Precession motions of a gyrostat, having a fixed point, in three homogeneous force fields

Texto integral

1. Введение. Прецессии гиростата определяются свойством постоянства угла между двумя осями, приходящими через неподвижную точку, первая из которых неизменно связана с гиростатом, а вторая неподвижна в пространстве. Важность для практического применения полученных в этой задаче результатов отмечена в работе [1]. Математическое моделирование прецессий гиростата проведено во многих задачах динамики гиростата и твердого тела. В задаче о движении тяжелого твердого тела известны регулярные прецессии гироскопа Лагранжа относительно вертикали [2]; регулярные прецессии гироскопа Гриоли [3] относительно наклонной оси; полурегулярные прецессии гироскопа Гесса [4]; прецессии Брессана [5] относительно горизонтальной оси для гироскопа Гесса; прецессии общего вида относительно вертикали, имеющие место в решении А.И. Докшевича [6]. Исследования прецессий гиростата с постоянным и переменным гиростатическим моментом в полях сложной структуры показали существование многочисленных классов прецессий (см. обзоры [7–9]). Большой интерес представляют и исследования прецессий системы гироскопов Лагранжа и Гесса [10], а также твердых тел с жидким заполнением [11–13].

В задаче о движении твердого тела в двух и трех однородных силовых полях изучены регулярные прецессии [14–16] и прецессии общего вида [17–19]. Эти движения можно отнести к резонансным прецессиям, поскольку для них выполняются равенства: 1. $\dot{\mathrm{\psi }}=\dot{\mathrm{\phi }};$ 2. $\dot{\mathrm{\psi }}=2\dot{\mathrm{\phi }};$ 3. $\dot{\mathrm{\phi }}=2\dot{\mathrm{\psi }}.$ В данных случаях $\mathrm{\phi }\left(t\right),\mathrm{\psi }\left(t\right)$ – эллиптические функции времени. В силу указанных результатов представляется важной следующая задача: изучение условий существования резонансных прецессий гиростата. Выводы по рассмотрению данной проблемы показали не только некоторые аналогии условий на параметры гиростата, но и принципиальные отличия результатов (например, в задаче о движении гиростата $\mathrm{\phi }\left(t\right)$ и $\mathrm{\psi }\left(t\right)$ – элементарные функции времени).

2. Постановка задачи. Рассмотрим движение твердого тела, имеющего неподвижную точку, в силовом поле, которое является суперпозицией трех однородных и постоянных силовых полей. Обозначим через ^{$\mathbf{\gamma },{\mathbf{\gamma }}^{\left(1\right)},{\mathbf{\gamma }}^{\left(2\right)}$} единичные векторы, характеризующие направления сил P, P₁, P₂ каждого из полей; C, C₁, C₂ – центры приведения сил; s = POC, r = P₁OC₁, p = P₂OC₂; Oxyz – подвижная система координат, O – неподвижная точка. Пусть тензор инерции тела в системе Oxyz имеет значение $A=\left(A_{ij}\right)\left(i,j=\overline{1,3}\right)$. Тело вращается вокруг точки O с угловой скоростью w = (w₁i₁ + w₂i₂ + w₃i₃) (i₁, i₂, i₃ – единичные векторы системы Oxyz). Для векторов s, r, p запишем соотношения:

$\mathbf{\text{s}}=s_1^{}{\mathbf{i}}_1^{}+s_2^{}{\mathbf{i}}_2^{}+s_3^{}{\mathbf{i}}_3^{}\text{, }\mathbf{\text{ r}}=r_1^{}{\mathbf{i}}_1^{}+r_2^{}{\mathbf{i}}_2^{}+r_3^{}{\mathbf{i}}_3^{}\text{, }\mathbf{\text{p}}=p_1^{}{\mathbf{i}}_1^{}+p_2^{}{\mathbf{i}}_2^{}+p_3^{}{\mathbf{i}}_3^{}$ (2.1)

Тогда уравнения движения гиростата запишем по аналогии с уравнениями [17, 18]:

$A\dot{\mathbf{\omega }}=(A\mathbf{\omega }+\mathbf{\lambda })\times \mathbf{\omega }+s\times \mathbf{\text{\hspace{0.17em}γ}}+\mathit{r}\times {\mathbf{\text{γ}}}_{}^{\left(1\right)}+p\times {\mathbf{\gamma }}_{}^{\left(2\right)},$ (2.2)

$\dot{\mathbf{\text{γ}}}=\mathbf{\gamma }\times \mathbf{\text{ω}}\text{,}$ ${\dot{\mathbf{\gamma }}}_{}^{\left(1\right)}={\mathbf{\gamma }}_{}^{\left(1\right)}\times \mathbf{\omega }\text{,}$ ${\dot{\mathbf{\gamma }}}_{}^{\left(2\right)}={\mathbf{\text{γ}}}_{}^{\left(2\right)}\times \mathbf{\omega }\text{,}$ (2.3)

где точка над переменными $\mathbf{\omega }\mathbf{,}\mathbf{ }{\mathbf{\gamma }}^{\mathbf{\left(}\mathbf{1}\mathbf{\right)}}\mathbf{,}\mathbf{ }{\mathbf{\gamma }}^{\mathbf{\left(}\mathbf{2}\mathbf{\right)}}$ обозначает дифференцирование по времени t. В формулах (2.2), (2.3) полагаем:

$\mathbf{\text{γ}}\cdot {\mathbf{\gamma }}_{}^{\left(1\right)}=\mathrm{0,}$ ${\mathbf{\gamma }}_{}^{\left(2\right)}=\mathbf{\gamma }\times {\mathbf{\gamma }}_{}^{\left(1\right)},$ $\left|\mathbf{\text{γ}}\right|=\mathrm{1,} \left|{\text{γ}}^{\left(1\right)}\right|=\mathrm{1,}$ (2.4)

то есть направления силовых полей будут характеризоваться тройкой $\mathbf{\gamma }\mathbf{,}\mathbf{ }{\mathbf{\gamma }}^{\left(i\right)}$ (i = 1, 2). Тогда очевидны равенства $\mathbf{P}=P\mathrm{\gamma }, {\mathbf{P}}_{\mathit{i}}={\mathrm{P}}_i{\mathrm{\gamma }}^{\left(i\right)}$ (i = 1, 2).

Рассмотрим прецессии тела относительно вектора $\mathbf{\gamma }$. Они характеризуются инвариантным соотношением (ИС):

$\mathbf{a}\cdot \mathbf{\text{γ}}=a_0\left(a_0={\mathrm{cos\theta }}_0\right)$ (2.5)

где ${\mathrm{\theta }}_0$ – угол между векторами a и $\mathbf{\gamma }$ ( $\stackrel{}{\dot{\mathbf{a}}=0, \left|\mathbf{a}\right|=1}$). Вектор угловой скорости тела на ИС (2.5) представим так [7]:

$\mathbf{\omega }=\stackrel{}{\dot{\mathrm{\varphi }}\mathbf{a}}+\mathbf{\text{ψ\hspace{0.17em}γ}}\text{.}$ (2.6)

Переменные $\mathrm{\varphi }$, $\mathrm{\psi }$ и постоянную ${\mathrm{\theta }}_0$ можно трактовать как углы Эйлера. Используя метод [7], запишем значение вектора ${\mathrm{\gamma }}^{\left(\mathrm{i}\right)}$:

${\mathrm{\gamma }}_{}^{\left(1\right)}=b_0^{}\left[a_{\text{0}}^{}\mathrm{\gamma }\sin \right(\mathrm{\psi }+{\mathrm{\psi }}_0^{})-\mathbf{a}\mathbf{ }\sin (\mathrm{\psi }+{\mathrm{\psi }}_0^{})+(\mathbf{a}\times \mathbf{\gamma }\left)\cos \right(\mathrm{\psi }+{\mathrm{\psi }}_0^{}\left)\right],$ (2.7)

где $b_0=1/a{\text{'}}_{0 }\left(a{\text{'}}_0={\mathrm{sin\theta }}_0\right)$, ${\mathrm{\psi }}_0$ – постоянная.

