On the influence of a non-classical diffusion process on the long-term fracture of a composite tensile rod during creep

Full Text

1. Введение. Актуальность исследований высокотемпературной прочности материалов и конструкций [1], в том числе, находящихся в условии воздействия активных сред [2, 3], не подлежит сомнению. Современные материалы и элементы конструкций должны обеспечивать надежность и работоспособность изделий, выполненных из них, в течение всего срока службы в рабочих условиях с учетом их взаимодействия с внешними и/или рабочими средами. Наиболее часто для дополнительной защиты элементов конструкций от деструктивного воздействия внешней активной среды применяются типовые элементы составного типа. Внешний слой такой составной конструкции, как правило, контактирует с агрессивным веществом и защищает основные элементы конструкции от его разрушительного воздействия.

Предлагаемая вниманию читателей настоящая статья является продолжением проводимых авторами исследований, но с учетом неклассического диффузионного процесса В статье [4] авторами рассмотрено напряженно-деформированное состояние, кинетика накопления повреждений в процессе ползучести и определены времена до разрушения составного стержня без учета влияние активной среды при различных значениях материальных констант в законах ползучести и длительного разрушения его частей. Рассмотренная задача являлась предварительным опорным исследованием перспективной задачи о защитном эффекте внешних частей составного стержня при его контакте с рабочей активной средой в условиях длительного действия нагрузки и повышенных температур.

В последующей свое работе авторами для анализа диффузионного проникновения активной среды в материалы частей составного стержня используется приближенный метод решения классического уравнения диффузии, который основан на введении диффузионного фронта, подробно описанный в [2, 3, 5]. Такой подход позволяет разделить весь материал стержня на возмущенную (где среда уже проникла в материал) и невозмущенную области (где еще нет проникновения среды) и затем определять движение границы между этими областями во времени. Решение (распределение концентрации по координатам и времени) ищется в виде полинома, коэффициенты которого в общем виде являются функциями пространственных координат и времени. При этом граничные и начальное условия выполняются точно, а уравнение диффузии удовлетворяется интегрально во всем объеме стержня. Относительная погрешность рассматриваемого приближенного метода по сравнению с точным решением в рядах составляет единицы процентов и уменьшается с ростом степени применяемого полинома. С учетом того факта, что кривые ползучести имеют значительный статистический разброс применение приближенного метода решения уравнения диффузии для решения рассматриваемых задач, вполне допустимо.

Кроме того, в процессе своих исследований авторами проведен обзор работ по ползучести и длительному разрушению составных конструкций [4], в том числе находящихся в активной среде, выявлены основные тенденции, применяемые модели при решении такого рода задач, а также меры по коррозионной защите поверхностей элементов конструкций.

В настоящем исследовании (в данной статье) влияние активной среды определяется неклассическим диффузионным процессом. В данном случае рассматривается диффузия, при этом проникшее в материал активное вещество находится в двух состояниях: свободном и связанном. Процесс диффузии в этом случае описывается модифицированным уравнением диффузии, учитывающим двухфазное состояние активного вещества в материале.

В данной работе авторами исследуется напряженно-деформированное состояние и проводится моделирование процессов разрушения такой типовой конструкции, как составной стержень, находящийся в условии ползучести [1] при растяжении и воздействии на части стержня активной среды, причем влияние активной среды определяется неклассическим диффузионным процессом.

2.Постановка задачи. Рассматривается составной стержень, находящийся в состоянии установившейся ползучести под действием постоянной растягивающей силы P, приложенной к его торцам. Стержень имеет прямоугольное поперечное сечение, длина стержня L, ширина стержня H и толщина b удовлетворяют двойному неравенству L >> H >> b. Расположение частей симметрично относительно срединной плоскости, проходящей через геометрическую середину ширины H. Центральная часть стержня выполнена из материала, обладающего одними свойствами ползучести, две крайних одинаковых части выполнены из другого материала, который обладает другими свойствами ползучести. Дополнительно примем следующее условие: все части составного стержня жестко, без проскальзывания соединены между собой. Расположение частей в стержне представлено на рис. 1.

 

Рис. 1. Схема расположения частей в стержне.

 

На рис. 1 обозначение h₁ соответствует ординате границы первой и второй частей в системе координат x0y. При этом толщина первой части равна 2h₁.

