Relationship between the results of analytical solutions of elasticity theory problems and of stress state optimization in the vicinity of singular points

Full Text

1. Введение. Одним из результатов классической теории упругости является возможность существования сингулярных решений, связанных с появлением бесконечных значений напряжений в особых точках поверхности, где имеет место нарушение ее гладкости, происходит смена типа краевых условий, контактируют различные материалы, а также внутри тела, в точках нарушения условия гладкости поверхности контакта различных материалов. Примером теоретических обоснований появления сингулярных решений является работа [1], где было показано, что для уравнений линейной теории упругости в окрестности угловых точек имеет место решение вида

$\sigma ~\sum _{n=1}{K}_n{f}_n{r}^{{\lambda }_n-1},$ $\text{при }r\to \mathrm{0,}$ $c<\mathrm{Re}{\lambda }_1<\mathrm{Re}{\lambda }_2<\dots <\mathrm{Re}{\lambda }_n<\dots$   (1.1)

или более сложное, с логарифмическими составляющими в случае кратных точек спектра ${\lambda }_n$. Здесь r — расстояние до угловой точки, $K_n$ — коэффициенты интенсивности напряжений; $f_n$ — функции углового распределения поля напряжения $\sigma$ в окрестности угловой точки, в плоском случае зависящие от одной полярной угловой переменной $\phi$ при этом c = 0, в пространственном — от двух сферических координат$\phi ,0$ при c = -0.5. Из представления решения (1.1) следует, что если среди ${\lambda }_n$ имеется хотя бы одно, удовлетворяющее условию $\mathrm{Re}{\lambda }_n<1$, то напряжения стремятся к бесконечности при r, стремящимся к нулю.

Изучением поведения напряжений в окрестностях особых точек занимаются многие исследователи. Для двумерных и трехмерных задач линейной теории упругости рассмотрены различные варианты особых точек. Достаточно полно результаты, достигнутые в этой области, представлены в обзорных работах [2–6].

Особые точки и связанные с ними сингулярные решения с одной стороны представляют теоретический интерес, а с другой стороны, они достаточно часто встречаются в расчетных схемах прикладных задач и их окрестности, как правило, являются зонами ярко выраженной концентрации напряжений. В настоящей работе представлен обзор результатов решения оптимизационных задач, связанных с поиском вариантов, обеспечивающих минимальный уровень концентрации напряжений в окрестности особых точек. Основным содержанием работы является установление взаимосвязи оптимальных решений в окрестности особых точек с характером сингулярности напряжений в этих точках.

2. Точка поверхности со сменой типа граничных условий. Примером задачи, в которой есть особые точки, где имеет место смена типа граничных условий, является представленный на рис. 1, a цилиндр, находящийся под действием массовых сил с неподвижной внешней поверхностью и свободной от нагрузок внутренней и торцевых поверхностями. Для данного цилиндра была решена задача поиска геометрии торцевых поверхностей, обеспечивающих минимальные напряжения в окрестности особой точки — пересечение торцевой и внешней поверхности [7]. Оптимизационные задачи решались при ограничениях, обеспечивающих поиск геометрии в пределах заданных размеров h, l. Результатом решения оптимизационных задач являются геометрии для соответствующих ограничений h, l. Общим свойством этих геометрий является угол сопряжения свободной торцевой и внешней неподвижной поверхностей — $\alpha$.

Рис. 1. Расчетные схемы для цилиндров, находящихся под действием массовых сил (a) и растягивающих усилий (b).

Аналогичная по постановке задача была рассмотрена в работах [8, 9], где для цилиндра, представленного на рис. 1, b, необходимо было найти геометрию боковой поверхности в окрестности точек, где имеет место смена типа граничных условий, при ограничениях h, l, за пределы которых не может выходить искомая геометрия. Были рассмотрены два варианта оптимизационной задачи. В первом — геометрия должна обеспечивать минимальную интенсивность касательных напряжений, во втором варианте — наименьшее отклонение отрывных напряжений на закрепленном торце от их среднего значения. Основным результатом решения оптимизационных задач является то, что все найденные геометрии для соответствующего значения коэффициента Пуассона материала имеют одинаковый угол сопряжения свободной от нагрузок и неподвижной поверхностей — a.

Для рассматриваемого типа особой точки вывод о наличии сингулярных решений может быть сделан на основе анализа собственных решений для клина (рис. 2, a), одна грань которого неподвижна, а вторая свободна от напряжений [10]:  $u_r^i=r^{{\lambda }_i}{\xi }_r^i\left(\phi \right),$ $u_{\phi }^i=r^{{\lambda }_i}{\xi }_{\phi }^i\left(\phi \right).$

Рис. 2. Однородный (a) и составной (b) плоские клинья в полярных координатах.

Здесь $u_r^i,u_{\phi }^i$ — компоненты вектора перемещений в полярной системе координат; ${\xi }_r^i,{\xi }_{\phi }^i$ — собственные функции;${\lambda }_i$ — собственные значения.

При наличии среди собственных значений хотя бы одного, удовлетворяющего условию $\mathrm{Re}{\lambda }_i<1$, напряжения в вершине клина принимают бесконечные значения. Для данного типа особой точки собственные значения ${\lambda }_i$ определяются значением угла раствора клина $\gamma$ и значением коэффициента Пуассона материала $v$. На рис. 3 в области параметров g, n приведена кривая, которая для первого собственного значения разделяет области решений с сингулярностью напряжений ($\mathrm{Re}{\lambda }_i<1$) и решений без сингулярности напряжений ($\mathrm{Re}{\lambda }_i\ge 1$).

Рис. 3. Области решений с сингулярностью и без сингулярности напряжений (угол $\gamma$ в градусах).

