Heat production due to creep strains and wall viscoplastic flow in the plug material in a round pipe under the action of variable pressure difference

全文:

1. Введение. Повышение прочности, пластичности и других механических свойств металлов достигается многими способами, одним из которых является термомеханическая обработка. С другой стороны, многие элементы конструкций работают в условиях циклически изменяющихся нагрузок, вызывающих упругопластическое деформирование. Вследствие этого в элементах конструкций возникают тепловые деформации, которые могут существенно изменять свойства материала и, как следствие, характер деформирования. Учет связанности полей деформаций и температуры позволяет качественно и количественно точнее описать поведение таких элементов конструкций и выявить при этом новые эффекты, однако и значительно усложняет модельные соотношения. Поскольку в областях течения необратимые деформации необходимо большие, то задачи о неизотермических течениях требуют рассмотрения в рамках модели больших упругопластических деформаций. Подобных подходов к моделированию упругопластических свойств существует достаточно много [1–5]. Здесь будем использовать модель, в которой согласно формализму неравновесной термодинамики, обратимые и необратимые деформации, как термодинамические параметры состояния в процессе деформирования, определяются формулированием для них дифференциальных уравнений их изменения (переноса) [6–8]. Обобщение модели на неизотермический случай содержится в [9], на случай учета вязких свойств материала при его пластическом течении – в [10].

Рост обратимых и необратимых деформаций в среде задают источники в уравнениях изменения деформаций при выборе соответствующих определяющих законов. Здесь будем использовать два определяющих закона, задающих накопление необратимых деформаций: закон ползучести и закон пластического течения. Согласно первому, накопление необратимых деформаций с началом деформирования обусловлено вязкими свойствами деформируемого материала. При достижении напряжениями поверхности нагружения действует второй определяющий закон. Таким образом, в процессе деформирования первоначально накапливаются необратимые деформации ползучести, а затем они продолжают рост за счет развивающегося пластического течения. На границах, отделяющих области течения от областей с деформациями ползучести, происходит смена механизмов накопления необратимых деформаций с медленного вязкого на быстрый пластический и наоборот при разгрузке. Такая последовательная смена механизмов производства необратимых деформаций, требующая согласования законов ползучести и пластического течения на границах, разделяющих области деформирования на части, для обеспечения непрерывности необратимых деформаций рассматривалась в [11–15].

Здесь, следуя аналогичному подходу, приведем решение неизотермической краевой задачи о необратимом деформировании материала, образующего пробку конечной длины в круглой недеформируемой трубе. Несжимаемый упруговязкопластический материал находится в условиях жесткого сцепления со стенками трубы и подвергается действию изменяющегося со временем перепада давления, заданного на торцевых поверхностях пробки. Отметим, что связанные задачи о прямолинейных течениях без учета ползучести материала ранее рассматривались в [16–19]. Производство тепла и необратимых пластических деформаций происходило за счет антиплоского деформирования и пристеночного трения. Здесь рассмотрим случай, когда тепло создается внутри только за счет необратимого деформирования (ползучесть и пластичность), то есть приток тепла в среду через ее границу отсутствует.

2. Основные соотношения модели больших деформаций. Движение точек деформируемого материала зададим в пространственных переменных Эйлера. Для термодинамических параметров состояния, которыми полагаем температуру T (или плотность распределения энтропии S), обратимые (термоупругие) m и необратимые деформации p согласно математической модели [6–8] справедливы дифференциальные уравнения их изменения:

$\begin{array}{c}\frac{Dp}{Dt}=\frac{dp}{dt}-x\cdot p+p\cdot x=g-p\cdot g-g\cdot p,\\ \frac{Dm}{Dt}=\epsilon -g-\frac{1}{2}\left((\epsilon -g+z)\cdot m+m\cdot (\epsilon -g-z)\right),\end{array}$

$\begin{array}{c}v=\frac{\partial u}{\partial t}+v\cdot \nabla u, \nabla =\frac{1}{2}(\nabla v+{\nabla }^{T}v)+\frac{1}{2}(\nabla -{\nabla }^T)=\epsilon +w,\\ \begin{array}{ccc}x=-x^T=w+z,& m=e+\alpha T_0\theta I,& \theta ={T_0}^{-1}(T-T_0),\end{array}\\ \text{z\hspace{0.33em}}=-z{}^T=A^{-1}\left(B^2(\epsilon \cdot m-m\cdot \epsilon )+B(\epsilon \cdot m^2-m^2\cdot \epsilon )+m\cdot \epsilon \cdot m^2-m^2\cdot \epsilon \cdot m\right),\\ A=8-8{\text{L}}_1+3L_1^2-L_2-\frac{1}{3}{L}_1^3+\frac{1}{3}{L}_3, B=2-L_1,\\ \begin{array}{ccc}{L}_1=I\cdot \cdot m,& L_2=I\cdot \cdot m^2,& L_3=I\cdot \cdot m^3.\end{array}\end{array}$(2.1)

Здесь u, v – векторы перемещений и скорости; t – время; I – единичный тензор второго ранга; T, T₀ – текущая температура и температура свободного состояния (комнатная температура) соответственно; a – коэффициент линейного расширения; D/Dt – объективная производная по времени совершенно определенного вида, полученная при выводе дифференциальных уравнений изменения термодинамических параметров состояния обратимых и необратимых деформаций. От производной Яумана она отличается наличием нелинейной добавки z($\mathit{\epsilon }$, m) в тензоре вращений x. Согласно первому уравнению (2.1) процессы деформирования, в которых необратимые деформации p неизменны, определяются равенством нулю источника необратимых деформаций $\mathit{\gamma }$. В таком случае и компоненты тензора необратимых деформаций p изменяются также как при жестком перемещении тела.

