On the assembly of a hot-fit elastic-viscoplastic disk with a non-circular inclusion

全文:

Введение. В машиностроении в числе технологий сборки с натягом [1] остается востребованной операция горячей посадки цилиндрических деталей. Данная технологическая операция простая в своём производстве: холодную охватываемую деталь помещают в предварительно нагретую охватывающую (радиус цилиндрических деталей назначают заранее) и предоставляют возможность собранной конструкции остыть до комнатной температуры. Итогом является достаточно прочное соединение, удовлетворяющее назначенным функциональном требованиям. Технологическая операция горячей посадки таким способом полностью определятся процессом теплопроводности, выравнивающим распределение температуры по элементам соединения, доводя ее до однородно распределенной комнатной температуры. В любой момент времени проведения операции посадки уровень и распределение температуры по формирующейся конструкции задают в ней соответствующее распределение температурных напряжений. Когда температура по сборке выравнивается и отпускается до комнатной, достигнутый уровень температурных напряжений в деталях сборки задает натяг в ней, определяя таким способом прочностные и иные функциональные качества собранной конструкции.

Краевую задачу теории неустановившихся температурных напряжений [2] моделирующую процесс горячей посадки называем задачей Гадолина [3–6], тем самым подчеркивая определяющую роль академика А.В. Гадолина в постановке данной проблемы применительно к сборке двухслойных стволов артиллерийских орудий [7].

Задача Гадолина является задачей расчета термомеханического процесса. Обычно [8] такой расчет производится последовательными шагами по времени, на каждом шаге которого разрешается задача о состоянии конструкции, то есть рассчитывается напряженно-деформированное состояние элементов в зависимости от достигнутого распределения температуры. Рассчитать такие состояния, особенно учитывая неизбежно возникающие области необратимого деформирования, бывает не просто [9–12]. Аналитическим расчетам в таких случаях способствует использование [3, 8, 13–15] кусочно-линейных пластических потенциалов, то есть классических условий пластичности максимальных касательных напряжений (условие Треска–Сен-Венана) или максимальных приведенных напряжений (условие Ишлинского–Ивлева) [16, 17].

Гладкое условие пластического течения максимальных октаэдрических напряжений (условие Мизиса [16, 17]) в качестве средств вычислений температурных напряжений в исследуемый момент времени заставляет обращаться к приближенным численным методам. Последние используются часто также выборе условий пластичности Треска–Сен-Венана. Укажем некоторые публикации [18-21] разрешающие приближенным численным способом преимущественно одномерные задачи, включая задачу Гадолина о горячей посадке. Однако кусочно-линейные пластические потенциалы, помогающие аналитически рассчитать в зафиксированный момент времени температурные напряжения, несут в себе иную сложность. В условиях использования в расчетах данных потенциалов пластическая область разбивается на части [3, 5, 15, 22], где пластическое (вязкопластическое) течение подчинено различным системам уравнений в зависимости от соответствия напряжений разным граням или ребрам призм Треска или Ивлева [16, 17] в пространстве главных напряжений. Число подобластей в таком разделении может быть несколько; с возникновением повторных пластических течений [3, 23] число это только возрастает. В расчетах температурных напряжений в рамках одномерных задач Гадолина [3, 8, 14, 22–24] имеется возможность алгоритмически отследить моменты зарождения разных областей течения, их развитие с возможным делением, затухание и схлопывание. При решении задач теории температурных напряжений, отличных от одномерных, алгоритмически проследить за эволюцией различных областей пластических течений практически невозможно. Использование в расчетах гладкого условия пластичности Мизеса оказывается здесь приемлемой альтернативой [6, 9, 24], так как в этом случае разделения области пластичности не происходит. В [6] сравниваются результаты расчетов, полученные с использованием классических условий пластического течения, максимальных касательных и максимальных октаэдрических напряжений.

Граничные условия неодномерных краевых задач теории неустановившихся температурных напряжений могут включать разрывы на граничных поверхностях задаваемых функций [6, 24]. Очевидно, что в процессе расчетов от такой сингулярности следует избавиться. Иначе [24] следует даже качественно ошибочный результат. Здесь рассматривается еще один вид сингулярности в задаваемых граничных условиях и указывается возможный способ избавления от такой особенности.

1. Постановка задачи. Исходные зависимости модели. Принимаем, что круглое тонкое кольцо с внешним радиусом r = R₁ и внутренним r = R₂ насаживается на тонкую пластину (рис. 1), две кромки которой AB и CD прямолинейны, а две другие $\stackrel{⏜}{AC} и \stackrel{⏜}{BD}$ являются дугами окружности радиуса r = R₃. Таким образом сегменты АМВ и СND (рис. 1) материалом не заполнены. Пластинку АВDC считаем металлической с известными термомеханическими свойствами и называем далее охватываемой деталью сборки (I – рис. 1). Кольцо (II – рис. 1) также считаем изготовленным из металла, отличного от металла охватываемой детали I, и называем охватывающей деталью сборки. Последняя нагревается до некоторой достаточно высокой однородной температуры $T=T_{*}$, после чего в неё помещается охватываемая деталь I. Начало процесса посадки связываем с совпадением размеров R₂ = R₃ = R. При должном назначении R₂ и R₃ данное совпадение происходит достаточно быстро.

 

Рис. 1. Геометрия сборки.

 

Целью расчетов считаем указание распределения изменяющихся температурных напряжений в элементах сборки во все последующие времена t > 0 технологической операции, включая распределение остаточных напряжений после остывания собранной конструкции до комнатной температуры.