Рассмотрим ползучесть данного составного стержня, который дополнительно к действию растягивающей силы находится в активной среде, действие которой определяется неклассическим диффузионным процессом. При этом рассматривается процесс, описываемый модифицированным уравнением диффузии следующего вида:

$D\frac{{\partial }^2ñ}{\partial z^2}=\frac{\partial ñ}{\partial t}+\frac{\partial S}{\partial t},c\left(z,0\right)=S\left(z,0\right)=\mathrm{0,}\frac{\partial S}{\partial t}=\beta ñ-\alpha S,$ (2.1)

где c – концентрация свободной (мобильной) формы активной среды в единице объема (или на единицу массы) образца; S – концентрация связанной формы активной среды в единице объема (или на единицу массы) образца; a – вероятность перехода в единицу времени связанной формы молекул активной среды в свободную форму (a → (S → c)); b – вероятность перехода в единицу времени свободной формы молекул активной среды в связанную форму $\beta$ → (c → S)); D = const – коэффициент диффузии; t – время; z – декартовая координата.

Здесь предполагается, что диффузия мобильных молекул соответствует простой теории диффузии, дополненной источниками и стоками, как в теории цепных нейтронных реакций [6].

По мнению авторов статьи рассматриваемая диффузионная модель может также моделировать некоторые физико-химические механизмы диффузии в оксидах металлов с учетом особенностей их структуры и свойств [7, 8].

Исследуется длительная прочность растягиваемого длинного составного стержня с поперечным сечением в виде узкого прямоугольника в активной среде, диффузионное влияние которой описывается уравнением (2.1). Поскольку ширина H поперечного сечения значительно превосходит его толщину b, то влиянием диффузии со стороны узких сторон прямоугольного сечения можно пренебречь. Длина стержня во много раз превосходит характерные размеры его поперечного сечения, поэтому влиянием продольной координаты стержня на диффузионный процесс можно также пренебречь. Таким образом, процесс диффузии является одномерным и проходит по толщине b вдоль поперечной координаты z. Принимаются одинаковые граничные условия диффузионного процесса на широких сторонах прямоугольного поперечного сечения, в связи с этим процесс диффузии является симметричным относительно оси y, проходящей через центр поперечного сечения стержня. Примем одинаковые характеристики диффузионного процесса для центральной части и двух крайних частей стержня. А именно, пусть активная среда проникает в центральную и крайние части с коэффициентом диффузии D = const. Вероятности перехода a связанной формы молекул активной среды в свободную и обратный процесс b примем одинаковыми для всех частей стержня. Схема воздействия активной среды на составной стержень представлена на рис. 2.

 

Рис. 2. Схема воздействия активной среды на составной стержень.

 

Введем безразмерные переменные:

  $\overline{z}=\frac{2z}{b}, \tilde{t}=\frac{D}{b^2}t, \overline{c}=\frac{c}{c_0}, \overline{S}=\frac{S}{c_0},\overline{\beta }=\frac{b^2}{D}\beta ,\overline{\alpha }=\frac{b^2}{D}\alpha ,$  (2.2)

где c₀ – равновесная концентрация свободного вещества.

С учетом принятых безразмерных переменных (2.2) уравнение (2.1) преобразуется, в результате распределение концентрации элементов активной среды в каждой части составного стержня подчиняется одномерному модифицированному уравнению диффузии

$4\frac{{\partial }^2\overline{c}}{\partial {\overline{z}}^2}=\frac{\partial \overline{c}}{\partial \tilde{t}}+\overline{\beta }\overline{c}-\overline{\alpha }\overline{S}$ (2.3)

с начальным условием $\overline{c}\left(\overline{z},0\right)=\overline{S}\left(\overline{z},0\right)=0$ для $\left|\overline{z}\right|<1$, и с граничными условиями $\overline{c}\left(\mathrm{1,}\tilde{t}\right)=\overline{c}\left(-\mathrm{1,}\tilde{t}\right)=1$.