Для тензора полных деформаций Альманси d из (2.1) получаем

$d=\frac{1}{2}(\nabla u+{\nabla }^T\text{}u-{\nabla }^{T}u\cdot \nabla u)=m+p-\frac{1}{2}m\cdot m-m\cdot p-p\cdot m+m\cdot p\cdot m.$ (2.2)

В качестве термодинамического потенциала используется свободная энергия Ф(m, T) = E(d, S) - TS, где E(d, S) – плотность распределения внутренней энергии. Принимая существенно упрощающую математическую модель гипотезу о том, что свободная энергия не зависит от необратимых деформаций, считаем, что консервативная часть процесса деформирования задается упругим потенциалом W(m, $\theta$) = ${\rho }_0Ф$(m, T ) (p₀ – плотность материала в свободном состоянии). Далее материал полагаем механически несжимаемым, но изменение его объема возможно за счет линейного расширения. Согласно уравнению неразрывности такое условие записывается в виде

$\frac{\rho }{{\rho }_0}=\sqrt{1-2I_1+2I_1^2-2I_2-\frac{4}{3}{I}_1^3+4I_1{I}_2-\frac{8}{3}{I}_3}={(1+3\alpha T_0\theta )}^{-1},$ (2.3)

$\begin{array}{ccc}{I}_1=I\cdot \cdot d,& I_2=I\cdot \cdot d^2,& I_3=I\cdot \cdot d^3.\end{array}$

Из закона сохранения энергии получаем формулу Мурнагана, связывающую напряжения с обратимыми деформациями, и уравнение баланса энтропии

$s=-P_{1}I+{(1+3\alpha T_0\theta )}^{-1}\frac{\partial W}{\partial m}\cdot (I-m),$ (2.4)

$\frac{\partial \left(\rho S\right)}{\partial t}=-divJ-T^{-2}q\cdot \cdot \nabla T+T^{-1}s\cdot \cdot g.$ (2.5)

В зависимостях (2.4) и (2.5) P₁ – неизвестное гидростатическое давление, q и J – векторы потока тепла и энтропии:

Считая среду изотропной, упругий потенциал W(J₁, J₂, q) принимаем в виде разложения этой функции в ряд Тейлора относительно свободного состояния деформируемого материла при комнатной температуре T₀ [20]

$\begin{array}{c}W(J_1,J_2,\theta )=-2\mu J_1-\mu J_2+\kappa J_1^2+(\kappa -\mu )J_1{J}_2-\chi J_1^3+{\nu }_1{J}_1\theta +\\ +{\nu }_2{\theta }^2-{\nu }_3{J}_1{\theta }^2-{\nu }_4{J_1}^2\theta -{\nu }_5{J}_2\theta -{\nu }_6{\theta }^3+\mathrm{...}\\ \begin{array}{ccc}{J}_1=I\cdot \cdot c,& J_2=I\cdot \cdot c^2,& c=m-0.5m^2.\end{array}\end{array}$ (2.6)

В (2.6) m – модуль сдвига, k, c – упругие модули более высокого порядка, n_k(k = 1, 2, ..., 6) – термомеханические постоянные.

В этом случае из уравнения баланса энтропии (2.5) следует уравнение теплопроводности в форме

$\begin{array}{l}\left(1+{\beta }_1\theta +{\beta }_2{I}_1\right)\frac{\partial \theta }{\partial t}+{\beta }_3\left(\epsilon -\gamma \right)\cdot \cdot c=\lambda \Delta \theta -\frac{1}{2{\nu }_2}\sigma \cdot \cdot \gamma ,\\ {\beta }_1=\frac{\left(1-3\alpha T_0\right){\nu }_2-3{\nu }_6}{{\nu }_2}, {\beta }_2=-\frac{{\nu }_3}{{\nu }_2}, {\beta }_3=-\frac{{\nu }_1+{\nu }_5}{{\nu }_2}.\end{array}$ (2.7)

Здесь $\lambda$ – коэффициент температуропроводности.

Зависимость источника $\mathit{\gamma }$ необратимых деформаций в уравнении их изменения от термодинамической силы должна задаваться определяющими законами. Далее полагаем, что необратимые деформации p накапливаются в материале с начального момента деформирования и за счет вязких свойств материала (ползучесть), и за счет его пластических свойств (течение).