Принимаем следующие допущения: материалы деталей сборки считаем упруговязкопластическими, пренебрегая упрочнением их в условиях возможного вязкопластического течения; пренебрегаем связанностью процессов деформирования и теплопроизводства, считая прирост тепла за счет деформирования пренебрежительно малым в сравнении с теплом, нагревшим изначально охватывающее кольцо до температуры T_* . Принятые допущения позволяют провести расчеты в рамках теории неустановившихся температурных напряжений, то есть в рамках несвязанной теории.

Деформации полагаются малыми, массовыми силами пренебрегается. Используется квазистатический подход, то есть силы инерции не учитываются. Тогда следствием законов сохранения является соотношения

 $\nabla \sigma =\mathrm{0,}$ (1.1)

 $\rho \frac{d\xi }{dt}+\mathrm{div}q=\sigma \cdot \epsilon \text{\hspace{0.17em},}$ (1.2)

$\epsilon =\frac{1}{2}\left(\nabla \nu +{\nabla }^T\text{}\nu \right),\nu =\frac{du}{dt}=\frac{\partial u}{\partial t}.$

В уравнении равновесия (1.1) $\sigma$ – тензор напряжений. В уравнении баланса внутренней энергии (1.2) $\rho$ – плотность; $\xi$ – плотность распределения внутренней энергии; $u, v, q$ – векторы перемещений, скоростей и потока тепла; $\xi$ – тензор скоростей деформации Эйлера, t – текущее время.

Тензор малых деформаций разделяется на обратимую и необратимую (пластическую) составляющие

 $\text{d\hspace{0.33em}}=\frac{1}{2}\left(\nabla u+{\nabla }^{T}u\right)=e+p.$  (1.3)

Функцию $\xi (d,s)$, где s – плотность распределения энтропии, принимаем в качестве термодинамического потенциала, для которого $\partial \xi /\partial s=T$ – температура. Введем иной термодинамический потенциал $\psi (d,T)=\xi (d,T)-sT$, называемый свободной энергией. Принимаем, что плотность распределения свободной энергии не зависит от необратимых деформаций: $\psi =\psi (e,T)$. Это позволяет разделить консервативную и диссипативную составляющие процесса деформирования так, что из (1.2) и (1.3) следует [26]

$\sigma =\rho \frac{\partial \psi \left(e,T\right)}{\partial e},$ (1.4)

$\frac{\partial \left(\rho s\right)}{\partial t}=-\text{\hspace{0.17em}divJ}-\frac{1}{T^2}q\nabla T+\frac{1}{T}\sigma \cdot {\epsilon }^p,$ (1.5)

  $J=\rho sn+\frac{1}{T}q,{\epsilon }^p=\frac{dp}{dt}=\frac{\partial p}{\partial t},{\epsilon }^p+{\text{\hspace{0.33em}ε\hspace{0.17em}}}^e=\text{\hspace{0.33em}\hspace{0.17em}ε\hspace{0.17em}.}$

Здесь J – вектор потока энтропии, ${\epsilon }^p$ – тензор скоростей пластических деформаций. Полагая материалы сопрягаемых элементов сборки изотропными и принимая простейшую (квадратную) зависимость для $\psi (e,T)$ от инвариантов тензора e из (1.4) получим соотношения закона Дюамеля–Неймана

$\text{σ\hspace{0.33em}}=\left(\lambda \text{\hspace{0.17em}tr\hspace{0.17em}e}+3\alpha T_{0}K\theta \right)\text{\hspace{0.33em}I}+2\mu e,$  (1.6)

,$\theta =T_0^{-1}\left(T-T_0\right)K=\lambda +\frac{2}{3}\mu .$

В (1.6) T₀ – температура свободного состояния (комнатная температура) материалов элементов сборки;$\lambda , \mu , K$– упругие постоянные, параметры Ламе и модуль всестороннего сжатия, a – коэффициент линейного температурного расширения, I – единичный тензор.

Если в качестве закона теплопроводности принять линейный закон Фурье с постоянным коэффициентом тепловодности, то из уравнения баланса энтропии (1.5) следует уравнение теплопроводности в форме

$\frac{\partial \theta }{\partial t}=a\Delta \theta -\frac{1}{c{T}_0}\left(\nu {\text{\hspace{0.17em}tr\hspace{0.17em}ε}}^e-\sigma \cdot {\text{\hspace{0.33em}ε}}^p\right)+w\left(x,t\right).$ (1.7)

Здесь $a, v, c$ – коэффициенты температуропроводности, связанности и удельная теплоемкость; $w\left(x,t\right)$ – возможные распределенные источники тепла в деформируемом теле (x – радиус вектор места действия источника тепла). Принятые допущения позволяют не учитывать в (1.7) источники тепла, производимого за счет деформирования, поэтому далее используется уравнение теплопроводности в форме

$\frac{\partial \theta }{\partial t}=a\Delta \theta +w\left(x,t\right).$ (1.8)

Вязкопластическое течение в материалах деталей сборки происходит в условиях соответствия напряжений уравнению поверхности нагружения $f(\sigma ,k)$ = 0 в пространстве напряжений. При принятии условий принципа максимума Мизеса или постулата Драккера [16] имеем ассоциированный с поверхностью нагружения закон пластического течения

$\epsilon \begin{array}{cc}{}^p=\zeta \frac{\partial f\left(\sigma ,k\right)}{\partial \sigma },\zeta >0.& \end{array}$ (1.9)

В качестве уравнения поверхности нагружения в пространстве напряжений (условия вязкопластического течения) принимаем следующее обобщение условия пластичности Мизеса [17]

$f\left(\sigma ,k\right)=\sqrt{\frac{3}{2}\left(\tau -\eta {\text{\hspace{0.17em}ε}}^p\right)\cdot \cdot \left(\tau -\eta {\epsilon }^p\right)}-k=0.$ (1.10)

