис. 5), которая разделяет стержень на две части. При x > x₁ все точ ки стержня остаются в покое (2.9). А при x < x₁ все точки стержня имеют не ну левые перемещения и скорости (2.8). Во-вторых, предполагается, что для всех точек x < x₁ напряжённо деформированное состояние стержня является однородным и удовлетворяет следующему уравнению состояния

Рис. 5. Изгибаемый стержень сосредоточенным моментом.

$EJ{u}_{xx}-M_0=0.$ (4.1)

Также будем считать, что положение точки x₁ является непрерывной функцией времени t. Все, сделанные здесь предположения аналогичны тем, которые были сделаны в предыдущем параграфе.

Дважды интегрируя уравнение (0.57) по координате x, получим следующее выражение для функции перемещений

$u\left(x,t\right)=-\frac{M_0{x}^2}{2EJ}-a_1\left(t\right)x-b_1\left(t\right).$ (4.2)

Здесь a₁(t) и b₁(t) есть неизвестные функции времени. Аргументы у функций в дальнейшем опускаются.

Удовлетворяя условие непрерывности функции перемещений в точке x = x₁ и исключая функцию b₁, получим следующую функцию перемещений

$u=\frac{M_0\left({x_1}^2-x^2\right)}{2EJ}+a_1(x_1-x).$ (4.3)

Функция скоростей u_t находится простым дифференцированием функции перемещений по времени

$u_t=a_{1t}\left(x_1-x\right)+\left(\frac{M_0{x}_1}{EJ}+a_1\right)x_{1t}.$ (4.4)

После сделанных предположений задача заключается в нахождении двух неизвестных функций времени x₁ и a₁. Для определения этих функций воспользуемся законами сохранения, а именно, законами сохранения энергии, изменения количества движения и изменения момента количества движения.

Закон сохранения энергии запишем в виде

$T_0\left(t\right)+{\Pi }_0\left(t\right)-A_0\left(t\right)=\mathrm{0,}$ (4.5)

где T₀(t) – кинетическая энергия балки, П₀(t) – ее потенциальная энергия, A₀(t) – работа внешних сил, совершенная над балкой. Все эти величины вычислены в момент времени t.

Для кинетической энергии имеем следующее выражение

$\begin{array}{c}{T}_0=\underset{0}{\overset{x_1}{\int }}\frac{\rho {u_t}^2}{2}dx=\frac{\rho a_t^2{x}_1^3}{6}+\frac{\rho a{x}_1^2{a}_t{x}_{1t}}{2}+\frac{\rho {a_1}^2{x}_1{x}_{1t}^2}{2}+\\ +\frac{\rho M_0{x}_1^3{a}_{1t}{x}_{1t}}{2EJ}+\frac{\rho M_0{a}_1{x}_1^2{x}_{1t}^2}{EJ}+\frac{\rho M_0^2{x}_1^3{x}_{1t}^2}{2E{J}^2}.\end{array}$ (4.6)

Потенциальная энергия имеет следующее представление

$W_0=\underset{0}{\overset{x_1}{\int }}\frac{M_0^2}{2EJ}dx=\frac{M_0^2{x}_1}{2EJ}.$ (4.7)

И работа внешних сил

$A_0=\underset{0}{\overset{x_1}{\int }}{\left.u_x\right|}_{x=0}dx=-M_0{a}_1.$ (4.8)

Подстановка выражений (4.6)–(4.8) в равенство позволяет скомпоновать одно обыкновенное нелинейное дифференциальное уравнение, зависящее от двух неизвестных функций x₁ и a₁.

Выражение для плотности количества движения стержня имеет вид

$p(x,t)=\rho u_t\left(x,t\right)$ (4.9)

Тогда закон изменения количества движения (условие динамического равновесия) имеет вид dP(t)/dt = F = 0. Следовательно, P(t) = C = const. Начальное условие P(0) = 0 позволяет определить константу C = 0. Тогда закон изменения количества движения эквивалентен равенству нулю интеграла от скоростей балки по ее длине

$\underset{0}{\overset{x_1}{\int }}{u}_{t}dx=\frac{\rho {x_1}^2{a}_{1t}}{2}+\rho x_1{x}_{1t}{a}_1+\frac{\rho M_0{x_1}^2{x}_{1t}}{EJ}=0.$ (4.10)

Выражение для плотности момента количества движения стержня имеет вид

$l_0=\rho u_{t}x.$ (4.11)