Для конкретизации диссипативного механизма, связанного с накоплением необратимых деформаций, необходимо задать скорость роста необратимых деформаций $\mathit{\gamma }$ в зависимости от напряжений. В случае, пока напряженное состояние не достигло поверхности нагружения, считаем $\mathit{\gamma }\mathbf{=}{\mathit{\epsilon }}^{\mathit{v}}$, т.е. что на данных стадиях процесса деформирования необратимые деформации производятся в форме деформаций ползучести. В области пластического течения $\mathit{\gamma }\mathbf{=}{\mathit{\epsilon }}^{\mathbf{p}}$, то есть источник совпадает с тензором скоростей пластических деформаций. Следовательно, в уравнениях изменения необратимые деформации не разделяются на свои составляющие. Их различие состоит в разных механизмах их накопления. В условиях накопления деформаций ползучести выберем классический степенной закон Нортона [21]

$\text{g}={\text{e}}^v=\frac{\partial V\left(\Sigma \right)}{\partial \text{s}}, V\left(\Sigma \right)=B{\Sigma }^n\left({\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3\right), \Sigma \Sigma =\max \left|{\sigma }_i-{\sigma }_j\right|.$ (2.8)

В соотношениях (2.8) V($\mathit{\sigma }$) – термодинамический потенциал; ${\mathit{\sigma }}_{\mathbf{1}}\mathbf{,}\mathbf{ }{\mathit{\sigma }}_{\mathbf{2}}\mathbf{,}\mathbf{ }{\mathit{\sigma }}_{\mathbf{3}}$ – главные значения тензора напряжений; B, n – параметры ползучести материала.

Выход напряженного состояния на поверхность нагружения приводит к появлению области пластического течения, на границе которой определяющий закон ползучести должен быть заменен на определяющий закон, основанный на законе пластического течения. На такой граничной поверхности напряжения и деформации непрерывны, при таком подходе непрерывны и скорости необратимых деформаций. Тогда скорости пластических деформаций связаны с напряжениями ассоциированным законом пластического течения [22, 23]

$y={\epsilon }^p-{\epsilon }^{{\nu }_0}=\phi \frac{\partial f\left(\sigma ,k\right)}{\partial \sigma }, f\left(\sigma ,y\right)=\mathrm{0,} \phi >0.$ (2.9)

Здесь ${\mathit{\epsilon }}^{\mathbf{v}\mathbf{0}}$ – тензор скоростей деформаций ползучести в момент начала пластического течения. Накопленные к началу пластического течения деформации ползучести и их скорости ${\mathit{\epsilon }}^{\mathbf{v}\mathbf{0}}$ являются начальными значениями для накапливающихся далее пластических деформаций.

В качестве поверхности нагружения принимаем условие пластичности Треска с учетом вязкого сопротивления пластическому течению [23]:

$f\left({\sigma }_i,y_k,k\right)=\max \left|{\sigma }_i-{\sigma }_j\right|-2k-2\eta \max \left|y_k\right|.$ (2.10)

В (2.10) y_k – главные значения тензора y, k – предел текучести, h – вязкость.

При температурном воздействии на материал от нее зависят и параметры материала. Для параметров ползучести B и n принимаем зависимости в форме [24]

$B=\frac{c_1}{{\sigma }_0^{n-1}}\exp \left(-\frac{Q}{R_u{T}_0\left(1+\theta \right)}\right), n=b_1+\frac{b_2}{T_0\left(1+\theta \right)}.$ (2.11)

В (2.11) c₁, s₀, b₁ и b₂ – постоянные материала, Q – энергия активации, R_u – универсальная газовая постоянная. Для предела текучести и коэффициента вязкости пластического течения будем использовать соотношения [25]

$k=k_0{\left(1-\theta {\theta }_m^{-1}\right)}^2, \eta ={\eta }_0\exp \left(-v{T}_0\theta \right), {\theta }_m=(T_m-T_0)T_0^{-1}.$ (2.12)

В (2.12) T_m – температура плавления деформируемого материала, k₀, h₀ – предел текучести и вязкость материала при комнатной температуре, v – экспоненциальная скорость.

Чтобы получить замкнутую систему уравнений квазистационарного неизотермического деформирования, к выписанным соотношениям необходимо добавить уравнения равновесия ∇$\mathit{\sigma }$ = 0.

3. Постановка задачи и деформирование до вязкопластического течения. Рассмотрим пробку длины l, которую образует несжимаемый упруговязкопластический материал в круглой трубе радиуса R с недеформируемыми стенками. Боковая поверхность пробки находится в условиях жесткого сцепления со стенками трубы, а верхняя поперечная граничная поверхность пробки нагружается переменным давлением. Задача в цилиндрической системе координат r, $\varphi$, z решается в классе функций $\theta$ = $\theta$(r, t), u = u_z(r, t), v =v_z(r, t), P₁ = P₁(r, z, t), где u и v – отличные от нуля компоненты векторов перемещений и скорости. Тогда на граничных поверхностях пробки z = u(r, t) и z = l + u(r, t) краевые условия имеют вид

${\sigma }_{zz}\left(\mathrm{0,}u\left(\mathrm{0,}t\right),t\right)=-p\left(t\right), {\sigma }_{zz}\left(\mathrm{0,}l+u\left(\mathrm{0,}t\right),t\right)=0,$ (3.1)

где r = 0 – координата максимального перемещения граничных точек пробки, p(t) – задаваемое давление. Согласно второму условию (3.1) принимается, что сопротивление продавливанию на свободном конце пробки при r = 0 отсутствует, хотя его можно задать и не равной нулю постоянной величиной. Условия сцепления на боковой поверхности пробки записываются в форме

${\left.u\right|}_{r=R}={\left.v\right|}_{r=R}=0.$ (3.2)

Функция p(t), задающая перепад давления, возрастает со временем с нулевого значения, и, пока напряженное состояние не достигло поверхности нагружения, необратимые деформации накапливаются в материале в результате медленного процесса ползучести. Необратимое деформирование приводит к разогреву материала, для его изменяющейся температуры принимаем условия:

$\theta \left(r\mathrm{,0}\right)=0, {\left.\frac{\partial \theta \left(r,t\right)}{\partial r}\right|}_{r=0}=\mathrm{0,} {\left.\frac{\partial \theta \left(r,t\right)}{\partial r}\right|}_{r=R}=0.$ (3.3)

Для отличных от нуля компонент тензора деформаций Альманси согласно (2.2) получим

$d_{rr}=-\frac{1}{2}{u^{\text{'}}}^2, d_{rz}=\frac{1}{2}{u}^{\text{'}}, u^{\text{'}}=\frac{\partial u}{\partial r}.$ (3.4)

Из условия (2.3) и зависимостей (3.4) следует, что в рассматриваемом случае антиплоского движения тепловое расширение в материале отсутствует, таким образом зависимости (2.3), (2.4) и (2.7) справедливы при a = 0.