Значение вектора ${\mathrm{\gamma }}^{\left(2\right)}$найдем по второй формуле системы (2.4):

${\mathrm{\gamma }}_{}^{\left(2\right)}=b_0^{}[\mathbf{a}\mathbf{ }\cos (\mathrm{\psi }+{\mathrm{\psi }}_0^{})-a_{\text{0}}^{}\mathbf{\gamma }\mathbf{ }\cos (\mathrm{\psi }+{\mathrm{\psi }}_0^{})+(\mathbf{a}\times \mathbf{\gamma }\left)\sin \right(\mathrm{\psi }+{\mathrm{\psi }}_0^{}\left)\right].$ (2.8)

Таким образом, при получении (2.7), (2.8) полагалось, что $\mathbf{a}\times \mathbf{\gamma }\ne 0$, то есть случай равномерных вращений тела исключаем из рассмотрения. Подвижную систему координат выберем следующим образом: направим вектор i₃ по вектору a. Тогда в силу ИС (2.5), первого уравнения из (2.3) имеем [7, 8]:

$\mathbf{\gamma }={a^{\text{'}}}_0\text{sin}\mathrm{\varphi }\cdot {\mathbf{i}}_1^{}+{a^{\text{'}}}_0\mathrm{cos\varphi }\cdot {\mathbf{i}}_2^{}+a_{\text{0}}^{}{\mathbf{i}}_3^{}$  $\left({\mathbf{i}}_{\mathbf{3}}=\mathbf{a}\right)$ (2.9)

Учитывая (2.6), (2.9), запишем компоненты ${\mathrm{\omega }}_1, {\mathrm{\omega }}_2, {\mathrm{\omega }}_3$ вектора $\mathbf{\omega }$:

${\mathrm{\omega }}_1^{}={a^{\text{'}}}_{\text{0}}^{}\dot{\mathrm{\psi }}\mathrm{sin\phi }, {\mathrm{\omega }}_2^{}={a^{\text{'}}}_0\dot{\mathrm{\psi }}\text{\hspace{0.17em}cos}\mathrm{\phi }, {\mathrm{\omega }}_3^{}=\dot{\mathrm{\phi }}+a_0^{}\mathrm{\psi }$ . (2.10)

На рисунке приведена геометрическая трактовка прецессий тела относительно вектора $\mathrm{\gamma }$($O\mathrm{\xi \eta \varsigma }$ – неподвижная система координат).

Рис. 1. Геометрическая трактовка прецессий твердого тела

Замечание 1. При описании кинематических свойств в виде соотношений (2.5)–(2.10) использован метод [7], который отличается от методов, применяемых в работах [14–16].

Замечание 2. Уравнения (2.2), (2.3) имеют интеграл энергии

$\mathit{A}\mathbf{\omega }\cdot \mathbf{\omega }-2(\mathbf{s}\cdot \mathbf{\gamma }+\mathbf{r}\cdot {\mathbf{\gamma }}_{}^{\left(1\right)}+\mathbf{p}\cdot {\mathbf{\gamma }}_{}^{\left(2\right)})=\text{2}E,$ (2.11)

где E – постоянная. Как показано в работах [7, 8], нахождение условий существования прецессий в задачах динамики твердого тела на основании (2.11) значительно упрощается.

3. Преобразование уравнения (2.2) на ИС (2.5). Внесем в уравнение (2.2) значение $\mathrm{\omega }$ из (2.6) и рассмотрим полученное уравнение в базисе a, $\mathbf{\gamma }$, $\mathbf{\alpha }\times \mathbf{\gamma }$ с учетом (2.7), (2.8):

$\ddot{\mathrm{\phi }}(A\mathbf{a}\cdot \mathbf{a})+\ddot{\mathrm{\psi }}(A\mathbf{a}\cdot \mathbf{\gamma })-{\dot{\mathrm{\psi }}}_{}^2[\mathbf{a}\cdot (A\mathbf{\gamma }\times \mathbf{\gamma })\text{]}-\dot{\mathrm{\psi }}[\mathbf{\lambda }\cdot (\mathbf{a}\times \mathbf{\gamma })\text{]}-\text{[}\mathbf{\text{a}}\cdot (\mathbf{s}\times \mathbf{\gamma })]-$

$\begin{array}{l}-b_0^{}\sin (\mathrm{\psi }+{\mathrm{\psi }}_0^{})\cdot \left\{a_{\text{0}}^{}\right[\mathbf{a}\cdot (\mathbf{r}\times \mathbf{\gamma })-\mathbf{a}\cdot \mathbf{p}]+\mathbf{p}\cdot \mathbf{\gamma }\}-\\ -b_0^{}\cos (\mathrm{\psi }+{\mathrm{\psi }}_0^{})\cdot \{\mathbf{r}\cdot \mathbf{\gamma }-a_0[(\mathbf{r}\cdot \mathbf{a})+\mathbf{a}\cdot (\mathbf{p}\times \mathbf{\gamma })\left]\right\}=\mathrm{0,}\end{array}$ (3.1)

$\ddot{\mathrm{\phi }}(A\mathbf{a}\cdot \mathbf{\gamma })+\ddot{\mathrm{\psi }}(A\mathbf{\gamma }\cdot \mathbf{\gamma })+2\dot{\mathrm{\phi }}\dot{\mathrm{\psi }}[\mathbf{a}\cdot (A\mathbf{\gamma }\times \mathbf{\gamma })\text{]}+{\dot{\mathrm{\phi }}}_{}^2\text{[\hspace{0.17em}γ}\cdot (\mathbf{a}\times A\mathbf{a}\left)\right]+\dot{\mathrm{\phi }}\text{[}\mathbf{\text{λ}}\cdot (\mathbf{a}\times \mathbf{\gamma })]-$

$-b_0^{}\sin (\mathrm{\psi }+{\mathrm{\psi }}_0^{})\cdot \left\{a_{\text{0}}^{}\right(\mathbf{p}\cdot \mathbf{\gamma })+[\mathbf{a}\cdot (\mathbf{r}\times \mathbf{\gamma })-$

$-(\mathbf{a}\cdot \mathbf{p})\}-b_0^{}\cos (\mathrm{\psi }+{\mathrm{\psi }}_0^{})\cdot \{a_{\text{0}}^{}(\mathbf{r}\cdot \mathbf{\gamma })-(\mathbf{a}\cdot \mathbf{r})+[\mathbf{a}\cdot (\mathbf{\gamma }\times \mathbf{p}\left)\right]\}=\mathrm{0,}$ (3.2)