Изменение моментов вычислим относительно точки x = 0, которое имеет вид

$\begin{array}{c}\frac{d}{dt}\left[\underset{0}{\overset{x_1}{\int }}{l}_{0}dx\right]-M_0=\frac{\rho {x_1}^3{a}_{1tt}}{6}+\frac{\rho {x_1}^2{x}_{1tt}{a}_1}{2}+\rho {x_1}^2{x}_{1t}{a}_{1t}+\\ +\rho x_1{a}_1{x}_{1t}^2+\frac{\rho M_0{x_1}^3{x}_{1tt}}{2EJ}+\frac{\rho M_0{x_1}^2{x}_{1t}^2}{2EJ}-M_0=0.\end{array}$ (4.12)

Таким образом, для нахождения двух неизвестных функций {x₁, a₁} имеется три нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений (4.5), (4.10) и (4.12). Найти точное решение такой задачи весьма затруднительно. Это связано, во-первых, с тем, что уравнения, входящие в систему, являются нелинейными. Во-вторых, система уравнений является переопределенной. На три уравнения приходится только две переменные. То есть, для того чтобы существовало решение этой системы, уравнения должны быть зависимы. Проанализировать эту систему в полном объеме вряд ли удастся. Однако, построить некоторое частное решение вполне возможно.

Для начала, попробуем специальной подстановкой преобразовать к более удобному, однородному относительно степеней неизвестных функций виду. Введем в рассмотрение две новые функции x₂ и a₂

$x_2={x_1}^2,a_2=a_1{x}_1.$ (4.13)

Используя замену (4.13), уравнения (4.5), (4.10) и (4.12) соответственно преобразуются к виду

$\begin{array}{c}4\rho E{J}^2{a}_{2t}^2{x}_2^2+2\rho E{J}^2{a}_{2t}{x}_{2t}{a}_2{x}_2+\rho E{J}^2{x}_{2t}^2{a}_2^2+6\rho M_{0}EJ{a}_{2t}{x}_{2t}{x}_2^2+\\ +3\rho M_{0}EJ{x}_{2t}^2{a}_2{x}_2+3\rho {M_0}^2{x}_{2t}^2{x}_2^2+24M_{0}E{J}^2{a}_2{x}_2+12{M_0}^{2}EJ{x}_2^2=\mathrm{0,}\end{array}$ (4.14)

$2M_0{x}_{2t}{x}_2+2EJ{a}_{2t}{x}_2+EJ{x}_{2t}{a}_2=\mathrm{0,}$ (4.15)

$\begin{array}{c}\frac{\rho a_{2tt}{x_2}^3}{6}+\frac{\rho x_{2tt}{x_2}^2{a}_2}{2}+\rho a_{2t}{x}_{2t}{x_2}^2+\rho {x_{2t}}^2{x}_2{a}_2+\\ +\frac{\rho M_0{x}_{2tt}{x_2}^3}{2EJ}+\frac{3\rho M_0{x}_{2t}^2{x_2}^2}{2EJ}-M_0=0.\end{array}$ (4.16)

Из представления уравнений (4.16)–(4.17) видно, что переменные x₂(t) и c₂(t) входят однородно (с одинаковыми степенями) в уравнения. Таким образом, подстановка {x₂ = b₁t, c₂ = b₂t} сводит систему дифференциальных уравнений соответственно к системе нелинейных алгебраических уравнений относительно параметров {b₁, b₂}

$7\rho E{J}^2{b}_1{b_2}^2+9\rho EJ{M}_0{b_1}^2{b}_2+3\rho {M_0}^2{b_1}^3+24E{J}^2{M}_0{b}_2+12EJ{M_0}^2{b}_1=\mathrm{0,}$ (4.17)

$2M_0{b}_1+3EJ{b}_2=\mathrm{0,}$ (4.18)

$\frac{\rho M_0}{4EJ}{b_1}^2+\frac{\rho b_1{b}_2}{3}-M_0=0.$ (4.19)

Видно, что проще всего разрешить уравнения (4.18) и (4.19). В результате имеем

$\left\{b_1=6\sqrt{\frac{EJ}{\rho }},b_2=-\frac{4M_0}{\sqrt{EJ\rho }}\right\}.$ (4.20)

Можно убедиться, что подстановка (4.20) тождественно удовлетворяет уравнению (4.17).