Из (1.9) и (1.10) следует

$\begin{array}{cc}\xi =\frac{1}{\eta }\left(\frac{1}{2k}{\Sigma }^2-1\right),& {\Sigma }^2=\frac{3}{2}\tau \cdot \cdot \text{\hspace{0.33em}τ,}\\ {\epsilon }^p=\frac{1}{\eta }\frac{\Sigma -k}{\Sigma }\tau ,& \text{τ\hspace{0.33em}}=\text{\hspace{0.33em}σ\hspace{0.33em}\hspace{0.17em}}-\frac{1}{3}\text{tr\hspace{0.17em}σ.}\end{array}$ (1.11)

В (1.9)–(1.11) $k=k\left(\theta \right)$ – предел текучести в опытах на одноосное растяжение при $\theta = const$. Из-за зависимости от местной температуры в разных точках сопрягаемых деталей предел текучести принимает разные значения. Начало вязкопластического течения$({\epsilon }^p \ne 0)$ в точках сборки связано с достижением напряженными состояниями поверхности нагружения. Такой начальной поверхностью в пространстве главных напряжений ${\sigma }_j$ оказывается боковая поверхность наклонного цилиндра Мизеса [16], образующие которого параллельны гидростатической оси: ${\sigma }_1={\sigma }_2={\sigma }_3$. Обобщение классического условия пластичности связываем с учетом вязкого сопротивления, считая $\eta = const$ коэффициентом такой вязкости.

Зависимость предела текучести от температуры $k = k\left(\theta \right)$ конкретизируем далее в форме

$\begin{array}{ccc}k=k\left(\theta \right)=k_{0}y,& y={\left(\frac{{\theta }_p-\theta }{{\theta }_p}\right)}^2\text{},& {\theta }_p=\frac{T_p-T}{T_p}\end{array}.$ (1.12)

Здесь T_p – температура плавления, наименьшая из температур плавления материалов деталей, участвующих в сборке.

2. Условия сборки. Температурная задача. Согласно принимаемой теории неустановившихся температурных напряжений уровень и распределение температуры по элементам сборки рассчитывается первоначально и отдельно. Сформируем с этой целью температурную задачу. Уравнение теплопроводности (1.8) запишем в используемой далее цилиндрической системе координат $(r, \phi , z)$

$\frac{\partial {\theta }_n}{\partial t}=a_n\left(\frac{{\partial }^2{\theta }_n}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial {\theta }_n}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^2{\theta }_n}{\partial {\phi }^2}\right)-2{\beta }_n{\theta }_n$ (2.1)

В (2.1) n = 1 для охватываемой детали сборки (рис. 1), n = 2 для охватывающей. Коэффициенты ${\beta }_n$, задающие отток тепла с поверхностей пластин считаем далее постоянными.

Часть поверхности r = R, где сопряжения пластин отсутствует обозначим через Ф₁ так, что при $\phi \in {Ф}_1$ имеем: ${\phi }_0\le \phi \le \mathrm{\pi }-{\mathrm{\phi }}_0$ и $\mathrm{\pi }+{\phi }_0\le \phi \le 2\mathrm{\pi }-{\mathrm{\phi }}_0$  (рис. 1). Для поверхности сопряжения Ф₂ аналогично запишем: $\phi \in {Ф}_2; \pi -\phi \le \phi \le \pi +{\phi }_0 и 2\pi -{\phi }_0\le \phi \le 2\pi +{\phi }_0$. Тогда начальные условия температурной задачи запишутся в форме

 $$\begin{gathered} {\theta }_1\left(r,\phi \mathrm{,0}\right)=0 при r\le R\frac{\sin {\phi }_0}{\sin \phi } и \phi \in {\Phi }_2 \\ \begin{array}{c}{\theta }_2\left(r,\phi \mathrm{,0}\right)={\theta }_{*} при R\le r\le R_1\end{array}. \end{gathered}$$ (2.2)

${\theta }_{*}=T_0^{-1}\left(T_{*}-T_0\right).$

Условие теплообмена деталей сборки по общей их поверхности сопряжения записываются в виде

$\begin{array}{l}{\theta }_1\left(R,\phi ,t\right)={\theta }_2\left(R,\phi ,t\right)\\ {\left.{\chi }_1\frac{\partial {\theta }_1}{\partial r}\right|}_{r=R}\text{}={\left.{\chi }_2\frac{\partial {\theta }_2}{\partial r}\right|}_{r=R}\end{array}при \phi \in {\Phi }_2.$ (2.3)

Здесь $X_1, X_2$ – соответственно коэффициенты теплопроводности материалов деталей сборки.

Теплоотдачу от кромок сопрягаемых пластин в окружающую среду зададим с помощью условий

$$\begin{gathered} {\chi }_2{\left.\frac{\partial {\theta }_2}{\partial r}\right|}_{r=R_1}\text{}={\beta }_2{\theta }_2\left(R_1,\phi ,t\right), \\ {\chi }_2{\left.\frac{\partial {\theta }_2}{\partial r}\right|}_{r=R}\text{}=-{\beta }_2{\theta }_2\left(R_1,\phi ,t\right) при \phi \in {\Phi }_1. \end{gathered}$$ (2.4)

${\chi }_1\frac{\partial {\theta }_1}{\partial r}\sin \phi +{\chi }_1\frac{\partial {\theta }_1}{\partial \phi }\cos \phi ={\beta }_1{\theta }_1\left(r,\phi ,t\right) при \left\{\begin{array}{l}\phi \in {\Phi }_1,\\ r=R\frac{\sin {\phi }_0}{\sin \phi }.\end{array}\right.$

Начальные (2.2) и граничные (2.3), (2.4) условия формируют краевую задачу для уравнения теплопроводности (2.1), предназначенную определению распределения температуры ${\theta }_1\left(r,\phi ,t\right)$ по охватываемой пластине и температуры ${\theta }_2\left(r,\phi ,t\right)$ по охватывающему кольцу (рис. 1). В качестве упрощающего допущения в (2.1)–(2.4) принимается, что коэффициенты теплоотдачи ${\beta }_2 (n=1, 2)$ являются постоянными. Разрешая сформированную температурную задачу последовательными шагами по времени, устанавливаем достигнутое к рассматриваемому моменту времени искомое распределение температуры по сопрягаемым элементам сборки.