Согласно соотношениям (2.4) и (2.6) для отличных от нуля компонент тензора напряжений получаем

${\sigma }_{\varphi \varphi }=-\left(P_1+2\mu \right)+2\left(\kappa -{\nu }_4\theta \right)\left(m_{rr}+m_{zz}\right)-2\left(\mu -{\nu }_4\theta \right)m_{rz}^2+{\nu }_1\theta -{\nu }_3{\theta }^2=-p_1,$

${\sigma }_{rz}=2\left(\mu -l_1\theta \right)m_{rz}, {\sigma }_{rr}=-p_1+2\left(\mu -l_1\theta \right)m_{rr}+\left(3\mu +l_1\theta \right)m_{rz}^2,$

${\sigma }_{zz}=-p_1+2\left(\mu -l_1\theta \right)m_{zz}+\left(3\mu +l_1\theta \right)m_{rz}^2, l_1={\nu }_1+{\nu }_5.$ (3.5)

Данные соотношения записаны с точностью до слагаемых первого порядка малости по компонентам обратимых деформаций m_rr и m_zz и второго – по компоненте m_rz [16–19].

Уравнения равновесия в рассматриваемом случае принимают форму

$\frac{\partial {\sigma }_{rr}}{\partial r}+\frac{\partial {\sigma }_{rz}}{\partial z}+\frac{{\sigma }_{rr}-{\sigma }_{\varphi \varphi }}{r}=\mathrm{0,} \frac{\partial {\sigma }_{rz}}{\partial r}+\frac{\partial {\sigma }_{zz}}{\partial z}+\frac{{\sigma }_{rz}}{r}=0.$ (3.6)

Интегрируя второе уравнение (3.6) с учетом зависимостей для напряжений (3.5), получаем

$\begin{array}{cc}{p}_1=c\left(t\right)z+p_0\left(r,t\right),& {\sigma }_{rz}=\frac{c\left(t\right)r}{2}+\frac{c_1\left(t\right)}{r}\end{array}.$ (3.7)

Из первой формулы (3.7) следует, что p₁ является линейной функцией координаты z. Функцию интегрирования c₁(t) полагаем равной нулю, чтобы напряжение s_rz имело конечное значение при r = 0, c₁(t) найдем из граничных условий (3.1). Тогда компонента s_rz тензора напряжений принимает окончательный вид

${\sigma }_{rz}=-\frac{pr}{2l}, p=p\left(t\right).$ (3.8)

Потенциал ползучести (2.8) перепишем в следующей форме V($\sigma$_ij) = B(($\sigma$_rr - - $\sigma$_zz)² + 4$\sigma$_rz$\sigma$_rz)^n/2. Ограничимся в нем слагаемыми до порядка n по напряжениям, тогда для скоростей деформаций ползучести из (2.8), (3.5) и (3.8) найдем

${\epsilon }_{rz}^v=-Bn{\left(\frac{pr}{l}\right)}^{n-1}, {\epsilon }_{rr}^v=-{\epsilon }_{zz}^v=\frac{{\epsilon }_{rz}^v}{2}\frac{m_{rr}-m_{zz}}{m_{rz}}.$ (3.9)

Уравнение теплопроводности (2.7) при учете соотношений (3.5), (3.8) и (3.9) примет форму

$\left(1+{\beta }_1\theta +\frac{{\beta }_3{l}_1{p}^2{r}^2}{8l^2\text{}{\left(\mu -l_1\theta \right)}^3}\right)\frac{\partial \theta }{\partial t}+\frac{{\beta }_{3}p{r}^2}{8l^2{\left(\mu -l_1\theta \right)}^2}\frac{\partial p}{\partial t}=q\left(\frac{{\partial }^2\theta }{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial \theta }{\partial r}\right)-\frac{Bn}{2{\nu }_2}{\left(\frac{pr}{l}\right)}^n.$ (3.10)

Дифференциальное уравнение в частных производных (3.10) при условии зависимости параметров ползучести материала от температуры (2.11) и начальном и граничных условиях для температуры (3.3) решено численно.