Решение уравнения (2.3) рассматривается в статье [9], в которой методом преобразования Лапласа [10] получены зависимости $\overline{c}(\overline{z},\tilde{t})$ и $\overline{S}(\overline{z},\tilde{t}).$

Интегрирование указанных зависимостей по толщине z дает следующее выражение для относительной массы поглощенного вещества $\overline{m}=\overline{m}\left(\tilde{t}\right),$ которая есть средняя концентрация ${\overline{ñ}}_m\left(\tilde{t}\right)\equiv \overline{m}\left(\tilde{t}\right),$ зависящая только от времени

$\begin{array}{c}{\overline{ñ}}_m\left(\tilde{t}\right)=\overline{m}\left(\tilde{t}\right)=1-\left(\frac{8}{{\pi }^2}\right)\left(\sum _l^{\infty \left(odd\right)}\frac{\left[\left(r_l^{+}\right)\left(\exp \left(-r_l^{-}\tilde{t}\right)\right)-\left(r_l^{-}\right)\left(\exp \left(-r_l^{+}\tilde{t}\right)\right)\right]}{\left(l^2\right)\left(r_l^{+}-r_l^{-}\right)}\right)+\\ +\left(\frac{8}{{\pi }^2}\right)\left(\frac{\kappa \overline{\alpha }}{\overline{\beta }+\overline{\alpha }}\right)\left(\sum _l^{\infty \left(odd\right)}\frac{\left[\exp \left(-r_l^{-}\tilde{t}\right)-\exp \left(-r_l^{+}\tilde{t}\right)\right]}{\left(r_l^{+}-r_l^{-}\right)}\right),\end{array}$ (2.4)

где $\sum _l^{\infty \left(odd\right)}$ – сумма по нечетным индексам l. В соотношении (2.4) использованы обозначения:

$\begin{array}{c}\kappa =\frac{{\pi }^{2}4}{{\left(2\overline{\delta }\right)}^2},\overline{\delta }=\mathrm{1,}{r}_l^{+}=\frac{1}{2}\left[\left(\kappa l^2+\overline{\beta }+\overline{\alpha }\right)+\left(\sqrt{{\left(\kappa l^2+\overline{\beta }+\overline{\alpha }\right)}^2\text{}-4\kappa \overline{\alpha }{l}^2}\right)\right],\\ r_l^{-}=\frac{1}{2}\left[\left(\kappa l^2+\overline{\beta }+\overline{\alpha }\right)-\left(\sqrt{{\left(\kappa l^2+\overline{\beta }+\overline{\alpha }\right)}^2-4\kappa \overline{\alpha }{l}^2}\right)\right],\end{array}$

где $2\overline{\delta }$ – безразмерная толщина, m = m/m₀, m – масса поглощенного вещества, m₀ – значение равновесной массы поглощенного вещества.

В настоящем исследовании, учитывая постановку задачи, а именно, малость поперечных размеров составного стержня по сравнению с его длиной и с дополнительным условием симметричности диффузионного процесса относительно центральной плоскости симметрии, принимается одномерный характер напряженного состояния. В процессе решения используется гипотеза плоских сечений и обобщение принципа Сен-Венана для рассматриваемой задачи, что позволяет считать напряженное состояние однородным вдали от мест соединения частей составного стержня.

3. Определяющие и кинетические соотношения. Учет влияния активной среды в уравнениях модели. Пусть соотношения (3.1) описывают скорость деформации ползучести соответственно первой (центральной) части и двух крайних частей.

${\dot{p}}_1=B_1{\left(\frac{{\sigma }_1}{1-{\omega }_1}\right)}^n$, ${\dot{p}}_2=B_2{\left(\frac{{\sigma }_2}{1-{\omega }_2}\right)}^n\text{},$ (3.1)

где $\sigma$₁ – напряжение в первой (центральной) части стержня, $\sigma$₂ – напряжение в двух крайних частях стержня, $\omega$₁ – параметр поврежденности для центральной части стержня, $\omega$₂ – параметр поврежденности одинаковый для двух крайних частей стержня, B₁, B₂, n – материальные константы, точка над символами p₁ и p₂ означает производную по времени t.

В соотношении (3.1) на основе кинетической теории ползучести и длительной прочности Ю.Н. Работнова [1] в уравнения, описывающие ползучесть каждой части составного стержня, введены структурные параметры – параметры поврежденности w₁ и w₂, которые описывает накопление повреждений в процессе ползучести.

Введем дополнительные безразмерные переменные:

  ${\overline{\sigma }}_1=\frac{{\sigma }_1}{{\sigma }_0}, {\overline{\sigma }}_2=\frac{{\sigma }_2}{{\sigma }_0}, \overline{t}=B_1{{\sigma }_0}^{n}t,$ (3.2)

где s₀ – некоторое характерное напряжение размерности МПа, например, половина предела кратковременной прочности $\sigma$_b ($\sigma$₀ = 0.5$\sigma$_b) при соответствующей температуре.