$\ddot{\mathrm{\phi }}[A\mathbf{a}\cdot (\mathbf{\gamma }\times \mathbf{\text{a}}\left)\right]+\ddot{\mathrm{\psi }}[A\mathbf{\gamma }\cdot (\mathbf{a}\times \mathbf{\gamma }\left)\right]+\dot{\mathrm{\phi }}\dot{\mathrm{\psi }}\left[2\right(A\mathbf{\gamma }\cdot \mathbf{\gamma })-{a^{\text{'}}}_{\text{0}}^2\text{Sp}(A)-2a_{\text{0}}^{}(A\mathbf{a}\cdot \mathbf{\text{γ}}\left)\right]+$

$+{\dot{\mathrm{\psi }}}_{}^2[a_{\text{0}}^{}\text{(}A\mathbf{\gamma }\mathbf{\cdot }\mathbf{\gamma })-(A\mathbf{a}\cdot \mathbf{\gamma })]-\dot{\mathrm{\phi }}[a_{\text{0}}^{}(\mathbf{a}\mathbf{\cdot }\mathbf{\lambda })-(\mathbf{\lambda }\cdot \mathbf{\gamma })]+\dot{\mathrm{\psi }}[(\mathbf{\lambda }\cdot \mathbf{\text{a}})-a_{\text{0}}^{}(\mathbf{\lambda }\cdot \mathbf{\text{γ}})]-$

$-(\mathbf{a}\cdot \mathbf{s})+a_{\text{0}}^{}(\mathbf{s}\cdot \mathbf{\gamma })-{a^{\text{'}}}_{\text{0}}^{}\left[\right(\mathbf{p}\cdot \mathbf{\gamma }\left)\cos \right(\mathrm{\psi }+{\mathrm{\psi }}_0^{})-(\mathbf{r}\cdot \mathbf{\gamma }\left\}\sin \right(\mathrm{\psi }+{\mathrm{\psi }}_0^{}\left)\right]=\mathrm{0,}$ (3.3)

где Sp(A) = A₁₁ + A₂₂ + A₃₃ – след матрицы A.

По аналогии с (3.1)–(3.3) распишем интеграл (2.10) на ИС (2.5), (2.6):

$\begin{array}{l}(\mathit{A}\mathbf{a}\cdot \mathbf{\text{a}}){\dot{\mathrm{\phi }}}_{}^2+2(A\mathbf{a}\cdot \mathbf{\gamma })\dot{\mathrm{\phi }}\dot{\mathrm{\psi }}+(\mathit{A}\mathbf{\gamma }\cdot \mathbf{\gamma }){\dot{\mathrm{\psi }}}_{}^2-2\text{{(\hspace{0.17em}}\mathbf{\text{s}}\cdot \mathbf{\gamma })+b_{\text{0}}^{}[\sin (\mathrm{\psi }+{\mathrm{\psi }}_0^{})\cdot (a_{\text{0}}^{}\text{(\hspace{0.17em}}\mathbf{\text{r}}\cdot \mathbf{\gamma })-\\ -(\mathbf{r}\cdot \mathbf{\text{a}})-\mathbf{\text{p}}\cdot (\mathbf{\gamma }\times \mathbf{\text{a}}))+\cos (\mathrm{\psi }+{\mathrm{\psi }}_0^{})\cdot [\mathbf{a}\cdot \mathbf{\text{p}}-a_{\text{0}}^{}\text{(}\mathbf{\text{p}}\cdot \mathbf{\gamma })+\mathbf{r}\cdot (\mathbf{\text{a}}\times \mathbf{\gamma }\left)\right]\}=2E.\end{array}$ (3.4)

Введем обозначения

$f_0^{}\left(\mathrm{\phi }\right)={a^{\text{'}}}_{\text{0}}^{}(s_1^{}\mathrm{sin\phi }+s_2^{}\mathrm{cos\phi })+a_{\text{0}}^{}{s}_3^{},$

${\tilde{f}}_0^{}\left(\mathrm{\phi }\right)={a^{\text{'}}}_{\text{0}}^{}(s_2^{}\mathrm{sin\phi }-s_1^{}\mathrm{cos\phi }),$

$f_1\left(\mathrm{\phi }\right)={a^{\text{'}}}_{\text{0}}^{}\text{[}(a_{\text{0}}^{}{r}_1+p_2^{})\mathrm{sin\phi }+(a_{\text{0}}^{}{r}_2-p_1^{})\mathrm{cos\phi }-{a^{\text{'}}}_{\text{0}}^{}{r}_3^{}],$

$f_2\left(\mathrm{\phi }\right)={a^{\text{'}}}_{\text{0}}^{}\text{[}(r_2-a_{\text{0}}^{}{p}_1^{})\mathrm{sin\phi }-(a_{\text{0}}^{}{p}_2+r_1)\mathrm{cos\phi }+{a^{\text{'}}}_0{p}_3],$

$f_3\left(\mathrm{\phi }\right)={a^{\text{'}}}_{\text{0}}^{}\text{[}(p_1^{}-a_{\text{0}}^{}{r}_2)\mathrm{sin\phi }+(p_2^{}+a_{\text{0}}^{}{r}_1)\mathrm{cos\phi }],$

$f_4\left(\mathrm{\phi }\right)={a^{\text{'}}}_{\text{0}}^{}\text{[}(r_1+a_{\text{0}}^{}{p}_2^{})\mathrm{sin\phi }+(r_2-a_{\text{0}}^{}{p}_1^{})\mathrm{cos\phi }],$ (3.5)

$f_5\left(\mathrm{\phi }\right)={a^{\text{'}}}_{\text{0}}^{}\text{[}{a}_{\text{0}}^{}(s_1\mathrm{sin\phi }+s_2\mathrm{cos\phi })-{a^{\text{'}}}_0{s}_3],$

$f_6\left(\mathrm{\phi }\right)=-{a^{\text{'}}}_0\text{[}{a^{\text{'}}}_0(r_1\mathrm{sin\phi }+r_2\mathrm{cos\phi })+a_{\text{0}}^{}{r}_3],$

$f_7\left(\mathrm{\phi }\right)={a^{\text{'}}}_0\text{[}{a^{\text{'}}}_0(p_1\mathrm{sin\phi }+p_2\mathrm{cos\phi })+a_{\text{0}}^{}{p}_3].$

Сначала запишем интеграл (3.4) в силу (3.5):

$(A\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}){\dot{\mathrm{\phi }}}^2+2(A\mathbf{a}\cdot \mathbf{\gamma })\dot{\mathrm{\phi }}\dot{\mathrm{\psi }}+(A\mathbf{\gamma }\cdot \mathbf{\gamma }){\dot{\mathrm{\psi }}}^2+$

$-2\text{[\hspace{0.17em}}{f}_0\left(\mathrm{\phi }\right)+b_0\left(f_1\right(\mathrm{\phi }\left)\sin \right(\mathrm{\psi }+{\mathrm{\psi }}_0^{})+f_2(\mathrm{\phi }\left)\cos \right(\mathrm{\psi }+{\mathrm{\psi }}_0^{}\left)\right)]=2E.$ (3.6)

Затем обратимся к уравнениям (3.1)–(3.3). На основании (3.5) имеем:

$\ddot{\mathrm{\phi }}(A\mathbf{a}\cdot \mathbf{a})+\ddot{\mathrm{\psi }}(A\mathbf{a}\cdot \mathbf{\gamma })-{\dot{\mathrm{\psi }}}_{}^2[\mathbf{\text{a}}\cdot (A\mathbf{\gamma }\times \mathbf{\text{γ}})\text{]}+{\tilde{f}}_0^{}(\mathrm{\phi })-\dot{\mathrm{\psi }}[\mathbf{\gamma }\cdot (\mathbf{\text{a}}\times \mathbf{\gamma })\text{]}-$