3. Термомеханическая задача. Принятием условий плоских напряженных состояний зависимая переменная $u_z$ исключается из числа искомых неизвестных. В числе неизвестных остаются перемещения $u_r\left(r,\phi ,t\right), u_{\phi }\left(r,\phi ,t\right)$ и ненулевые компоненты деформаций

$d_{rr}=u_{r,r};d_{\phi \phi }=r^{-1}\left(u_{\phi ,\phi }+u_r\right);d_{r\phi }=\frac{1}{2}\left(\frac{u_{r,\phi }}{r}+r{\left(\frac{u_{\phi }}{r}\right)}_{,r}\right).$  (3.1)

В (3.1) координатой после запятой обозначена частная производная по ней. Этими зависимостями деформации в каждый момент времени (квазистатическое приближение) связываются с перемещениями. С их помощью в условиях плоских напряженных состояний ${\sigma }_{rz}={\sigma }_{jz}={\sigma }_{zz}=0$ задаются, следуя зависимостям закона Дюамеля–Неймана (1.6), ненулевые компоненты тензора напряжжений

$\begin{array}{c}{\sigma }_{rr}=l_1{u}_{r,r}+l_2{r}^{-1}(u_{\phi ,\phi }+u_r)-2\alpha T_0{l}_3\theta ,\\ {\sigma }_{\phi \phi }=l_1{r}^{-1}(u_{\phi ,\phi }+u_r)+l_2{u}_{r,r}-2\alpha T_0{l}_3\theta ,\\ {\sigma }_{r\phi }=\mu \left(r^{-1}{u}_{r,\phi }+r{\left(r^{-1}{u}_{\phi }\right)}_{,r}\right),\end{array}$ (3.2)

$\begin{array}{ccc}{l}_1=\frac{4\mu \left(\lambda +\mu \right)}{\lambda +2\mu },& l_2=\frac{\mu \left(5\lambda +6\mu \right)}{\lambda +2\mu },& l_3=\frac{3\mu K}{\lambda +2\mu }\end{array}.$

В выбранной системе цилиндрических координат уравнения равновесия (1.1) в рассматриваемом случае записываются [27] в форме

$\begin{array}{c}{\sigma }_{rr,r}+r^{-1}{\sigma }_{r\phi ,\phi }+r^{-1}\left({\sigma }_{rr}-{\sigma }_{\phi \phi }\right)=\mathrm{0,}\\ {\sigma }_{r\phi ,r}+r^{-1}{\sigma }_{\phi \phi ,\phi }+2r^{-1}{\sigma }_{r\phi }=0.\end{array}$ (3.3)

Подстановка (3.2) в (3.3) позволяет записать систему двух дифференциальных уравнений относительно двух искомых функций $u_r(r,j,t) и u_{\phi }(r,j,t)$.

$\begin{array}{c}{l}_1\left(u_{r,rr}+r^{-1}{u}_{r,r}+r^{-2}{u}_r\right)+\mu r^{-2}{u}_{r,\phi \phi }+l_2{r}^{-1}{u}_{\phi ,r\phi }-2\alpha T_0{l}_3{\theta }_{,r}=\mathrm{0,}\\ l_3{r}^{-1}{u}_{\phi ,r\phi }+\mu u_{\phi ,rr}+l_1{r}^{-2}{u}_{\phi ,\phi \phi }+l_2{r}^{-2}{u}_{r,\phi }+3\mu r^{-1}{u}_{\phi ,r}-5\mu r^{-2}{u}_{\phi }-2\alpha T_0{l}_3{\theta }_{,\phi }=0.\end{array}$ (3.4)

Дифференциальные уравнения (3.4) справедливы в каждой точке обеих деталей сборки, поэтому они не снабжены указанием на выбираемую деталь. Материалы элементов сборки продолжают деформироваться обратимо (упруго) до поры пока напряжения (3.2) не достигнут поверхности нагружения (1.10). До этого момента времени деформированные состояния в каждой точке материалов сборки в каждый рассматриваемый момент технологической операции горячей посадки подчинены системе уравнений (3.4). Также считается, что в этих уравнениях распределение температуры $\theta =\theta (r,\phi ,t)$найдено предварительно и отдельно решением соответствующей температурной задачи.