Тогда определяющие соотношения (3.1) для центральной и двух крайних частей составного стержня соответственно будут иметь следующий вид:

$\frac{d{p}_1}{d\overline{t}}=\frac{{{\overline{\sigma }}_1}^n}{{\left(1-{\omega }_1\right)}^n}, \frac{d{p}_2}{d\overline{t}}=\frac{k{{\overline{\sigma }}_2}^n}{{\left(1-{\omega }_2\right)}^n},$

где k = B₂/B₁.

Большинство экспериментальных данных показывают, что активная среда деструктивно влияет на материал, уменьшает время до разрушения по сравнению с эксплуатацией материалов и элементов конструкций в нейтральных условиях.

Процессы разрушения инициируются ростом повреждений в материале. Учтем влияние активной среды в кинетических уравнениях накопления поврежденности:

$\frac{d{\omega }_1}{dt}=A{\left(\frac{{\sigma }_1}{1-{\omega }_1}\right)}^m\text{}f\left({\overline{c}}_m\right),{\omega }_1={\omega }_1\left(t\right),{\omega }_1\left(0\right)=\mathrm{0,}{\omega }_1^{*}\equiv {\omega }_1(t=t_1^{*})=\mathrm{1,}$ (3.3)

$\frac{d{\omega }_2}{dt}=A{\left(\frac{{\sigma }_2}{1-{\omega }_2}\right)}^m\text{}f\left({\overline{c}}_m\right),{\omega }_2={\omega }_2\left(t\right),{\omega }_2\left(0\right)=\mathrm{0,}{\omega }_2^{*}\equiv {\omega }_2(t=t_2^{*})=\mathrm{1,}$ (3.4)

где t₁^* – время до разрушения центральной части стержня, t₂^* – время до разрушения крайних частей стержня. A, m – материальные константы, которые определяются на основе опытов на длительную прочность без активной среды в нейтральных условиях (при этом $f\left({\overline{c}}_m\right)\equiv 1$). Для этих опытов используются стандартные образцы, которые изготовлены из материалов соответствующих частей составного стержня.

В уравнениях (3.3) и (3.4) введена некоторая возрастающая функция от интегрально средней концентрации $f\left({\overline{c}}_m\right)$ соответственно, такая, что $f\left({\overline{c}}_m=0\right)=1.$

С учетом единого для определяющих и кинетических уравнений безразмерного времени t уравнения (3.3) и (3.4) примут следующий вид:

$\frac{d{\omega }_1}{d\overline{t}}={Ñ}_1\frac{{{\overline{\sigma }}_1}^m}{{\left(1-{\omega }_1\right)}^m}f\left({\overline{c}}_m\right), \frac{d{\omega }_2}{d\overline{t}}={Ñ}_1\frac{{{\overline{\sigma }}_2}^m}{{\left(1-{\omega }_2\right)}^m}f\left({\overline{c}}_m\right),$ (3.5)

где $C_1=\frac{A}{B_1}{{\sigma }_0}^{m-n}$.

Начальные условия: $\omega$₁(0) = 0, $\omega$₂(0) = 0. Первое уравнение в (3.5) отвечает за рост параметра $\omega$₁ в центральной части составного стержня, находящейся под действием напряжения _{${\overline{\sigma }}_1$}. Второе уравнение в (3.5) отвечает за рост параметра $\omega$₂ в двух крайних частях составного стержня, находящихся под действием напряжения ${\overline{\sigma }}_2$. Средняя концентрация ${\overline{c}}_m$ определяется уравнением (2.4).

Примем линейный вид функции f (${\overline{c}}_m$) [11]:

$f\left({\overline{c}}_m\right)=1+a{\overline{c}}_m$

где a – материальная константа. Способ определения константы a из экспериментов на длительную прочность подробно изложен в [11].

Поскольку кинетические соотношения (3.5) и соотношение (2.4) для средней концентрации ${\overline{c}}_m$ записаны в различных безразмерных временах $\stackrel{-}{t}$ и $\tilde{t}$ соответственно, то для дальнейших расчетов необходимо перейти к одному единому безразмерному времени для задачи $\tilde{t}$. Напомним читателю статьи, что в соответствии с (2.4) выражения для безразмерного времен, характеризуемых диффузионными процессами в частях стержня, имеют следующий вид:

$\tilde{t}=\frac{D}{b^2}t.$

Связь безразмерного времени $\tilde{t}$ с реальным временем $\stackrel{}{t}$ определяется в соответствии с (3.2).