Из решения (4.20) следует, что искомые функции x₁(t) и a₁(t) имеют вид

$x_1=\sqrt{6t\sqrt{\frac{EJ}{\rho }}},a_1=-\frac{2M_0}{3}\sqrt{\frac{6t}{EJ\sqrt{\rho EJ}}}.$ (4.21)

Таким образом функцию перемещений балки (0.59) можно представить в виде

$u(x,t)=\left\{\begin{array}{l}-M_0\left(\frac{x^2}{2}+\frac{x\sqrt{8t}}{\sqrt{3}}+t\right),x<\sqrt{6t\sqrt{\frac{EJ}{\rho }},}\\ \mathrm{0,}x\ge \sqrt{6t\sqrt{\frac{EJ}{\rho }}}.\end{array}\right.$ (4.22)

Характерное распределение перемещений по длине балки представлено на рис. 6. Важно отметить, что присутствует волновой фронт (точка x₁). Наличие отрицательных перемещений объясняется тем, что суммарное количество движения балки всегда равно нулю.

Рис. 6. Перемещения балки в момент времени t = 10 при следующих значениях параметров EJ = $\mathit{\rho }$ = M₀ = 1.

Соответственно, для скоростей точек балки имеем следующее представление

$u_t(x,t)=\left\{\begin{array}{l}{M}_0\left(\frac{\sqrt{2}x}{\sqrt{3t}\sqrt[4]{\rho E{J}^3}}-\frac{1}{\sqrt{\rho EJ}}\right),x<\sqrt{6t\sqrt{\frac{EJ}{\rho }}}\\ \mathrm{0,}x\ge \sqrt{6t\sqrt{\frac{EJ}{\rho }}}\end{array}\right.$ (4.23)

При этом, скорость волнового фронта v_f (t) является величиной переменной и равна

$v_f\left(t\right)=\sqrt{\frac{3}{2t}\sqrt{\frac{EJ}{\rho }}}.$ (4.24)

Важно отметить, что скорость волнового фронта зависит от жесткостных и инерционных характеристик балки и не зависит от величины изгибающего момента M₀. С увеличением времени скорость волнового фронта уменьшается и стремится к нулю при бесконечном распространении возмущения. Скорость точки приложения нагрузки постоянна в процессе движения и равна

$u_t\left(\mathrm{0,}t\right)=-\frac{M_0}{\sqrt{\rho EJ}}.$ (4.25)

5. Некоторые выводы и сопоставления.

1. Из условия выполнения интегральных законов, а именно, закона сохранения энергии, закона изменения количества движения и закона изменения момента количества движения решены аналитически три задачи нестационарной динамики стержня.
2. Построены точные выражения для перемещений балки для этих трёх задач. Следует отметить, что е сли при продольных движениях функция пе ремещений (0.21) точно удовлетворяет во лн овое уравнение (0.5), то функции изгибных п еремещений (0.53) и (0.77) не удовлетворяют волновому уравнению (0.22).
3. Все построенные решения характеризуется наличием в балке волнового фронта. При этом в аналитическом решении волнового уравнения (0.22) все динамические возмущения распространяются по длине балки с бесконечной скоростью в отсутствии волнового фронта.
4. Показано, что в отличие от передачи продольных возмущений по длине балки, которые происходят с постоянной скоростью, изгибные возмущения распространяются с переменной скоростью, причём, с ростом времени это скорость уменьшается и стремится к нулю в бесконечно удаленной точке балки.
5. Из представленных решений следует, что скорости распространения волнового фронта для передачи сосредоточенной силы и сосредоточенного момента отличается друг от друга. При этом скорость передачи поперечной силы почти в два раза превосходит скорость волнового фронта от изгибающего момента.

Работа выполнена в рамках Госзадания № 124012500437-9.

Авторлар туралы

V. Saurin

Хат алмасуға жауапты Автор.
Email: saurin@ipmnet.ru
Ресей, Moscow

Әдебиет тізімі

Қосымша файлдар

Қосымша файлдар

Әрекет

1. JATS XML

Жүктеу

2. Fig. 1. Semi-infinite homogeneous rod.

Жүктеу (63KB)

Метадеректер

3. Fig. 2. A rod being bent by a concentrated force.

Жүктеу (57KB)

Метадеректер

4. Fig. 3. Displacement function u for moments of time t = 1, 5, 10.

Жүктеу (66KB)

Метадеректер

5. Fig. 4. Displacements of the beam at time t = 10 for the following parameter values .

Жүктеу (41KB)

Метадеректер

6. Fig. 5. Bending of the beam by a concentrated moment.

Жүктеу (58KB)

Метадеректер

7. Fig. 6. Displacements of the beam at time t = 10 at the following parameter values .

Жүктеу (42KB)

Метадеректер