Расчет возникающих температурных деформаций и напряжений согласно (3.4) требует постановки для этой системы дифференциальных уравнений необходимых граничных условий. На контактной поверхности (линии) r = R и $\phi \in {Ф}_2$ деталей сборки считаем непрерывными радиальные компоненты вектора перемещений и тензора напряжений

$\begin{array}{l}{u}_r^{\left(1\right)}\left(R,\phi ,t\right)=u_r^{\left(2\right)}\left(R,\phi ,t\right),\\ {\sigma }_{rr}^{\left(1\right)}\left(R,\phi ,t\right)={\sigma }_{rr}^{\left(2\right)}\left(R,\phi ,t\right)\end{array} при \phi \in {\Phi }_2.$ (3.5)

На свободных кромках сопрягаемых пластин имеем

$\begin{array}{c}{\sigma }_{rr}^{\left(2\right)}\left(R_1,\phi ,t\right)={\sigma }_{r\phi }^{\left(2\right)}\left(R_1,\phi ,t\right)=\mathrm{0,}\\ \begin{array}{cc}{\sigma }_{rr}^{\left(2\right)}\left(R,\phi ,t\right)={\sigma }_{r\phi }^{\left(2\right)}\left(R,\phi ,t\right)=0& \begin{array}{cc}при& \phi \in {\Phi }_1,\end{array}\end{array}\end{array}$ (3.6)

$\begin{array}{cc}\begin{array}{l}{\sigma }_{rr}^{\left(1\right)}\left(r,\phi ,t\right)\sin \left(\phi \right)+{\sigma }_{r\phi }^{\left(1\right)}\left(r,\phi ,t\right)\cos \phi =\mathrm{0,}\\ {\sigma }_{r\phi }^{\left(1\right)}\left(r,\phi ,t\right)\sin \left(\phi \right)+{\sigma }_{\phi \phi }^{\left(1\right)}\left(r,\phi ,t\right)\cos \phi =0\end{array}& \begin{array}{cc}при& \left\{\begin{array}{l}r=R\frac{\sin {\phi }_0}{\sin \phi },\\ \phi \in {\Phi }_1.\end{array}\right.\end{array}\end{array}$ (3.7)

Не запрещаем проскальзывания материалов деталей сборки вдоль их поверхностей сопряжения. Однако требование закона сухого трения запрещает проскальзывание до преодоления напряжениями $\left|{\sigma }_{r\phi }\right|$своего некоторого предельного значения

$\left|{\sigma }_{r\phi }^{\left(1\right)}\left(R,\phi ,t\right)\right|=\left|{\sigma }_{r\phi }^{\left(2\right)}\left(R,\phi ,t\right)\right|\le g\left(\phi ,t\right) при \phi \in {\Phi }_2.$ (3.8)

Зависимость $g(\phi ,t)$ в (3.8) от координаты $\phi$ и времени t определяется зависимость этого параметра от местной температуры $\theta =\theta (R,\phi ,t)$. Иногда считают, что условие (3.8) выполняется в течении всего процесса термодеформирования и знак неравенства в нем заменяют равенством. Трение в таком случае оказывается независимым от нормального давления. Опыты показывают, что такое положение приемлимо при развитых вязкопластических течениях в условиях повышенных температур (закон Зеделя). Но процесс операции горячей посадки, протекающей действительно при высоких $\theta \le {\theta }_{*}$ температурах, невозможно считать развитым процессом вязкопластического течения. Последний существует в материалах элементов сборки ограниченное время. До его зарождения и после его остановки по поверхности сопряжения контактируют упругие тела. Проскальзывание начинается после преодоления барьера (3.8); закон трения скольжения в его общей для процесса форме зададим в виде

$\begin{array}{c}{\sigma }_{r\phi }^{\left(2\right)}\left(R,\phi ,t\right)=-{\sigma }_{r\phi }^{\left(1\right)}\left(R,\phi ,t\right)=\\ =f\left(\phi ,t\right)\left|{\sigma }_{rr}^{\left(2\right)}\left(R,\phi ,t\right)\right|+\gamma \left(\phi ,t\right)\left|v_{\phi }^{\left(1\right)}\left(R,\phi ,t\right)-v_{\phi }^{\left(2\right)}\left(R,\phi ,t\right)\right|,\\ \begin{array}{cc}{\sigma }_{r\phi }^{\left(2\right)}\left(R,\phi ,t\right)>g\left(\phi ,t\right), \phi \in {\Phi }_2& \end{array}\end{array}$ (3.9)

Здесь $f(\phi ,t) и \gamma (\phi ,t)$. коэффициенты трения скольжения и вязкого трения соответственно. Их зависимость от $\phi и t$ вытекает из зависимости от местной температуры $\theta (R,\phi ,t)$. Принимаем ее в форме

    $g\left(\phi ,t\right)=g_{0}y,f\left(\phi ,t\right)=f_{0}y,\gamma \left(\phi ,t\right)={\gamma }_{0}y,y={\left[{\theta }_p^{-1}({\theta }_p-\theta )\right]}^2.$(3.10)

Граничными условиями (3.5)–(3.9) в каждый рассчитываемый момент времени формируются разрывы в компонентах ${\sigma }_{rr} {\sigma }_{r\phi } и {\sigma }_{\phi \phi }$ тензора напряжений в точках А, В, С, D (рис. 1), то есть в пограничных точках областей Ф₁ и Ф₂ поверхности сопряжения r = R. Алгоритмы приближенных численных расчетов должны включать в себя процедуры сглаживания подобных разрывов. В [6, 24] показано, что если этим не озаботиться специально, то можно получить ошибки в расчетах не только количественные, но и качественные. По примеру [24] укажем первоначально способ исключения разрывов ${\sigma }_{r\phi }$. C этой целью усложним зависимости (3.10), приняв их в форме

 $f\left(\phi ,t\right)=f_0\xi \left(\phi ,\delta \right)y, f\left(\phi ,t\right)=f_0\xi \left(\phi ,\delta \right)y, \gamma \left(\phi ,t\right)={\gamma }_0\xi \left(\phi ,\delta \right)y,$  (3.11)

$\xi \left(\phi ,\delta \right)=\left({\phi }_0-\phi \right)\left({\phi }_0+\phi +\frac{1-2{\phi }_0\delta +{\delta }^2}{\delta }\right) при \phi = {\phi }_B и \phi ={\phi }_C,$