$-b_0\left(f_3\right(\mathrm{\phi }\left)\sin \right(\mathrm{\psi }+{\mathrm{\psi }}_0^{})+f_4(\mathrm{\phi }\left)\cos \right(\mathrm{\psi }+{\mathrm{\psi }}_0^{}\left)\right)=\mathrm{0,}$ (3.7)

$\ddot{\mathrm{\phi }}(A\mathbf{a}\cdot \mathbf{\gamma })+\ddot{\mathrm{\psi }}(A\mathbf{\gamma }\cdot \mathbf{\gamma })-2\dot{\mathrm{\phi }}\dot{\mathrm{\psi }}\text{[}\mathbf{\text{a}}\cdot (\mathbf{\gamma }\times A\mathbf{\gamma })]-{\dot{\mathrm{\phi }}}_{}^2[\mathbf{\text{a}}\cdot (\mathbf{\gamma }\times A\mathbf{a})]+\dot{\mathrm{\phi }}[\mathbf{\lambda }\cdot (\mathbf{\text{a}}\times \mathbf{\gamma })\text{]}-$

$-b_0\left[f_1\right(\mathrm{\phi }\left)\cos \right(\mathrm{\psi }+{\mathrm{\psi }}_0^{})-f_2(\mathrm{\phi }\left)\sin \right(\mathrm{\psi }+{\mathrm{\psi }}_0^{}\text{)]}=\mathrm{0,}$ (3.8)

  $\ddot{\mathrm{\phi }}\text{[\hspace{0.17em}}\mathbf{a}\cdot (\mathbf{\gamma }\times A\mathbf{a})]+\ddot{\mathrm{\psi }}[\mathbf{a}\cdot (\mathbf{\gamma }\times A\mathbf{\gamma })\text{]}+\dot{\mathrm{\phi }}\dot{\mathrm{\psi }}\left[2\right(A\mathbf{\gamma }\cdot \mathbf{\gamma })-{a^{\text{'}}}_{\text{0}}^2\text{Sp}(A)-2a_{\text{0}}^{}(A\mathbf{a}\cdot \mathbf{\gamma }\left)\right]+$

$+{\dot{\mathrm{\phi }}}^2\left[\right(A\mathbf{a}\cdot \mathbf{\gamma })-a_0(A\mathbf{a}\cdot \mathbf{\text{a}}\left)\right]+{\dot{\mathrm{\psi }}}^2\left[a_0\right(A\mathbf{\gamma }\cdot \mathbf{\gamma })-(A\mathbf{a}\cdot \mathbf{\gamma }\left)\right]+\dot{\mathrm{\phi }}\left[a_0\right(\mathbf{a}\cdot \mathbf{\lambda })-(\mathbf{\lambda }\cdot \mathbf{\gamma }\left)\right]+$

$+\dot{\mathrm{\psi }}\left[\right(\mathbf{\lambda }\cdot \mathbf{\text{a}})-a_0(\mathbf{\lambda }\cdot \mathbf{\gamma }\left)\right]+f_5\left(\mathrm{\phi }\right)+f_6\left(\mathrm{\phi }\right)\sin (\mathrm{\psi }+{\mathrm{\psi }}_0)+f_7\left(\mathrm{\phi }\right)\cos (\mathrm{\psi }+{\mathrm{\psi }}_0)=0.$  (3.9)

4. Первый класс резонансных прецессий гиростата. Прецессионно-изоконические движения. В статьях [17–19] действительные решения для прецессий тела установлены только в случае, когда тело динамически симметрично, то есть главные моменты инерции удовлетворяют условиям

A₂ = A₁,  (4.1)

а вектор a направлен по оси динамической симметрии: a = (0, 0, 1). Поэтому и для задачи о прецессиях гиростата естественно полагать, что (4.1) сохраняется.

Первый класс прецессии [18] описывается равенством:

$\dot{\mathrm{\psi }}=\mathit{n}\dot{\mathrm{\phi }} (\mathit{n}\in \mathit{N}).$ (4.2)

Введем обозначения для параметров задачи:

$\begin{array}{l}{L}_0={a^{\text{'}}}_{\text{0}}^2{n}^2{A}_1+{\left(1+a_{0}n\right)}^2\text{}{A}_3,M_0=(1+a_{\text{0}}^{}n)A_3,\\ N_0={a^{\text{'}}}_{\text{0}}^2\text{}{A}_{1}n+a_0(1+a_{\text{0}}^{}n)A_3,K_0=a_{\text{0}}^{}n{A}_1-(1+a_{\text{0}}^{}n)A_3\end{array}$ (4.3)

и для функций $F_i\left(\mathrm{\phi }\right)\left(\mathrm{i}=\overline{1,3}\right)$, ${\mathrm{\Phi }}_i\left(\mathrm{\phi }\right)\left(i=\overline{1,4}\right)$:

$F_1\left(\mathrm{\phi }\right)=(a_{\text{0}}^{}{s}_3+E)+{a^{\text{'}}}_0(s_1\mathrm{sin\phi }+s_2\text{co}\mathrm{s\phi })+b_0{\mathrm{\Phi }}_2\left(\mathrm{\phi }\right),$

$F_2\left(\mathrm{\phi }\right)={a^{\text{'}}}_0(s_1\text{co}\mathrm{s\phi }-s_2\mathrm{sin\phi })+b_0{\mathrm{\Phi }}_3\left(\mathrm{\phi }\right),$  (4.4)

$F_3\left(\mathrm{\phi }\right)={a^{\text{'}}}_0\left[a_0\right(s_1\mathrm{sin\phi }+s_2\mathrm{cos\phi })-{a^{\text{'}}}_0{s}_3^{}]+{\mathrm{\Phi }}_4\left(\mathrm{\phi }\right),$

$\begin{array}{l}{\mathrm{\Phi }}_1^{}\left(\mathrm{\phi }\right)=H_{n+1}\sin (n+1)\mathrm{\phi }+G_{n+1}\cos (n+1)\mathrm{\phi }+H_n\sin n\mathrm{\phi }+G_n\cos n\mathrm{\phi }+\\ +H_{n-1}\sin (n-1)\mathrm{\phi }+G_{n-1}\cos (n-1)\mathrm{\phi },\end{array}$

$\begin{array}{l}{\mathrm{\Phi }}_2^{}\left(\mathrm{\phi }\right)=G_{n+1}\sin (n+1)\mathrm{\phi }-H_{n+1}\cos (n+1)\mathrm{\phi }+G_n\sin n\mathrm{\phi }-H_n\cos n\mathrm{\phi }+\\ +G_{n-1}\sin (n-1)\mathrm{\phi }-H_{n-1}\cos (n-1)\mathrm{\phi },\end{array}$ (4.5)

${\mathrm{\Phi }}_3^{}\left(\mathrm{\phi }\right)=H_{n+1}\sin (n+1)\mathrm{\phi }+G_{n+1}\cos (n+1)\mathrm{\phi }-H_{n-1}\sin (n-1)\mathrm{\phi }-G_{n-1}\cos (n-1)\mathrm{\phi },$

$\begin{array}{l}{\mathrm{\Phi }}_4^{}\left(\mathrm{\phi }\right)={a^{\text{'}}}_0[-{\tilde{G}}_{n+1}\sin (n+1)\mathrm{\phi }+{\tilde{H}}_{n+1}\cos (n+1)\mathrm{\phi }+a_{\text{0}}^{}{b}_{\text{0}}^2(G_n\sin n\mathrm{\phi }-H_n\cos n\mathrm{\phi })-\\ -{\tilde{G}}_{n-1}\sin (n-1)\mathrm{\phi }+{\tilde{H}}_{n-1}\text{co}\mathrm{s}(n-1)\mathrm{\phi }],\end{array}$