Кинематика среды в рассматриваемом случае описывается зависимостями, следующими из соотношений (2.1), (2.2):

$\begin{array}{c}{\epsilon }_{rz}=\frac{d{d}_{rz}}{dt}=\frac{\partial d_{rz}}{\partial t}=\frac{1}{2}{v}^{\text{'}}={\epsilon }_{rz}^e+{\gamma }_{rz}=\frac{\partial m_{rz}}{\partial t}+\frac{\partial p_{rz}}{\partial t},\\ x_{rz}=-x_{zr}=\frac{2{\epsilon }_{rz}\left(1-m_{zz}\right)}{m_{rr}+m_{zz}-2},{\gamma }_{rr}=\frac{d{p}_{rr}}{dt}+2p_{rz}\left(r_{zr}+{\gamma }_{rz}\right),\\ {\gamma }_{zz}=\frac{d{p}_{zz}}{dt}+2p_{rz}\left(r_{rz}+{\gamma }_{rz}\right),{\gamma }_{rr}=-{\gamma }_{zz}=\frac{{\gamma }_{rz}}{2}\frac{m_{rr}-m_{zz}}{m_{rz}},\end{array}$ (3.11)

в которых скорости необратимых деформаций равны скоростям деформаций ползучести: $\gamma$_rr = $\epsilon$_r^v_r, $\gamma$_rz = $\epsilon$_r^v_z и $\gamma$_zz = $\epsilon$_z^v_z.

Из соотношений (3.5), (3.8), (3.9) и (3.11) найдем компоненты тензоров обратимых и необратимых деформаций m_rz и p_rz:

$\begin{array}{cc}{m}_{rz}=-\frac{pr}{4l\left(\mu -l_1\theta \right)},& p_{rz}=-\underset{0}{\overset{t}{\int }}Bn{\left(\frac{pr}{l}\right)}^{n-1}\text{}dt\end{array}.$ (3.12)

Для градиента перемещений точек материала пробки из (3.11) получаем

$u^{\text{'}}=2(m_{rz}+p_{rz}).$ (3.13)

Перемещения точек материала пробки находятся интегрированием уравнения (3.13) с учетом граничного условия (3.2).

Для компонент обратимых деформаций m_rr, m_zz и необратимых деформаций p_rr, p_zz из кинематических зависимостей (3.11) следует система уравнений

$\frac{\partial p_{zz}}{\partial t}={\gamma }_{rz}\left(m_{rz}-\frac{p_{zz}}{m_{rz}}\right)+\frac{4\left({\epsilon }_{rz}^e+{\gamma }_{rz}\right)p_{rz}}{2+m_{rz}^2}\left(1+p_{zz}-\frac{m_{rz}^2}{2}-2m_{rz}{p}_{rz}\right),$

$p_{rr}=-p_{zz}-2p_{rz}^2, m_{zz}=-p_{zz}+\frac{m_{rz}^2}{2}+2m_{rz}{p}_{rz}, m_{rr}=-m_{zz}-m_{rz}^2.$ (3.14)

Интегрируя первое уравнение равновесия (3.6) с учетом граничных условий (3.1) и соотношений (3.5), получим зависимости, связывающие компоненты тензора напряжений и найденные ранее распределения температуры, перемещений и компоненты обратимых деформаций

$\begin{array}{c}{\sigma }_{zz}=\frac{p}{l}\left(z-l-u\left(\mathrm{0,}t\right)\right)-\underset{0}{\overset{r}{\int }}\frac{2\left(\mu -l_1\theta \right)m_{rr}+\left(3\mu +l_1\theta \right)m_{rz}^2}{r}dr+\\ +2\left(\mu -l_1\theta \right)\left(m_{zz}-m_{rr}\right)-2\left(\mu -l_1\theta \left(\mathrm{0,}t\right)\right)\left(m_{zz}\left(\mathrm{0,}t\right)-m_{rr}\left(\mathrm{0,}t\right)\right),\\ {\sigma }_{rr}={\sigma }_{zz}+2\left(\mu -l_1\theta \right)\left(m_{rr}-m_{zz}\right),\\ {\sigma }_{\varphi \varphi }=-p_1={\sigma }_{zz}-2\left(\mu -l_1\theta \right)m_{zz}-\left(3\mu +l_1\theta \right)m_{rz}^2.\end{array}$ (3.15)

Найденное решение неизотермической краевой задачи при возрастающем перепаде давления остается справедливым до момента времени t₁, в который на боковой границе пробки r = R впервые выполнится условие пластического течения (2.10) в следующем виде

${\left.\left|{\sigma }_{rz}\right|\right|}_{r=R}=k\left(t_1\right),$

в котором предел текучести зависит от температуры (первая формула (2.12)). Из уравнения p(t₁)R = 2lk(t₁) находится момент начала течения t₁.

4. Вязкопластическое течение материала при возрастающем и постоянном перепаде давления. Начиная с момента времени t₁ в материале развивается область вязкопластического течения m(t) ≤ r ≤R. Движущаяся граница r = m(t) отделяет расширяющуюся область течения от сужающейся области 0 ≤ r ≤ m(t), в которой материал продолжает накапливать необратимые деформации ползучести. Зависимости (3.5) для компонент тензора напряжений выполняются и в вязкоупругой области 0 ≤ r ≤ m(t), и в области вязкопластического течения m(t) ≤ r ≤ R, следовательно в обеих областях остается справедливым соотношение (3.8) для компоненты тензора напряжений s_rz.

В вязкоупругой области 0 ≤ r ≤ m(t) скорости деформаций ползучести имеют вид (3.9), а уравнение теплопроводности – (3.10).