$\xi \left(\phi ,\delta \right)=\left({\phi }_0-\phi \right)\left({\phi }_0+\phi +\frac{1-2{\phi }_0\delta -{\delta }^2}{\delta }\right) при \phi ={\phi }_A и \phi ={\phi }_D .$

В (3.11) $g_0, f_0, {\gamma }_0$ – постоянные коэффициенты трения при комнатной температуре. В точках А, В, С и D (рис. 1) переменные параметры трения $g, f, \gamma$равны нулю, но уже в соответствующих соседних точках ${\phi }_{A,D}+\delta , {\phi }_{B,C}-\delta$ трение восстанавливается$\left(\xi \right({\varphi }_B-\delta )=1)$. Таким способом с помощью специального задания параметров трения сглаживаем разрыв в граничных условиях для ${\sigma }_{r\phi }$ в точках А, В, С и D области сопряжения (рис. 1). Параметр отступления $\delta$ от пограничных точек областей Ф₁ и Ф₂ выбираем в ходе вычислений.

В пограничных точках А, В, С и D (рис. 1) компоненты тензора напряжений претерпевают разрыв. В краевых условиях (3.6) и (3.7) следует привести сглаживание как вдоль поверхности (линии) r = R для условий (3.6) так и вдоль плоскости (прямой) $r=R\sin \left({\phi }_0\right){\sin }^{-1}\left(\phi \right)$ для условий (3.7). Поясним принимаемую процедуру сглаживания на примере точки B (рис. 1 и рис. 2); в других точках сопряжения последующие действия аналогичны. В граничной области Ф₁, свободной от нагрузок, выделим малую подобласть ${\phi }_0\le {\phi }_0\le \mathrm{\phi }+{\mathrm{\delta }}_1$, считая, что в этой области ${\sigma }_{rr}^{\left(2\right)}(R,\phi ,t)$ изменяется по закону

${\sigma }_{rr}^{\left(2\right)}\left(R,\phi ,t\right)=-K\left({\phi }^2-{\phi }_0^2\right)+\left(2K{\phi }_0+K{\delta }_1-\frac{{\sigma }_{0r}}{{\delta }_1}\right)\left(\phi -{\phi }_0\right)+{\sigma }_{0r}.$  (3.12)

 

Рис. 2. Область вязкопластического течения: зарождение и развитие.

 

В (3.12) K – модуль всестороннего сжатия для материала охватывающей детали сборки; ${\delta }_1$ – назначаемое увеличение координаты $\phi$ от ${\phi }_0; {\sigma }_{0r}$ – радиальное напряжений ${\sigma }_{rr}$ в точке B, рассчитанное на предыдущем шаге вычислений:  

${\sigma }_{0r}={\sigma }_{rr}^{\left(2\right)}\left(R,{\phi }_0,t\right);{\sigma }_{rr}^{\left(2\right)}\left(R,{\phi }_0\mathrm{,0}\right)=0.$

В точке $B(R,{\phi }_0,t)$ напряжения ${\sigma }_{r\phi }^{\left(2\right)}\left(R,{\phi }_0,t\right)=0$ за счет принятого закона трения (3.9)–(3.11) на сопрягаемых поверхностях. Условия (3.7) требуют в таком случае, чтобы ${\sigma }_{rr}^{\left(2\right)}\left(R,{\phi }_0,t\right)=0$ и ${\sigma }_{\phi \phi }^{\left(2\right)}\left(R,{\phi }_0,t\right)=0$ (рис.2). Эти условия выполненными быть не могут; в граничных условиях (3.7) в точке B возникает разрыв. Сглаживание их производим, назначая отступ от точки B до точки B ′ (рис. 2) вдоль прямой $BA(r=R\sin ({\phi }_0\left){\sin }^{-1}\right(\phi \left)\right)$ на расстояние ${\delta }_2=R\left(\cos \left({\phi }_0\right)-\sin \left({\phi }_0\right)\text{ctg\hspace{0.17em}}\left(\phi \right)\right)=\left|B{B}^{\text{'}}\right|.$ Параметр ${\delta }_2$ назначается, как и иные подобные $\delta и {\delta }_1$ в процессе вычислений. По аналогии с (3.12) добиваемся таким способом, чтобы левые части равенства (3.7) изменялись от приписанных им значений ${\sigma }_{rr}\left(R,{\phi }_0,t\right)={\sigma }_{0r}$ и ${\sigma }_{\phi \phi }\left(R,{\phi }_0,t\right)={\sigma }_{0\phi }$ в точке B отрезка до нуля в точке B ′ (рис. 2).

Расчеты согласно сформированной задачи для системы уравнений (3.4) с граничными условиями (3.5)–(3.12) продолжаем последовательными шагами по времени до тех пор, пока не выполнятся условия вязкопластического течения (1.10) в некоторых точках деформируемой области. Расчеты показываю, что впервые эти условия в форме

$f\left(\sigma ,k\right)=\sqrt{\frac{3}{2}\tau \cdot \cdot \tau }-k=\sqrt{{\sigma }_{rr}^2+{\sigma }_{\phi \phi }^2-{\sigma }_{rr}^{}{\sigma }_{\phi \phi }^{}+3{\sigma }_{r\phi }^2}-k=0$ (3.13)

выполняются в точках E и E ′ сборки (рис. 2). От этих точек по материалу охватывающего кольца развиваются область вязкопластического течения.