$H_{n+1}=(1+a_0){\tilde{H}}_{n+1},{\tilde{H}}_{n+1}=\frac{{a^{\text{'}}}_0}{2}\left[\right(r_1+p_2){\mathrm{cos\psi }}_0-(r_2-p_1\left){\mathrm{sin\psi }}_0\right],$

$G_{n+1}=(1+a_{\text{0}}^{}){\tilde{G}}_{n+1},{\tilde{G}}_{n+1}=\frac{{a^{\text{'}}}_0}{2}\left[\right(r_1+p_2){\mathrm{sin\psi }}_0+(r_2-p_1\left)\text{cos}{\mathrm{\psi }}_0\right],$

$H_n={a^{\text{'}}}_0^2(r_3{\mathrm{sin\psi }}_0-p_3{\mathrm{cos\psi }}_0),G_n=-{a^{\text{'}}}_0^2(r_3{\mathrm{cos\psi }}_0+p_3{\mathrm{sin\psi }}_0),$ (4.6)

$H_{n-1}=(1-a_{\text{0}}^{}){\tilde{H}}_{n-1},{\tilde{H}}_{n-1}=\frac{{a^{\text{'}}}_0}{2}\left[\right(p_1+r_2){\mathrm{sin\psi }}_0-(p_2-r_1\left)\text{cos}{\mathrm{\psi }}_0\right],$

$G_{n-1}=(1-a_{\text{0}}^{}){\tilde{G}}_{n-1},{\tilde{G}}_{n-1}=-\frac{{a^{\text{'}}}_{\text{0}}^{}}{2}\left[\right(p_1+r_2)\text{cos}{\mathrm{\psi }}_0+(p_2-r_1\left)\text{sin}{\mathrm{\psi }}_0\right]$

Запишем уравнения (3.6)–(3.9) при условиях (4.1), (4.2) и учете соотношений (4.3)–(4.6):

${\dot{\mathrm{\phi }}}_{}^2=\frac{2F_1\left(\mathrm{\phi }\right)}{L_{\text{0}}^{}},$ (4.7)

$M_0\ddot{\mathrm{\phi }}=F_2\left(\mathrm{\phi }\right)+{a^{\text{'}}}_{0}n({\mathrm{\lambda }}_1\text{co}\mathrm{s\phi }-{\mathrm{\lambda }}_2\mathrm{sin\phi })\dot{\mathrm{\phi }},$  (4.8)

$N_0\ddot{\mathrm{\phi }}=b_0{\mathrm{\Phi }}_1\left(\mathrm{\phi }\right)-{a^{\text{'}}}_0({\mathrm{\lambda }}_1\text{co}\mathrm{s\phi }-{\mathrm{\lambda }}_2\mathrm{sin\phi })\dot{\mathrm{\phi }},$ (4.9)

${a^{\text{'}}}_{\text{0}}^{2}n{K}_0{\dot{\mathrm{\phi }}}_{}^2+F_3\left(\mathrm{\phi }\right)+{a^{\text{'}}}_0\dot{\mathrm{\phi }}[{a^{\text{'}}}_0{\mathrm{\lambda }}_{3}n-(1+a_{\text{0}}^{}n\left)\right({\mathrm{\lambda }}_1\mathrm{sin\phi }+{\mathrm{\lambda }}_2\text{co}\mathrm{s\phi }\left)\right]=0.$ (4.10)

При анализе (4.7), (4.8), (4.10) будем использовать соотношения:

$\begin{array}{l}{\dot{\mathrm{\phi }}}_{}^2=\frac{2b_0}{L_{\text{0}}^{}}\left(G_{n+1}\sin (n+1)\mathrm{\phi }-H_{n+1}\text{co}\mathrm{s}(n+1)\mathrm{\phi }+\mathrm{...}\right),\\ \ddot{\mathrm{\phi }}=\frac{b_0(a_0+1)(n+1)}{L_{\text{0}}^{}}\left({\tilde{H}}_{n+1}\sin (n+1)\mathrm{\phi }+G_{n+1}\text{co}\mathrm{s}(n+1)\mathrm{\phi }\right)+\mathrm{...}\end{array}$ (4.11)

$\begin{array}{l}{F}_2^{}\left(\mathrm{\phi }\right)=b_{\text{0}}^{}(a_{\text{0}}^{}+1)\left({\tilde{H}}_{n+1}\sin (n+1)\mathrm{\phi }+{\tilde{G}}_{n+1}\text{co}\mathrm{s}(n+1)\mathrm{\phi }\right)+\mathrm{...},\\ {\mathrm{\Phi }}_1^{}\left(\mathrm{\phi }\right)=b_{\text{0}}^{}(a_{\text{0}}^{}+1)\left({\tilde{H}}_{n+1}\sin (n+1)\mathrm{\phi }+{\tilde{G}}_{n+1}\text{co}\mathrm{s}(n+1)\mathrm{\phi }\right)+\mathrm{...},\end{array}$ (4.12)

где многоточием обозначены очевидные слагаемые (см. (4.4), (4.5)). Применяя метод [18], разработанный при ${\lambda }_i=0$ (i  = 1, 3), из (4.7)–(4.10) получим G_n + 1 = 0, H_n + 1 = 0 (n > 1) или, в силу (4.6), установим условия на параметры p₁, p₂, r₁, r₂:

$r_1=-p_2,r_2=p_1$ (4.13)

Уравнение (4.9) будем исключать из рассмотрения, так как в результате исключения из уравнений (4.8), (4.9) функции ${\lambda }_1\text{co}\mathrm{s\phi }-{\lambda }_2\mathrm{sin\phi }$ найдем уравнение, которое следует из (4.7) при дифференцировании его по времени.

Далее положим n = 1 (очевидно, ограничения (4.13) исключаются):

$\mathrm{\psi }=\mathrm{\phi }.$ (4.14)

В силу условия (4.14) из соотношений (4.3), (4.6) получим:

$L_0=(1+a_{\text{0}}^{})\left[\right(1-a_{\text{0}}^{})A_1+(1+a_{\text{0}}^{}\left)A_3\right],M_0=(1+a_{\text{0}}^{})A_3,$

$N_0=(1+a_{\text{0}}^{})\left[\right(1-a_{\text{0}}^{})A_1+a_{\text{0}}^{}{A}_3],K_0=a_{\text{0}}^{}{A}_1-(1+a_{\text{0}}^{})A_3,$

$H_2=(1+a_0^{}){\tilde{H}}_2,{\tilde{H}}_2=\frac{{a^{\text{'}}}_0}{2}\left[\right(r_1+p_2){\mathrm{cos\psi }}_0-(r_2-p_1\left){\mathrm{sin\psi }}_0\right],$

$G_2=(1+a_0){\tilde{G}}_2,{\tilde{G}}_2=\frac{{a^{\text{'}}}_0}{2}\left[\right(r_1+p_2){\mathrm{sin\psi }}_0+(r_2-p_1\left){\mathrm{cos\psi }}_0\right],$ (4.15)