Из ассоциированного закона пластического течения (2.9) следует, что условие пластичности (2.10) в рассматриваемом случае ($\sigma$_rz < 0, $\epsilon$_r^p_z < 0) записывается в форме

${\sigma }_{rz}=-k+\eta \left({\epsilon }_{rz}^p-{\epsilon }_{rz}^{v_0}\right).$ (4.1)

Используя соотношение (3.8), выразим из (4.1) компоненту тензора скоростей пластических деформаций $\epsilon$_r^p_z

${\epsilon }_{rz}^p=\frac{1}{\eta }\left(k-\frac{pr}{2l}\right)+{\epsilon }_{rz}^{v_0}.$ (4.2)

Компонента тензора скоростей деформаций ползучести $\epsilon$_rz^v0 в точке в момент достижения ее упругопластической границей в текущий момент времени t вычисляется по формуле

${\epsilon }_{rz}^{v_0}=-Bn{\left(\frac{pm}{l}\right)}^{n-1}.$ (4.3)

Из предположения о непрерывности скоростей необратимых деформаций на границе r = m(t), разделяющей области с разными механизмами накопления необратимых деформаций следует уравнение

$\frac{pm}{2l}=k_0{\left(1-\frac{\theta \left(m,t\right)}{{\theta }_m}\right)}^2,$ (4.4)

из которого определяется положение границы r = m(t) в каждый момент времени.

Уравнение теплопроводности (2.7) в области вязкопластического течения m(t) ≤ r ≤ R с учетом зависимостей (3.5) и (4.2) принимает вид

$\begin{array}{c}\left(1+{\beta }_1\theta +\frac{{\beta }_3{l}_1{p}^2{r}^2}{8l^2{\left(\mu -l_1\theta \right)}^3}\right)\frac{\partial \theta }{\partial t}+\frac{{\beta }_{3}p{r}^2}{8l^2{\left(\mu -l_1\theta \right)}^2}\frac{\partial p}{\partial t}=\\ =q\left(\frac{{\partial }^2\theta }{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial \theta }{\partial r}\right)+\frac{pr}{2l{\nu }_2}\left(\frac{1}{\eta }\left(k-\frac{pr}{2l}\right)+{\epsilon }_{rz}^{v_0}\right).\end{array}$ (4.5)

Уравнения теплопроводности (3.10) и (4.5), а также уравнения (4.3) и (4.4) составляют систему уравнений относительно неизвестных функций: $\theta$ в областях 0 ≤ r ≤ m(t) и m(t) ≤ r ≤ R, m(t) и $\epsilon$_rz^v0. Для решения этой системы необходимы граничные условия для температуры (3.3), начальные условия m(t₂) = R и $\epsilon$_rz^v0 (R) = -B(t₂)n(t₂)(p(t₂)R/l)^{n(t2) -1}, условия непрерывности функции q и ее производной ∂q/∂r на границе r = m(t) и условия непрерывности температуры в момент начала вязкопластического течения t₁. Данная система уравнений решена с использованием разработанного на основе конечно-разностного метода алгоритма.

Для описания кинематики среды используются соотношения (3.11), в которых ${\gamma }_{rr}={\epsilon }_{rr}^v$, ${\gamma }_{rz}={\epsilon }_{rz}^v$ и ${\gamma }_{zz}={\epsilon }_{zz}^v$ в вязкоупругой области 0 ≤ r ≤ m(t) и ${\gamma }_{rr}={\epsilon }_{rr}^p$, ${\gamma }_{rz}={\epsilon }_{rz}^p$ и ${\gamma }_{zz}={\epsilon }_{zz}^p$ в области вязкопластического течения $m\left(t\right)\le r\le R.$

Для компоненты тензора обратимых деформаций m_rz справедлива первая формула (3.12) в областях 0 ≤ r ≤ m(t) и m(t) ≤ r ≤ R. Компонента тензора необратимых деформаций p_rz в области 0 ≤ r ≤ m(t) вычисляется по второй формуле (3.12), а в области течения m(t) ≤ r ≤ R является решением дифференциального уравнения, следующего из (3.11) и (4.2),

$\frac{\partial p_{rz}}{\partial t}=\frac{1}{\eta }\left(k-\frac{pr}{2l}\right)+{\epsilon }_{rz}^{v_0}.$ (4.6)

При решении этого уравнения используется условие непрерывности компоненты необратимых деформаций p_rz в момент времени t₁. Перемещения точек материала находятся интегрированием уравнения (3.13) с использованием условия непрерывности перемещений на границе r = m(t) и граничного условия (3.2). Компоненты обратимых деформаций m_rr, m_zz и необратимых деформаций p_rr, p_zz вычисляются из системы уравнений (3.14) при $\gamma$_rz = $\epsilon$_r^v_z в области 0 ≤ r ≤ m(t) и $\gamma$_rz = $\epsilon$ _r^p_z в области m(t) ≤ r ≤ R. Напряжения в области 0 ≤ r ≤ m(t) находятся из зависимостей (3.15). Эти же соотношения справедливы и для напряжений в области течения m(t) ≤ r ≤ R, что следует из условия непрерывности напряжений на границе r = m(t).

Пусть в некоторый момент времени t₂ > t₁ перепад давления на граничных поверхностях пробки становится постоянным, равным p(t₂). Такое изменение режима нагружения приводит к тому, что положение границы r = m(t) перестает изменяться. Области вязкоупругого деформирования 0 ≤ r ≤ m(t) и вязкопластического течения m(t) ≤ r ≤ R теперь не изменяют своих размеров, но необратимые деформации по-прежнему продолжают в них накапливаться. Все соотношения данного раздела продолжают выполняться и в данном случае. Только в уравнениях теплопроводности (3.10) и (4.5) нужно учитывать, что ∂p/∂t = 0.