Последовательно выражая сначала время $\tilde{t}$ через время $\stackrel{-}{t}$, приведем (3.5) к виду, записанному в едином безразмерном времени $\stackrel{-}{t}$.

Проведя соответствующие выкладки, получим, что связь безразмерных времен определяется как $\tilde{t}=K\overline{t},$ где K = D/(b₂B₁$\sigma$₀ⁿ). Таким образом, используя решение ${\overline{ñ}}_m\left(\tilde{t}\right)=\overline{m}\left(\tilde{t}\right)$ (2.4), учитывая $\tilde{t}=K\overline{t},$ находим зависимость ${\overline{ñ}}_m\left(\tilde{t}\right)=\overline{m}\left(\tilde{t}\right)$.

В результате кинетические соотношения для первой (центральной) и двух вторых (крайних) частей составного стержня в едином безразмерном времени $\stackrel{-}{t}$ примут следующий вид:

$\frac{d{\omega }_1}{d\overline{t}}={Ñ}_1\frac{{{\overline{\sigma }}_1}^m}{{\left(1-{\omega }_1\right)}^m}f\left({\overline{c}}_m\left(\overline{t}\right)\right), \frac{d{\omega }_2}{d\overline{t}}={Ñ}_1\frac{{{\overline{\sigma }}_2}^m}{{\left(1-{\omega }_2\right)}^m}f\left({\overline{c}}_m\left(\overline{t}\right)\right),$ (3.6)

где C₁ = (A/B₁)s₀^{m - n}. Начальные условия: $\omega$₁(0) = 0, $\omega$₂(0) = 0.

Факт наличия жесткого соединении без проскальзывания частей стержня приводит к равенству деформаций на их границе. Далее применяется гипотеза, что деформации не зависят от поперечной координаты y, что согласно гипотезе плоских сечений выполняется наряду с утверждением о неизменности исходных плоских и нормальных к оси стержня сечений до и после деформации.

Данное обоснование дает возможность принять условие равенства деформаций ползучести $p_1\left(\overline{t}\right)=p_2\left(\overline{t}\right).$ С учетом заданного начального условия p(0) = 0, получим:

$\begin{array}{c}\frac{d{p}_1}{d\overline{t}}=\frac{{{\overline{\sigma }}_1}^n}{{\left(1-{\omega }_1\right)}^n},d{p}_1=\frac{{{\overline{\sigma }}_1}^n}{{\left(1-{\omega }_1\right)}^n}d\overline{t},\\ \underset{0}{\overset{p_1}{\int }}d{p}_1=\underset{0}{\overset{\overline{t}}{\int }}\frac{{{\overline{\sigma }}_1}^n}{{\left(1-{\omega }_1\right)}^n}d\overline{t},p_1=\underset{0}{\overset{\overline{t}}{\int }}\frac{{{\overline{\sigma }}_1}^n}{{\left(1-{\omega }_1\right)}^n}d\overline{t}.\end{array}$

Аналогично:

$\frac{d{p}_2}{d\overline{t}}=\frac{k{{\overline{\sigma }}_2}^n}{{\left(1-{\omega }_2\right)}^n},p_2=k\underset{0}{\overset{\overline{t}}{\int }}\frac{{{\overline{\sigma }}_2}^n}{{\left(1-{\omega }_2\right)}^n}d\overline{t}.$

Из условия равенства деформаций ползучести p₁ = p₂ следует:

$\underset{0}{\overset{\overline{t}}{\int }}\frac{{{\overline{\sigma }}_1}^n}{{\left(1-{\omega }_1\right)}^n}d\overline{t}=k\underset{0}{\overset{\overline{t}}{\int }}\frac{{{\overline{\sigma }}_2}^n}{{\left(1-{\omega }_2\right)}^n}d\overline{t}.$ (3.7)

Запишем уравнение равновесия

$P=2\left[\underset{0}{\overset{h_1}{\int }}b{\sigma }_{1}dy+\underset{h_1}{\overset{H/2}{\int }}b{\sigma }_{2}dy\right]=2b\left[h_1{\sigma }_1+\left(\frac{H}{2}-h_1\right){\sigma }_2\right]$. (3.8)

Введем величину $\Sigma \equiv \frac{P}{bH}$, тогда

$\Sigma =\left[\xi {\sigma }_1+\left(1-\xi \right){\sigma }_2\right]$, $\xi =\frac{2h_1}{H}$.