$H_1={a^{\text{'}}}_0^2(r_3{\mathrm{sin\psi }}_0-p_3{\mathrm{cos\psi }}_0),G_1=-{a^{\text{'}}}_0^2(r_3{\mathrm{cos\psi }}_0+p_3{\mathrm{sin\psi }}_0),$

$H_0=(1-a_0){\tilde{H}}_0,{\tilde{H}}_0=\frac{{a^{\text{'}}}_0}{2}\left[\right(p_1+r_2){\mathrm{sin\psi }}_0-(p_2-r_1\left){\mathrm{cos\psi }}_0\right],$

$G_0=(1-a_0){\tilde{G}}_0,{\tilde{G}}_0=-\frac{{a^{\text{'}}}_{\text{0}}^2}{2}\left[\right(p_1+r_2)\text{cos}{\mathrm{\psi }}_0+(p_2-r_1\left)\text{sin}{\mathrm{\psi }}_0\right].$

В дальнейшем необходимы параметры:

$S_1={a^{\text{'}}}_0{s}_1+b_0{G}_1,S_2={a^{\text{'}}}_0{s}_2-b_0{H}_1,S_0=a_0{s}_3+E-b_0(1+a_0)H_0.$ (4.16)

Запишем функции ${\dot{\mathrm{\phi }}}^2, F_2\left(\mathrm{\phi }\right), {\mathrm{\Phi }}_1\left(\mathrm{\phi }\right), F_3\left(\mathrm{\phi }\right)$; используя формулы (4.4), имеем:

${\dot{\mathrm{\phi }}}_{}^2=\frac{2}{L_0}\left[b_{\text{0}}^{}\right(1+a_{\text{0}}^{}\left)\right({\tilde{G}}_2\sin 2\mathrm{\phi }-{\tilde{H}}_2\text{co}\mathrm{s}2\mathrm{\phi })+S_1\mathrm{sin\phi }+S_2\text{co}\mathrm{s\phi }+S_0],$ (4.17)

$F_2\left(\mathrm{\phi }\right)=b_0(1+a_0)({\tilde{H}}_2\sin 2\mathrm{\phi }+{\tilde{G}}_2\cos 2\mathrm{\phi })+{a^{\text{'}}}_0(s_1\mathrm{cos\phi }-s_2\mathrm{sin\phi })-b_0(1-a_0){\tilde{G}}_0,$ (4.18)

${\mathrm{\Phi }}_1\left(\mathrm{\phi }\right)=(1+a_0)({\tilde{G}}_2\text{co}\mathrm{s}2\mathrm{\phi }+{\tilde{H}}_2\sin 2\mathrm{\phi })+G_1\text{co}\mathrm{s\phi }+H_1\mathrm{sin\phi }+(1-a_0){\tilde{G}}_0,$

$F_3\left(\mathrm{\phi }\right)={a^{\text{'}}}_0\left\{{\tilde{H}}_2\text{co}\mathrm{s}2\mathrm{\phi }-{\tilde{G}}_2\sin 2\mathrm{\phi }+a_{\text{0}}^{}\left[\right(s_1+b_{\text{0}}^2{G}_1)\mathrm{sin\phi }+(s_2-b_{\text{0}}^2{H}_1\left)\mathrm{cos\phi }\right]+({\tilde{H}}_0-s_3)]\right\}.$

Рассмотрим уравнения (4.8), (4.10). В силу того, что тело динамически симметрично (см. (4.1)), не нарушая общности задачи, положим

${\lambda }_2^{}=0.$ (4.19)

Тогда из (4.8), (4.10) получим:

${(M_0\ddot{\mathrm{\phi }}-F_2(\mathrm{\phi }\left)\right)}_{}^2={a^{\text{'}}}_{\text{0}}^2{\lambda }_1^2{\dot{\mathrm{\phi }}}_{}^2{\text{cos}}_{}^2\mathrm{\phi },$ (4.20)

${({a^{\text{'}}}_{\text{0}}^2{K}_0{\dot{\mathrm{\phi }}}_{}^2+F_3(\mathrm{\phi }\left)\right)}_{}^2={a^{\text{'}}}_{\text{0}}^2{\dot{\mathrm{\phi }}}_{}^2{\text{[}{a^{\text{'}}}_{\text{0}}^{}{\lambda }_3^{}-(1+a_{\text{0}}^{}){\lambda }_1^{}\mathrm{sin\phi }]}_{}^2.$ (4.21)

Подставим ${\dot{\mathrm{\phi }}}^2, \ddot{\mathrm{\phi }}, F_2\left(\mathrm{\phi }\right)$ из (4.11) в уравнение (4.20). Поскольку редуцированное уравнение должно быть тождеством по $\mathrm{\phi }$, то множители при $\cos 4\mathrm{\phi }$, $\sin 4\mathrm{\phi }$ необходимо принять равными нулю:

${a^{\text{'}}}_0{(A_3^{}-A_1)}_{}^2({{\tilde{G}}_{}^2}_2-{{\tilde{H}}_2^2}_{{}_{}})=-{\lambda }_1^2{\tilde{H}}_2^{}\left[\right(1-a_0)A_1^{}+(1+a_0\left)A_3^{}\right],$ (4.22)

${a^{\text{'}}}_0{(A_3^{}-A_1)}^2{\tilde{G}}_2^{}{\tilde{H}}_2^{}={\lambda }_1^2{\tilde{G}}_2^{}\left[\right(1-a_0)A_1^{}+(1+a_0\left)A_3^{}\right].$ (4.23)

Если $\widetilde{G_2}=0, {\tilde{H}}_2=0$то рассмотрение уравнений (4.20), (4.21) приводит к равенствам S₁ = 0, S₂ = 0, и из (4.17) следует, что $\dot{\mathrm{\phi }}=\mathrm{const}.$ Данное равенство исключено в постановке задачи. Положим в (4.23) $\widetilde{G_2}\ne 0$. Тогда после исключения из уравнений ${\lambda }_1^2$ найдем равенство $\widetilde{G_2}=0$. То есть в дальнейшем необходимо положить $\widetilde{G_2}=0$. Это равенство в первоначальных параметрах таково:

${\tilde{G}}_2=(r_1+p_2){\mathrm{sin\psi }}_0+(r_2-p_1){\mathrm{cos\psi }}_0=0.$  (4.24)

В силу (4.24) из равенства (4.22) найдем значение ${\lambda }_1^2$:

${\lambda }_1^2=\frac{{a^{\text{'}}}_0{\tilde{H}}_2{(A_3-A_1)}_{}^2}{(1-a_0)A_1^{}+(1+a_0)A_3^{}}.$ (4.25)

Исследование уравнения (4.21) можно провести по аналогии с исследованием уравнения (4.20). Тогда получим:

${\lambda }_1^2=\frac{{a^{\text{'}}}_0{\tilde{H}}_2{\sigma }_0^2}{{(1+a_0)}_{}^2\left[\right(1-a_0)A_1+(1+a_0\left)A_3\right]},$ (4.26)

где

${\mathrm{\sigma }}_0=3a_0(A_1-A_3)-(A_1+3A_3).$ (4.27)

Приравнивая значения (4.25), (4.26), установим условие на параметры a₀, A₁, A₃:

$a_0{A}_1-(1+a_0)A_3=0.$ (4.28)

Из (4.28) следует, что случай сферического распределения масс гиростата невозможен.