В последующие моменты времени эта область может занимать полностью область контакта Ф₂ и даже выходить за предел данной области, как это показано на рис. 2 (выделенная область). В рамках такой области соотношения ассоциированного закона вязкопластического течения (1.11) позволяет записать

   ${\epsilon }_{rr}^p=h\left(2{\sigma }_{rr}-{\sigma }_{\phi \phi }\right),{\epsilon }_{\phi \phi }^p=h\left(2{\sigma }_{\phi \phi }-{\sigma }_{rr}\right),{\epsilon }_{r\phi }^p=h{\sigma }_{r\phi },{\epsilon }_{zz}^p=-h\left({\sigma }_{rr}+{\sigma }_{\phi \phi }\right),$ (3.14)

$h=\frac{{\sum }^2-k^2}{3{\sum }^2};{\Sigma }^2=\frac{{\displaystyle 3}}{{\displaystyle 2}}\tau \cdot \cdot \tau ={\sigma }_{rr}^2+{\sigma }_{\phi \phi }^2-{\sigma }_{rr}{\sigma }_{\phi \phi }+3{\sigma }_{r\phi }^2.$

Следствием (1.3) и (1.6) являются уравнения равновесия. В перемещениях (аналог (3.4)) уравнения равновесия приводят к соотношениям справедливым в областях вязкопластического течения

$\begin{array}{c}{l}_1{u}_{r,rr}+\mu r^{-2}{u}_{r,\phi \phi }+\left(l_2+\mu \right)r^{-1}{u}_{\phi ,r\phi }+l_1{r}^{-1}{u}_{r,r}-\left(l_1+\mu \right)r^{-2}{u}_{\phi ,\phi }-l_1{r}^{-1}{u}_r-\\ -l_1{p}_{rr,r}-l_2{p}_{\phi \phi ,r}-\mu r^{-1}{p}_{r\phi ,\phi }-\left(l_1-l_2\right)r^{-1}\left(p_{rr}-p_{\phi \phi }\right)+2\alpha l_3{T}_0{\theta }_{,r}=0;\\ l_1{r}^{-2}{u}_{\phi ,\phi \phi }+\mu u_{\phi ,rr}+\left(l_2+\mu \right)r^{-1}{u}_{r,r\phi }-\mu r^{-1}{u}_{\phi ,r}+\left(l_1-\mu \right)r^{-2}{u}_{r,\phi }-\mu r^{-2}{u}_{\phi }-\\ -l_1{r}^{-1}{p}_{\phi \phi ,\phi }-l_2{r}^{-1}{p}_{rr,\phi }-\mu p_{r\phi ,r}-2\mu r^{-1}{p}_{r\phi }-2\alpha l_3{T}_0{r}^{-1}{\theta }_{,\phi }=0.\end{array}$ (3.15)

В отличии от (3.4) уравнения равновесия (3.15) включает в себя накопленные к рассчитываемому моменту времени необратимые деформации $P_{rr}, P_{r\phi }, P_{\phi \phi }$_j и их производные по пространственным координатам. Если считать, что на предыдущем шаге вычислений пластические деформации достигли значений $\widetilde{P_{rr}},\widetilde{ P_{r\phi }},\widetilde{ P_{\phi \phi }}$, то для их значений вычисляемого шага расчетов возможно, следуя (3.14), записать приближенные зависимости

$\begin{array}{c}{p}_{rr}=h\left(2{\sigma }_{rr}-{\sigma }_{\phi \phi }\right)\Delta t+{\tilde{p}}_{rr},\\ p_{\phi \phi }=h\left(2{\sigma }_{\phi \phi }-{\sigma }_{rr}\right)\Delta t+{\tilde{p}}_{\phi \phi },\\ p_{zz}=-h\left({\sigma }_{rr}+{\sigma }_{\phi \phi }\right)\Delta t+{\tilde{p}}_{zz}.\end{array}$ (3.16)

Эти соотношения необходимы при формулировке краевых задач для уравнений (3.15) с соответствующими граничными условиями в конечных разностях.

4. Некоторые результаты вычислений. Расчеты проводятся последовательными шагами по времени. На каждом таком шаге предварительно рассчитывается уровень и распределение по элементам сборки температуры. Это позволяет рассчитать на этом же шаге параметры напряженно-деформируемых состояний в материалах деталей конструкции. С этой целью разрешается конечно-разностный аналог уравнений равновесия, то есть уравнений (3.4) для упругой области либо (3.15) для области вязкопластического течения. Система конечно-разностных уравнений учитывает в своей записи граничные условий (3.5)–(3.12). После расчетов имеем в данный момент времени распределения по сборке температуры, деформаций и температурных напряжений и на такой основе производим последующий шаг вычислений. Рассчитывая состояние сборки на каждом шаге таких вычислений, устанавливаем время и место зарождения и остановки вязкопластического течения, расположение упругопластических границ в материалах сопрягающихся деталей. Последние могут продвигаться в упругую область, развивая область течения (нагружающая упругопластическая граница), или в область вязкопластического деформирования, тормозя течение (разгружающая граница). В процессе остывания собранной конструкции продвигающаяся разгружающая упругопластическая граница приводит к схлопыванию вязкопластической области, и дальнейшее деформирование оказывается уже упругим при наличии приобретенных необратимых пластических деформаций. Эти деформации приводят к формированию поля остаточных напряжений при полном остывании сборки до комнатной температуры. Расчет процесса релаксации остаточных напряжений выходит за рамки используемой здесь математической модели.

Прежде всего, отметим следствия расчетов, позволяющие сделать некоторые выводы качественного характера для процесса проводимой конкретной операции посадки:

• вязкопластическому деформированию подвержен только материал охватывающего кольца сборки; материал охватываемой пластины в течение всего процесса протекания технологической операции деформируется обратимо (упруго);
• развитие областей вязкопластического течения в охватывающем кольце начинается от точек E и E ′ (рис. 2) области контакта Ф₂;
• разгружающая упругопластическая граница начинает свое продвижение по материалу охватывающего кольца также из точек E и E ′ (рис. 2), области деформирования;
• повторных (обратимых) вязкопластических течений в рассматриваемом случае процесса посадки не возникает.