5. Течение при убывающем перепаде давления. Разгрузка среды и остывание. Далее в некоторый момент времени t₃ > t₂ начнем уменьшать давление p(t). С этого момента времени от неподвижной поверхности r = m(t₃) к границе пробки r = R движется новая граница r = m₁(t), которая разделяет уменьшающуюся область вязкопластического течения m₁(t) ≤ r ≤ R и область m(t₃) ≤ r ≤ m₁(t) с накопленными необратимыми пластическими деформациями. В слоях m(t₃) ≤ r ≤ m₁(t) и 0 ≤ r ≤ m(t₃) необратимые деформации теперь накапливаются в результате процесса ползучести, поэтому их можно рассматривать как одну область 0 ≤ r ≤ m₁(t).

Компоненты тензора напряжений во всех областях деформирования удовлетворяют соотношениям (3.5). Из уравнений равновесия (3.6) с учетом условия непрерывности напряжений, получим, что для компоненты s_rz остается справедливой зависимость (3.8) во всех областях. В области 0 ≤ r ≤ m₁(t) скорости деформаций ползучести имеют вид (3.9). Компонента скорости необратимых деформаций $\epsilon$_r^p_z в области вязкопластического течения m₁(t) ≤ r ≤ R вычисляется по формуле (4.2). Уравнение теплопроводности имеет вид (3.10) в вязкоупругой области 0 ≤ r ≤ m₁(t) и (4.5) в области течения m₁(t) ≤ r ≤ R.

Из условия непрерывности скоростей необратимых деформаций на границе r = m₁(t) следует уравнение для определения ее положения

$\frac{1}{\eta }\left(k_0{\left(1-\frac{\theta \left(m_1,t\right)}{{\theta }_m}\right)}^2-\frac{p{m}_1}{2l}\right)+{\epsilon }_{rz}^{v_0}\left(m_1\right)=-Bn{\left(\frac{p{m}_1}{l}\right)}^{n-1}.$ (5.1)

В уравнении (5.1) $\epsilon$_rz^v0(r) является известной функцией, вычисленной на предыдущих этапах задачи.

Система уравнений (3.10), (4.5) и (5.1) относительно неизвестных функций m₁(t) и $\theta$ в областях 0 ≤ r ≤ m₁(t) и m₁(t) ≤ r ≤ R также решена численно с помощью разработанного алгоритма. При ее решении использовались граничные условия (3.3), начальное условие m₁(t₃) = m(t₃), условия непрерывности функции $\theta$ и ее производной ∂q/∂r на границе r = m₁(t) и непрерывность температуры $\theta$ в момент времени t₃.

В обеих областях деформирования компонента m_rz удовлетворяет первой зависимости (3.12). В вязкоупругой области 0 ≤ r ≤ m₁(t) компонента p_rz вычисляется по второй формуле (3.12), а в области течения m₁(t) ≤ r ≤ R находится интегрированием уравнения (4.6). Интегрируя уравнение (3.13) в обеих областях с учетом граничного условия жесткого сцепления и условия непрерывности перемещений на границе r = m₁(t), найдем перемещения точек деформируемого материала.

Компоненты тензора обратимых деформаций m_rr , m_zz и необратимых деформаций p_rr, p_zz в обеих областях определяются из системы уравнений (3.14) при $\gamma$_rz = $\epsilon$_r^v_z в области 0 ≤ r ≤ m₁(t) и $\gamma$_rz = $\epsilon$_r^p_z в области m₁(t) ≤ r ≤ R. Компоненты тензора напряжений вычисляются из соотношений (3.15) при условии их непрерывности на границе r = m₁(t).

В расчетный момент времени t₄ > t₃ поверхность r = m₁(t) достигает границы пробки r = R. С этого момента времени вязкопластическое течение в материале прекращается, а накопление необратимых деформаций теперь происходит только за счет ползучести. Во всем слое уравнение теплопроводности принимает форму (3.10), для компонент m_rz и p_rz справедливы уравнения (3.12), перемещения вычисляются из дифференциального уравнения (3.13). Остальные обратимые и необратимые деформации вычисляются из системы уравнений (3.14), в которой g_rz = $\epsilon$_r^v_z. Для напряжений остаются справедливыми зависимости (3.15).

В момент времени t₅, вычисляемый из уравнения p(t₅) = 0, перепад давления становится равным нулю. Также становятся равными нулю компонента обратимых деформаций m_rz и компонента напряжений $\sigma$_rz, а остальные компоненты тензора напряжений перестают зависеть от координаты z. С момента времени t₅ уравнение теплопроводности принимает форму

$\left(1+{\beta }_1\theta \right)\frac{\partial \theta }{\partial t}=q\left(\frac{{\partial }^2\theta }{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial \theta }{\partial r}\right).$ (5.2)

Чтобы задать остывание материала пробки, вместо граничных условий (3.3) принимаем условия

${\left.\frac{\partial \theta \left(r,t\right)}{\partial r}\right|}_{r=0}\text{}=0, {\left.\left(\delta {\theta }^{\text{'}}+h\theta \right)\right|}_{r=R}=0,$ (5.3)

в которых $\delta$ и h – коэффициент теплопроводности и коэффициент теплоотдачи материала соответственно.

Уравнение (5.2) с граничными условиями (5.3) и начальным условием непрерывности температуры в момент времени t₅ решается численно. С течением времени материал полностью остывает.