На основании обозначений (4.15) параметр K₀ = 0. Это равенство в значительной мере упрощает уравнение (4.21), которое запишем в виде:

$\begin{array}{l}{\tilde{H}}_2\text{co}\mathrm{s}2\mathrm{\phi }+a_{\text{0}}^{}(s_1+b_{\text{0}}^2{G}_1)\mathrm{sin\phi }+a_{\text{0}}^{}(s_2+b_{\text{0}}^2{H}_1)\text{co}\mathrm{s\phi }+(H_0-s_3){]}^2=\\ =\frac{2}{L_{\text{0}}^{}}[-b_0(1+a_0){\tilde{H}}_2\text{co}\mathrm{s}2\mathrm{\phi }+S_1\mathrm{sin\phi }+S_2\text{co}\mathrm{s\phi }+S_0]{\left[a{\text{'}}_0{\lambda }_3-\left(1+a_0\right){\lambda }_1\mathrm{sin\phi }\right]}^2.\end{array}$(4.29)

Запишем уравнение (4.20):

$\begin{array}{l}\left\{2b_0{\tilde{H}}_2\left[2\right(1+a_0)M_0-L_0(1+a_0\left)\right]\sin 2\mathrm{\phi }+[M_0{S}_1-{a^{\text{'}}}_0{s}_1^{}(1+a_{\text{0}}^{}\left)L_0\right]\text{co}\mathrm{s\phi }-\right.\\ -{\left.[M_0{S}_2-{a^{\text{'}}}_0{s}_2(1+a_0\left)L_0\right]\mathrm{sin\phi }+b_0(1-a_0)L_0{\tilde{G}}_0\right\}}^2=\\ =2{a^{\text{'}}}_0{L}_0[-b_{\text{0}}^{}(1+a_0)H_2\text{co}\mathrm{s}2\mathrm{\phi }+S_1\text{co}\mathrm{s\phi }-S_2\mathrm{sin\phi }+S_0]{\lambda }_1^2\text{co}{\mathrm{s}}^2\text{}\mathrm{\phi }.\end{array}$ (4.30)

Полагая в (4.30) ${\mathrm{\phi }}_1=\mathrm{\pi }/2, {\mathrm{\phi }}_2=3\mathrm{\pi }/2,$найдем условие:

$M_0{S}_2-{a^{\text{'}}}_0{s}_2^{}(1+a_{\text{0}}^{})b_0{L}_0=\mathrm{0,} {\tilde{G}}_0=0.$ (4.31)

При ${\tilde{G}}_0=0$ имеем в силу (4.15) условие:

$(p_1+r_2){\mathrm{cos\psi }}_0+(p_2-r_1){\mathrm{sin\psi }}_0=\mathrm{0,}$

рассматривая которое совместно с условием (4.24), установим ограничение на параметры $p_1, p_2, r_1, r_2$:

$p_1{p}_2+r_1{r}_2=0.$ (4.32)

Учтем в уравнении (4.30) равенства (4.31):

$\begin{array}{l}{\left\{2{\tilde{H}}_2{b}_{\text{0}}^{}\left[2\right(1+a_{\text{0}}^{})M_0-(1+a_{\text{0}}^{}\left)L_0\right]\mathrm{sin\phi }+[M_0{S}_1-{a^{\text{'}}}_{\text{0}}^{}{s}_1^{}(1+a_{\text{0}}^{}\left)L_0\right]\right\}}^2=\\ =\frac{2{a^{\text{'}}}_0^3{\tilde{H}}_2{A}_3^2}{a_0^2}\left[-b_{\text{0}}^{}{(1+a_{\text{0}}^{})}^2{\tilde{H}}_2\text{co}\mathrm{s}2\mathrm{\phi }+S_1\mathrm{sin\phi }+S_2\text{co}\mathrm{s\phi }+S_0\right].\end{array}$ (4.33)

Из уравнения (4.33), которое должно быть тождеством по $\mathrm{\phi }$, следует равенство S₂ = 0. Рассматривая его совместно с условием (4.31), находим значение s₂:

$s_2=0.$ (4.34)

Тогда в силу обозначений (4.16) можно определить дополнительное условие H₁ = 0, которое запишем с учетом (4.15):

$r_3\text{sin}{\mathrm{\psi }}_0-p_3\text{cos}{\mathrm{\psi }}_0=0$ (4.35)

Специальный вид уравнения (4.29) позволяет применить к его исследованию другой подход, основанный на полиномиальной структуре. Примем $\mathrm{sin\phi }$ за переменную x и учтем в (4.29) условия (4.34), (4.35). Тогда уравнение (4.29) запишем так:

$R^2\left(x\right)={\mu }_0{F}_1^{*}\left(x\right){(x-{\mu }_1)}^2,$ (4.36)

где

$R\left(x\right)=-2{\tilde{H}}_2{x}^2+r^{\left(1\right)}x+r^{\left(0\right)},F_1^{*}\left(x\right)=2b_0(1+a_0){\tilde{H}}_2+{\beta }_{1}x+{\beta }_2,$

$r^{\left(1\right)}=a_{\text{0}}^{}(s_1+b_0^2{G}_1), r^{\left(0\right)}={\tilde{H}}_2+H_0-s_3, {\mathrm{\beta }}_1=S_1, {\mathrm{\beta }}_2=S_0-b_0(1+a_0){\tilde{H}}_2,$ (4.37)

${\mathrm{\mu }}_0^{}=\frac{2(1+a_0){\lambda }_1^{}}{L_0}, {\mathrm{\mu }}_1^{}=\frac{{a^{\text{'}}}_0{\lambda }_3^{}}{(1+a_0){\lambda }_1}.$

В силу действительности параметра ${\mathrm{\mu }}_1$, указаного в (4.37), из (4.35) следует, что при $x={\mathrm{\mu }}_1$ функция R(x) обращается в нуль (${\mathrm{\mu }}_1$ – корень уравнения R(x) = 0). Сокращая левую и правую части (4.35) на ${\left(x-{\mathrm{\mu }}_1\right)}^2$, получим:

$4{\tilde{H}}_2^2{(x-{\mu }_1)}^2={\mu }_0{F}_{}^{*}\left(x\right).$ (4.38)

На основании (4.38) и условия S₂ = 0 запишем значение ${\dot{\mathrm{\phi }}}^2$ из (4.17):

${\dot{\mathrm{\phi }}}_{}^2=\frac{2}{L_0}[-b_{\text{0}}^{}{\tilde{H}}_2(1+a_{\text{0}}^{})\text{co}\mathrm{s}2\mathrm{\phi }+S_1\mathrm{sin\phi }+S_0].$ (4.39)

Проведенные преобразования (см. формулы (4.35)–(4.38)) позволяют из (4.29) получить условие (4.38) в первоначальных значениях (т.е. значениях по $\mathrm{\phi }$):

$\begin{array}{l}{\tilde{H}}_2\text{co}\mathrm{s}2\mathrm{\phi }+a_{\text{0}}^{}(s_1+b_{\text{0}}^2{G}_1)\mathrm{sin\phi }+(H_0-s_3)=\\ ={\text{\hspace{0.33em}ϗ}}_0\left[-b_0(1+a_{\text{0}}^{}){\tilde{H}}_2\text{co}\mathrm{s}2\mathrm{\phi }+S_1\text{}\mathrm{sin\phi }+S_0\right].\end{array}$ (4.40)

Из (4.40) следует:

${ϗ}_0=-\frac{1}{b_0(1+a_0)}, a_{\text{0}}^{}(s_1+b_{\text{0}}^2{G}_1)=-\frac{S_1}{b_{\text{0}}^{}(1+a_{\text{0}}^{})}.$ (4.41)