С учетом выражений для безразмерных напряжений s₁ и s₂ уравнение равновесия (3.8) будет иметь вид:

${\Sigma }_0=\left[\xi {\overline{\sigma }}_1+\left(1-\xi \right){\overline{\sigma }}_2\right],$ (3.9)

где ${\Sigma }_0=\frac{\Sigma }{{\sigma }_0}=\frac{P}{bH{\sigma }_0}$.

Выразим из (3.9) $\sigma$₂

${\overline{\sigma }}_2=\frac{\left[{\Sigma }_0-\xi {\overline{\sigma }}_1\right]}{\left(1-\xi \right)}.$ (3.10)

С учетом уравнений (3.6), (3.7) и (3.10) замкнутая система уравнений будет иметь следующий вид

$\begin{array}{c}\frac{d{\omega }_1}{d\overline{t}}={Ñ}_1\frac{{{\overline{\sigma }}_1}^m}{{\left(1-{\omega }_1\right)}^m}f\left({\overline{c}}_m\left(\overline{t}\right)\right),\\ \frac{d{\omega }_2}{d\overline{t}}={Ñ}_1\frac{{\left(\left[{\Sigma }_0-\xi {\overline{\sigma }}_1\right]\right)}^m}{{\left(\left(1-\xi \right)\left(1-{\omega }_2\right)\right)}^m}f\left({\overline{c}}_m\left(\overline{t}\right)\right),\\ \underset{0}{\overset{\overline{t}}{\int }}{{\overline{\sigma }}_1}^n\frac{1}{{\left(1-{\omega }_1\right)}^n}d\overline{t}=k\underset{0}{\overset{\overline{t}}{\int }}{\left(\frac{\left[{\Sigma }_0-\xi {\overline{\sigma }}_1\right]}{\left(1-\xi \right)\left(1-{\omega }_2\right)}\right)}^{n}d\overline{t}.\end{array}$ (3.11)

В уравнениях (3.10), в системе (3.11), а также учитывая ${\overline{c}}_m\left(\overline{t}\right)={\overline{c}}_m\left(K\tilde{t}\right)$ по (2.4), использованы константы

$$\begin{gathered} \overline{\alpha }=\frac{b^2}{D}\alpha ,\overline{\beta }=\frac{b^2}{D}\beta , {Ñ}_1=\frac{{\displaystyle A}}{{\displaystyle B_1}}{{\sigma }_0}^{m-n}, K=\frac{D}{b^2{B}_1{{\sigma }_0}^n}, \\ k=\frac{{\displaystyle B_2}}{{\displaystyle B_1}}, \xi =\frac{{\displaystyle 2h_1}}{{\displaystyle H}}, {\Sigma }_0=\frac{{\displaystyle P}}{{\displaystyle bH{\sigma }_0}}. \end{gathered}$$

В системе (3.11) из трех уравнений тремя неизвестными являются поврежденность $\omega$₁ = $\omega$₁( $\stackrel{-}{t}$) – в центральной части стержня, поврежденность $\omega$₂ = $\omega$₂( $\stackrel{-}{t}$) – в двух крайних частях составного стержня, напряжение $\sigma$₁ = $\sigma$₁( $\stackrel{-}{t}$). Напряжение $\sigma$₂ = $\sigma$₂( $\stackrel{-}{t}$) определяется в соответствии с соотношением (3.10). Указанные характеристики напряженного и поврежденного состояния являются зависимыми от времени.

Принимаются начальные условия для поврежденностей: $\omega$₁(0) = 0, $\omega$₂(0) = 0.

Используем принятый ранее в статье линейный вид функции

$f\left({\overline{c}}_m\left(\overline{t}\right)\right)=1+a_c\cdot {\overline{c}}_m\left(\overline{t}\right),$

где a_c – константа, определяемая из эксперимента на длительную прочность образцов материала, находящихся в активной среде.

В работе [11] было определено значение данной константы a_c = 9,5 для опытов по длительной прочности образцов углеродистой стали, находящихся в высокотемпературной воздушной среде [12].