Эти выводы справедливы именно для рассмотренной операции посадки. Ранее [3, 22] отмечалось, что возможно формирование разгружающей упругопластической границы на поверхности останавливающейся нагружающей границы и продвижение её в направление обратном направлению движения нагружающей упругопластической границы. Это характерно в случае использования в расчетах условий пластичности (вязкопластичности) максимальных приведенных напряжений (условие Ишлинского–Ивлева) [3, 23]. Повторные пластические течения в условиях плоских напряженных состояниях, как в рассматриваемом случае, не возникают (исключение [15]); они с необходимостью возникают в случае сборки длинномерных конструкций, двухслойных валов и труб [3, 6, 8, 22, 23].

Характерное распределение (рис. 3) остаточных напряжений по поверхности охватывающего кольца r = R, включающей в себя как поверхность константа Ф₂, так и свободную поверхность Ф₁, показано на рис. 3. При получении графических зависимостей принималось, что охватывающее кольцо изготовлено из латуни $(\lambda = 66.92 ГПа, \mu = 44.61 ГПа, k_0 = 350 МПа, a = 18 · {10}^{-6} {м}^2/с, T_p = 1040 °C, T_0 = 400 °C, a = 16.2 · {10}^{-6} (1/°C\left)\right)$, а охватываемая пластинка из бронзы (k₀ = 290 МПа, $\lambda$ = 58.26 ГПа, $\mu$ = 38.84 ГПа, a = 36 · 10^-6 м²/с, T_p = 937 °C, T₀ = 20 °C, a = 19.1 · 10^-6 (1/°C)). Геометрические размеры деталей сборки задавались значениями: R = 0.04 м, R₁ = 0.05 м, $\phi$ = $\pi$/3.

На рис. 4 более детально указаны остаточные напряжения в элементах сборки при подходе к точке В, разделяющей область контакта F₂ и свободную от нагрузки область F₁. Рисунком (рис. 4,a) показаны распределения остаточных напряжений при сглаживании разрывов в граничных условиях $(\delta ={\delta }_1={\delta }_2=0.001\pi )$, в то время как на рис. 4,b) графические зависимости построены в условиях $\delta ={\delta }_1={\delta }_2=0$. Присутствие не только количественных, но и качественных различий в графических зависимостях, подчеркивает необходимость использования отмеченных здесь процедур сглаживания.

 

Рис. 3. Остаточные напряжения при r = R в материале охватывающего кольца.

 

Рис. 4. Распределение остаточных напряжений в окрестности пограничной точки В: (a)-$\mathit{\delta }\mathbf{=}{\mathit{\delta }}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}{\mathit{\delta }}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{01}\mathit{\pi }\mathbf{;}{\mathit{\phi }}_{\mathbf{0}}\mathbf{=}\mathit{\pi }\mathbf{/}\mathbf{3}\mathbf{;}\mathbf{\left(}\mathit{b}\mathbf{\right)}\mathbf{-}\mathit{\delta }\mathbf{=}{\mathit{\delta }}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}{\mathit{\delta }}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{;}{\mathit{\phi }}_{\mathbf{0}}\mathbf{=}\mathit{\pi }\mathbf{/}\mathbf{3}$.

 

Заключение. Рассмотренная здесь задача Гадолина [7] о сборке с натягом за счет горячей посадки цилиндрических деталей, выполненных из упругопластических материалов, является характерным примерам задач, направленных на моделирование технологических операций изготовления металлоизделий. Технологический процесс рассчитывается за счет разрешения в каждый его момент времени краевой задачи теории температурных напряжений в упругопластических материалах. Таким способом прослеживается эволюция температурных напряжений во время проведения операции, включая расчет сформировавшегося распределения остаточных напряжений. Последние, чаще всего, оказываются основной целью проводимых вычислений, так как именно они задают функциональные качества итоговой конструкции.

Предполагаемый способ расчета изменяющихся в условиях проведения технологической операции температурных напряжений не запрещает учет упрочнения материалов сопрягаемых деталей при их пластическом деформировании как изотропного, так и трансляционного [28]. Учет кинематического упрочнения особенно необходим при возникновении повторных пластических течений [3, 29] в процессе разгрузки и остывания сборки.

Для исключения сингулярности в заданных граничных условиях используется искусственный прием сглаживания в разрывах значений задаваемых напряжений на граничных поверхностях сопрягаемых деталей. Показывается, что иначе следуют ошибочные результаты (сравнение 4,а,b). Именно подобные ошибки неоднократно встречаются [30–32] в результате расчетов температурных напряжений в собираемых конструкциях. Современная механика деформирования твердых тел располагает [33–37] набором средств для избежание ошибочного влияния сингулярности в задаваемых граничных условиях на следуемые результаты расчетов. Некоторые такие предложения [33, 34] обладают признаками универсальности. Принятый здесь искусственный способ этого лишен. Он только преследует цель показать, что исключение сингулярности в граничных условиях бывает совешенно необходимо. На разработанном примере это удалось продемонстрировать.

Работа выполнена в рамках государственно задания Хабаровского Федерального научного центра Дальневосточного отделения Российской академии наук.

作者简介

A. Burenin

Institute of Mechanical Science and Metallurgy, Far Eastern Branch of the Russian Academy of Sciences

Email: 4nansi4@mail.ru
俄罗斯联邦, Komsomolsk-on-Amur

A. Tkacheva

Institute of Mechanical Science and Metallurgy, Far Eastern Branch of the Russian Academy of Sciences

编辑信件的主要联系方式.
Email: 4nansi4@mail.ru
俄罗斯联邦, Komsomolsk-on-Amur

参考

补充文件