С помощью первого равенства из (4.16) второе соотношение из (4.4) приведем к виду:

$S_1(a_{\text{0}}^2+a_{\text{0}}^{}+1)=0.$ (4.42)

Поскольку a₀ действительный параметр, то из (4.42) следует равенство S₁ = 0. Тогда из первого равенства системы (4.16) находим значение s₁:

$s_1=-\frac{1}{{a^{\text{'}}}_{\text{0}}^2}{G}_1.$ (4.43)

В силу равенства S₁ = 0 из уравнения (4.33) определим, что и первая компонента вектора s имеет значение

$s_1=0.$ (4.44)

Из (4.43) следует равенство G₁ = 0. Принимая во внимание значение G₁ из (4.15) и условие (4.35), получим p₃ = 0, r₃ = 0. На основании этих равенств и условия (4.32), которое параметризуем в виде $r_1={ϗ}_0{p}_2, r_2=-{ϗ}_0{p}_1,$ запишем векторы:

$\mathbf{p}=(p_1,p_2\mathrm{,0}), r={ϗ}_0(p_2,-p_1\mathrm{,0}), (\mathbf{p}\cdot \mathbf{r}=0).$ (4.45)

Отметим преобразованное значение ${\dot{\mathrm{\phi }}}^2$ с учетом значения S₀ = b₀(1+ a₀)²${\tilde{H}}_2$, которое следует из (4.33):

$\dot{\mathrm{\phi }}=\pm {\mathrm{\mu }}_0\mathrm{sin\phi }, {\mathrm{\mu }}_0=2\sqrt{\frac{a_0{\tilde{H}}_2}{{a^{\text{'}}}_0{A}_3}}.$ (4.46)

Поскольку уравнение (4.29) рассмотрено частично, то запишем его при найденных условиях на параметры:

${\left[{\tilde{H}}_2\cos 2\mathrm{\phi }+(H_0-s_3)\right]}^2=4b_{\text{0}}^{}{(1+a_{\text{0}}^{})}^2{H}_2{\left[{a^{\text{'}}}_0{\lambda }_3-(1+a_0){\lambda }_1\mathrm{sin\phi }\right]}^2{\sin }^2\text{}\mathrm{\phi }.$(4.47)

При $\mathrm{\phi }=0$ из уравнения (4.47) получим:

$s_3=H_0+{\tilde{H}}_2.$ (4.48)

Учитывая условие (4.48), установим последнее ограничение на параметры:

${\mathrm{\lambda }}_3=0$ (4.49)

Подставим $H_0, {\tilde{H}}_2$ из (4.15) в равенства (4.48):

$s_3=\frac{{a^{\text{'}}}_0}{2}\left[\left((a_0+2)r_1-a_0{p}_2\right){\mathrm{cos\psi }}_0+\left((a_0+2)p_1+r_2\right){\mathrm{sin\psi }}_0\right].$ (4.50)

Для сравнения полученных результатов и результатов [18] приведем основные формулы данной статьи:

$\begin{array}{l}{\lambda }_1\ne \mathrm{0,}{\lambda }_2=\mathrm{0,}{\lambda }_3=\mathrm{0,}\mathbf{p}=(p_1,p_2\mathrm{,0}),\mathbf{r}={\text{\hspace{0.33em}ϗ}}_0(p_2,-p_1\mathrm{,0}),(\mathbf{p}\cdot \mathbf{r}=0),\\ s_2=\mathrm{0,}{s}_1=\mathrm{0,}\frac{A_3}{A_1}=\frac{a_0}{1+a_0}\left(A_3<A_1\right);a_0\in \left(\mathrm{0,1}\right).\end{array}$ (4.51)

Запишем основные результаты [18]:

$\begin{array}{l}{\lambda }_i=0(i=\overline{\mathrm{1,3})},\mathbf{p}=(p_1,p_2,p_3),\mathbf{r}=(-p_2,p_1,r_3\left)\right(\mathbf{p}\cdot \mathbf{r}\ne 0),\\ s_i\ne 0(i=\overline{\mathrm{1,3})},a_0\in \left(\mathrm{0,}\frac{\sqrt{41}-5}{2}\right),A_3<2A_1,\left(A_3=A_1,a_0=\frac{1}{2}\right).\end{array}$ (4.52)

Отличия (4.51) от (4.52) очевидны; отметим, что в случае (4.51) вариант A₃ = A₁ невозможен. Кроме этого, решение [18] характеризуется эллиптическими функциями:

$a_0\in \left(\mathrm{0,}1\right), A_2<A_1.$ (4.53)

5. Геометрическая интерпретация движения гиростата в случае $\mathrm{\psi }=\mathrm{\phi }$. Без ограничения общности рассмотрим (4.46) только с положительным знаком:

$\dot{\mathrm{\phi }}={\mathrm{\mu }}_0\mathrm{sin\phi }.$ (5.1)

Вычислим $\mathrm{\phi }\left(\mathrm{\tau }\right)$, где $\mathrm{\tau }={\mathrm{\mu }}_{0}t$:

$\mathrm{\phi }\left(\mathrm{\tau }\right)=2\text{arctg\hspace{0.05em}\hspace{0.17em}}{e}^{\mathrm{\tau }}.$ (5.2)

Из (5.2) следует, что $\mathrm{\phi }\left(0\right)=\mathrm{\pi }/2,$ при $\mathrm{\tau }\to \infty : \mathrm{\phi }\left(\mathrm{\tau }\right)\to \mathrm{\pi }$. Рассмотрим подвижный годограф вектора w из (2.6) в данном случае:

$\mathbf{\omega }={\mathrm{\mu }}_0\mathrm{sin\phi }(\mathbf{a}+{\mathbf{\gamma }}^{\left(1\right)}),$ (5.3)

где

${\mathbf{\gamma }}^{\left(1\right)}=({a^{\text{'}}}_0\mathrm{sin\phi },{a^{\text{'}}}_0\mathrm{cos\phi },a_0).$ (5.4)

На основании (5.3), (5.4) находим компоненты $\mathbf{\omega }$:

${\mathbf{\omega }}_1={a^{\text{'}}}_0{\mathrm{\mu }}_0{\sin }^2\mathrm{\phi }, {\mathbf{\omega }}_2={a^{\text{'}}}_0{\mathrm{\mu }}_0\mathrm{sin\phi }\mathrm{cos\phi }, {\mathbf{\omega }}_3={\mathrm{\mu }}_0(1+a_0)\mathrm{sin\phi }.$ (5.5)

Исключим в (5.5) переменную $\mathrm{\phi }$:

$(1+a_0)({\mathrm{\omega }}_1^2+{\mathrm{\omega }}_2^2)-(1-a_0){\mathrm{\omega }}_3^2=0, {\mathrm{\omega }}_1^{}=\frac{{a^{\text{'}}}_0{\mathrm{\omega }}_3^2}{{\mathrm{\mu }}_0{(1+a_0)}^2}.$ (5.6)

Таким образом, в силу (5.6) подвижный годограф угловой скорости гиростата – линия пересечения конуса второго порядка и параболического цилиндра (образующие его параллельны оси Oy). Начальная точка имеет координаты $a{\text{'}}_0{\mathrm{\mu }}_0, 0, {\mathrm{\mu }}_0\left(1+a_0\right)$, а предельная точка ($\tau \to \infty$) имеет координаты (0, 0, 0). То есть при $\tau \to \infty$ конец вектора угловой скорости асимптотически стремится к началу координат.