Расчеты проводились в безразмерных переменных r/R и t = a₁t/m со следующей функцией p(t)

$p\left(t\right)=\left\{\begin{array}{l}{\alpha }_{1}t, 0\le t<t_2 \begin{array}{}\end{array}\\ {\alpha }_1{t}_2, t_2\le t<t_3\\ {\alpha }_1{t}_2-{\alpha }_2\left(t-t_3\right), t_3\le t<t_5, t_5={\alpha }_1{\alpha }_2^{-1}{t}_2+t_3 \begin{array}{}\end{array}\end{array}\right.$

при значениях безразмерных постоянных: $\beta$₁ = -2.772, $\beta$₃ = -10, k₀m^-1 = = 2.298 × 10^-3, q_m = 2.074, l₁m^-1 = 0.452, lR ^-1 = 5, gma₁^-1R^-2 = 2.638 ×10⁴, n₂m^-1 = 80, b₁ = 2.518, b₂T₀^-1 = 1.48, c₁ma₁^-1 = 4.887 × 10⁴, s₀m^-1 = 7.199 × 10^-6, QR_u^-1T₀^-1 = 52.37, vT₀ = 1.212, a₂a₁^-1 = 2, hR$\delta$^-1, hR$\delta$^-1 = 0.01.

На рис. 1 изображены графики изменения границ области вязкопластического течения в зависимости от безразмерного времени t: $\tilde{m}=m/R$ в интервале от t₁ = 0.023 до t₃ = 0.027 и $\tilde{m}=m_1/R$ в интервале от t₃ до t₄ = 0.028. Из графика видно, что в интервале от t₂ = 0.025 до t₃, соответствующем постоянному перепаду давления, изменения границы области течения не происходит. С момента времени t₃ от границы m(t₃)/R в обратном направлении движется граница m₁(t)/R, которая в момент времени t₄ достигает границы r = R и течение в материале прекращается.

 

Рис. 1. График границы области вязкопластического течения в зависимости от времени.

 

На рис. 2 показаны графики зависимости безразмерной температуры q от радиуса в моменты времени t₂ (рис. 2, a) и t₄ (рис. 2, b). Из сравнения графиков следует, что при уменьшении перепада давления температура в материале снижается.

 

Рис. 2. Распределение температуры в материале пробки в моменты времени ${\tau }_{2 }и {\tau }_4$.

 

Рис. 3 иллюстрирует графики перемещений u/R в зависимости от радиуса r/R в моменты времени t₁, t₂, t₃, t₄ и t₅ = 0.0395. Все моменты времени, кроме последнего, демонстрируют увеличение перемещений, тогда как в последний момент времени t₅, соответствующий нулевому перепаду давления, перемещения снижаются за счет исчезновения обратимых деформаций.

 

Рис. 3. Распределение перемещений в разные моменты времени.

 

На рис. 4 представлены распределения компоненты тензора необратимых деформаций p_rz по материалу пробки в моменты времени t₂,

 

Рис. 4. Распределение компоненты необратимых деформаций p_rz в разные моменты времени.

 

t₃ и t₄. На рис. 5 приведены распределения остаточных напряжений ${\tilde{\sigma }}_{rr}={\sigma }_{rr}/\mu$, ${\tilde{\sigma }}_{\varphi \varphi }={\sigma }_{\varphi \varphi }/\mu$ и ${\tilde{\sigma }}_{zz}={\sigma }_{zz}/\mu$ в материале пробки.

 

Рис. 5. Остаточные напряжения в материале.

 

6. Заключение. В данной статье получено решение связанной краевой задачи теории больших упругопластических деформаций о неизотермическом деформировании пробки конечной длины в круглой недеформируемой трубе под действием перепада давления, сначала возрастающего с течением времени, затем постоянного и далее убывающего до нуля. Необратимые деформации в материале накапливаются в результате процессов ползучести и вязкопластического течения. Разогрев материала происходит только за счет процессов необратимого деформирования, так как материал пробки имеет жесткое сцепление со стенками трубы, то есть отсутствует трение материала о границу, и нет дополнительного притока тепла извне. При таких условиях в квазистатическом приближении нагрев материала ожидаемо оказывается незначительным, однако даже такое изменение температуры сказывается на всех характеристиках напряженно-деформированного состояния рассматриваемого материала. Также интересным оказывается эффект снижения температуры в процессе торможения вязкопластического течения при уменьшении нагружающего давления, хотя необратимые пластические деформации и деформации ползучести при этом продолжают накапливаться.

Разработка математической модели выполнена в рамках государственных заданий ИАПУ ДВО РАН (темы № FWFW-2021-0005, FWFW-2022-0002), конечно-разностная схема и численные расчеты получены при поддержке РНФ (проект № 22-11-00163).

 

作者简介

L. Kovtanyuk

Institute of Automation and Control Processes FEB RAS; Institute of Machinery and Metallurgy FEB RAS

编辑信件的主要联系方式.
Email: lk@iacp.dvo.ru
俄罗斯联邦, Vladivostok; Komsomolsk-on-Amur

G. Panchenko

Institute of Automation and Control Processes FEB RAS; Institute of Machinery and Metallurgy FEB RAS

Email: panchenko@iacp.dvo.ru
俄罗斯联邦, Vladivostok; Komsomolsk-on-Amur

E. Popova

Institute of Automation and Control Processes FEB RAS

Email: polenao@bk.ru
俄罗斯联邦, Vladivostok

参考

补充文件