Необходимо отметить, что материальные параметры A, B₁, B₂, m, n, входящие в соотношения (3.1), (3.3), (3.4) и в систему уравнений (3.11), в общем случае можно определить на основе обработки экспериментальных данных по ползучести и длительной прочности стандартных образцов из материалов, из которых изготовлены рассматриваемые части составного стержня.

Критерием разрушения каждой части стержня является условие достижения параметром поврежденности для соответствующей части стержня значения, равного единице ${\omega }_1^{*}\equiv {\omega }_1(\overline{t}={{\overline{t}}_1}^{*})=1$ и ${\omega }_2^{*}\equiv {\omega }_2(\overline{t}={{\overline{t}}_2}^{*})=1.$ Общее время до разрушения всего составного стержня t ^* будем считать минимальной из полученных времен до разрушения отдельных частей стержня: $\overline{t}{}^{*}=\min \{{\overline{t}}_1^{*},{\overline{t}}_2^{*}\}.$

Результатом решения задачи будут являться рассчитанные зависимости $\sigma$₁ = $\sigma$₁($\overline{t}$), $\sigma$₂ = $\sigma$₂( $\overline{t}$), $\omega$₁ =$\omega$₁($\overline{t}$), w₂ =$\omega$₂($\overline{t}$) от безразмерного времени $\overline{t}$.

4. Результаты расчета. Цель проведенного расчета данной модельной задачи было выявление влияния параметров неклассического диффузионного процесса на время до разрушения составного стержня. Следует отметить, что в ранее проведенном исследовании [4] показано, что на характер распределения напряжений и процессы накопления поврежденности (а следовательно, на очередность разрушения частей стержня) в аналогичном составном стержне, деформируемом при ползучести в нейтральных условиях (без учета влияния активной среды), влияет отношение материальных констант k = B₂/B₁ в определяющих соотношениях. Причем с ростом показателей n = m при неизменных других материальных параметрах время до разрушения t ^* увеличивается.

Проведем расчет для двух вариантов набора констант, отличающихся только значениями параметров $\alpha$ и $\beta$:

1)$\overline{\alpha }=\mathrm{1,}\overline{\beta }=\mathrm{1,}m=n=\mathrm{3,}k=\mathrm{2,}{Ñ}_1=\mathrm{2,}K=\mathrm{1,}\xi =\mathrm{0.5,}{\Sigma }_0=\mathrm{0.5,}$

2)$\overline{\alpha }=\mathrm{1,}\overline{\beta }=\mathrm{0,}m=n=\mathrm{3,}k=\mathrm{2,}{Ñ}_1=\mathrm{2,}K=\mathrm{1,}\xi =\mathrm{0.5,}{\Sigma }_0=\mathrm{0.5.}$

Набор параметров 2) соответствует классическому диффузионному процессу, поскольку вероятность перехода в единицу времени свободной формы молекул активной среды в связанную форму $\beta$ = 0, следовательно, концентрация связанной формы активной среды в единице объема (или на единицу массы) образца S = 0.

Результаты расчетов представлены на рисунках 3–6. На рисунках приняты следующие обозначения:

1 – зависимости ${\stackrel{-}{\sigma }}_1={\stackrel{-}{\sigma }}_1$($\stackrel{-}{t}$), ${\omega }_1={\omega }_1$($\stackrel{-}{t}$) для 1) варианта набора констант;

2 – зависимости ${\stackrel{-}{\sigma }}_2={\stackrel{-}{\sigma }}_2$ ($\stackrel{-}{t}$), ${\omega }_2={\omega }_2$($\stackrel{-}{t}$) для 1) варианта набора констант;

3 – зависимости ${\stackrel{-}{\sigma }}_1={\stackrel{-}{\sigma }}_1$($\stackrel{-}{t}$), ${\omega }_1={\omega }_1$($\stackrel{-}{t}$) для 2) варианта набора констант;

4 – зависимости ${\stackrel{-}{\sigma }}_2={\stackrel{-}{\sigma }}_2$($\stackrel{-}{t}$), ${\omega }_2={\omega }_2$($\stackrel{-}{t}$) для 2) варианта набора констант;

I – зависимость ${\stackrel{-}{c}}_m$($\stackrel{-}{t}$) для $\overline{\alpha }=\mathrm{1,}\overline{\beta }=1$;

II – зависимость ${\stackrel{-}{c}}_m$($\stackrel{-}{t}$) для $\overline{\alpha }=\mathrm{1,}\overline{\beta }=0$.

Проанализируем получcенные результаты. В начальный момент времени (когда еще нет влияния среды) соответствующие графики ${\stackrel{-}{\sigma }}_1=\stackrel{-}{{\sigma }_1}\left(\stackrel{-}{t}\right)$ и ${\stackrel{-}{\sigma }}_2=\stackrel{-}{{\sigma }_2}\left(\stackrel{-}{t}\right)$ выходят из одной точки для рассматриваемых случаев.

 

Рис. 3. Зависимости безразмерных напряжений от безразмерного времени в частях составного стержня при учете неклассического (обозначения: 1, 2) и классического (обозначения: 3, 4) диффузионных процессов.

 

 

Рис. 4. Зависимости параметров поврежденности от безразмерного времени в частях составного стержня при учете неклассического (обозначения: 1, 2) диффузионного процесса.

 

 

Рис. 5. Зависимости параметров поврежденности от безразмерного времени в частях составного стержня при учете классического (обозначения: 3, 4) диффузионного процесса.

 

 

Рис. 6. Зависимости интегрально средней концентрации от безразмерного времени в частях составного стержня при учете неклассического (обозначения: I) и классического (обозначения: II) диффузионных процессов.

 

Разрушение определяется критериально предельным значением поврежденности $\omega$^* ≡ 1. Разрушение в классическом случае происходит раньше (при$\stackrel{-*}{t}$ = 0.147) , чем в случае рассматриваемого неклассического диффузионного процесса (при $\stackrel{-*}{t}$ = 0.216). Этот факт дополнительно подтверждают зависимости интегрально средней концентрации ${\stackrel{-}{c}}_m$($\stackrel{-}{t}$) от безразмерного времени (рис. 6). Для случая классической диффузии график соответствующей зависимости ${\stackrel{-}{c}}_m$($\stackrel{-}{t}$) проходит выше, чем аналогичный график для случая неклассического диффузионного процесса. То есть, в последнем случае меньше концентрация свободной (диффузионной) составляющей, чем в классическом случае. Это происходит по причине дополнительного расхода вещества на образование связанной формы.

5. Заключение. На основе кинетической теории ползучести и длительной прочности Ю.Н. Работнова получены зависимости напряжений и накопления поврежденности от времени в центральной и двух крайних частях составного стержня при учете неклассического диффузионного процесса. При этом учитывается, что части составного стержня жестко без проскальзывания соединены между собой. При таком процессе проникшее в материал активное вещество находится в двух состояниях: свободном и связанном. Процесс диффузии в этом случае описывается модифицированным уравнением диффузии, учитывающим двухфазное состояние активного вещества в материале.

В результате получена система уравнений, моделирующая ползучесть составного стержня, а также включающая в себя кинетические уравнения накопления поврежденности в частях стержня. Учет влияния активной среды производится путем введения в указанные кинетические уравнения функции влияния активной среды – функции от интегрально средней концентрации.

Проведены расчеты в двух случаях, а именно, рассматривается классический и неклассический диффузионный процесс. Задания данных различий обусловлено выбором соответствующих параметров в рассматриваемой диффузионной модели. Построены зависимости накопления поврежденности и распределения напряжений в частях стержня во времени.

Определено, что разрушение составного стержня в классическом случае происходит раньше, чем в случае рассматриваемого неклассического диффузионного процесса.

Проведенное исследование имеет фундаментальный характер в развитии теории определяющих соотношений ползучести и кинетических уравнениях, моделирующих длительное разрушение материалов и элементов конструкций в активной среде. В качестве прикладного применения разработанный подход и полученные результаты могут быть применены в энергетическом, химическом машиностроении, судостроении и авиакосмической отрасли.

Работа выполнена при поддержке госбюджетного финансирования, номер проекта ЦИТИС АААА-А19-119012990120-9.

About the authors

L. V. Fomin

Research Institute of mechanics of Lomonosov Moscow State University

Author for correspondence.
Email: fleonid1975@mail.ru
Russian Federation, Moscow

A. A. Dalinkevich

Research Institute of mechanics of Lomonosov Moscow State University; Frumkin Institute of Physical Chemistry and Electrochemistry, Russian Academy of Sciences

Email: dalinckevich@yandex.ru
Russian Federation, Moscow; Moscow

Yu. G. Basalov

Research Institute of mechanics of Lomonosov Moscow State University

Email: basalov@yandex.ru
Russian Federation, Moscow

References

Supplementary files