Для рассматриваемого типа особой точки взаимосвязь сингулярных решений с геометриями, обеспечивающими минимальный уровень концентрации напряжений в окрестности особых точек, определяется следующим условием. Для оптимальных геометрий угол сопряжения свободной и неподвижной поверхностей вместе с коэффициентом Пуассона материала являются одной из точек на кривой (рис. 3), разделяющей решения с сингулярностью и без сингулярности напряжений.

Результат о взаимосвязи сингулярных решений и концентрации напряжений в окрестности особой точки в работе [11] получил экспериментальное подтверждение. Цилиндрические образцы из полиметилметакрилата марки СТ-1 (рис. 4, a) были испытаны при растяжении и консольном изгибе. Образцы имели выточки на боковой поверхности с разными углами сопряжения свободной боковой поверхности и стальной поверхностью, к которой приклеены образцы. Необходимо отметить, что модуль упругости стали почти на два порядка больше модуля упругости полиметилметакрилата, то есть в данном случае верхнюю поверхность цилиндрического образца можно рассматривать как неподвижную. На рис. 4, b представлены зависимости усилия отрыва от величины угла a. Результаты эксперимента демонстрируют, что максимальные усилия отрыва, которые можно полагать реализуются при минимальной концентрации напряжений, имеют место при угле a ≈ 48°, который вместе со значением коэффициента Пуассона полиметилметакрилата (n ≈ 0.45) дает точку на кривой, разделяющей решения с сингулярностью и без сингулярности напряжений.

Рис. 4. Схема испытаний: 1 — стальной грибок, 2 — образец, 3 — нижний захват (a); зависимость прочности соединения s (в МПа) от угла стыка a (в градусах) при нормальном отрыве (1) и при консольном изгибе (2) (b).

3. Край поверхности соединения различных материалов. В расчетных схемах прикладных задач теории упругости достаточно часто имеет место тип особой точки, представляющий край поверхности соединения различных материалов. Поведение напряжений в окрестности данной особой точки может быть проанализировано на основе анализа собственных решений для составного клина (рис. 2, b), боковые грани которого свободны от напряжений, а на поверхности соединения различных материалов выполняются условия идеального контакта [12]. Собственные значения, определяющие характер сингулярности напряжений в окрестности особой точки, зависят в данном случае от углов раствора ${\gamma }_1,{\gamma }_2$ частей составного клина, коэффициентов Пуассона ${\nu }_1,{\nu }_2$ и отношения модулей упругости E₂ /E₁.

В работе [8] была рассмотрена задача для двухслойного цилиндра, находящегося под действием внутреннего давления (рис. 5). Решалась задача оптимизации, связанная с поиском геометрии торцевых поверхностей в окрестности особой точки — края поверхности соединения различных материалов — обеспечивающей минимальное значение интенсивности касательных напряжений в окрестности особой точки. Ограничения h, l₁, l₂ определяют допустимую область изменения геометрии. Результатом решения оптимизационных задач являются геометрии торцевых поверхностей для разных комбинаций механических характеристик материалов и ограничений h, l₁, l₂. Для каждой из комбинаций механических характеристик материалов найденные оптимальные геометрии имеют одинаковые углы сопряжения a₁, a₂ в особой точке свободных от нагрузок поверхностей и поверхности соединения материалов.

Рис. 5. Расчетная схема двухслойного полого цилиндра.

Взаимосвязь полученных результатов с сингулярными решениями определяется следующим образом. Для составного клина для каждой из комбинаций значений $v_1,v_2$, E₂/E₁ в области параметров ${\gamma }_1,{\gamma }_2$ может быть построена кривая, разграничивающая области решений с сингулярностью и без сингулярности напряжений. Углы оптимальных поверхностей $a_{1,}{a}_2$ соответствуют точке на этой кривой.

На основе анализа решений для составного клина в работе [13] было экспериментально продемонстрировано, что комбинации значений углов и механических характеристик материалов, соответствующие несингулярному решению задачи о собственных значениях в вершине составного клина обеспечивают «малонапряженное состояние в окрестности края поверхности контакта составного тела». Аналогичные результаты устранения концентрации напряжений в окрестности края поверхности контакта соединения различных материалов на основе выбора геометрий, при которых отсутствуют сингулярные решения, приведены в работах [14–18]. Здесь следует выделить работу [14], где показано, что среди геометрий с углами из области решений без сингулярности напряжений наименьший уровень напряжений вдоль поверхности контакта разных материалов наблюдается для геометрии с углом, близким к критическому (разделяющим решения с сингулярностью напряжений и без нее).

В работе [19] на примере соединения двух трапецеидальных пластин из различных материалов (рис. 6) в результате решения оптимизационной задачи также было показано, что минимальный уровень напряжений на поверхности соединения материалов соответствует границе между решениями с сингулярностью и без сингулярности напряжений.

Рис. 6. Соединение двух трапецеидальных пластин.

В работе [20] проанализирована неединственность значений углов, обеспечивающих оптимальный вариант. Был рассмотрен составной цилиндр, представленный на рис. 7, a. Рассматривалась задача поиска оптимальной формы боковой поверхности при использовании в качестве изменяемой части боковой поверхности дуг окружности. В качестве критериев оптимизации использовались значения интенсивности напряжений в одной из составных частей цилиндрического тела, либо условие, обеспечивающее наименьшее отклонение напряжений по поверхности соединения от их среднего значения на этой поверхности. В одном из рассмотренных вариантов были следующие значения упругих постоянных: $v_1=v_2= 0.3, E_2 /E_1 = 10$. На рис. 7, b для этого варианта представлена кривая, разделяющая в области значений ${\gamma }_1,{\gamma }_2$ решения с сингулярностью и без сингулярности напряжений.

Рис. 7. Расчетная схема для составного цилиндра (a); кривая, разделяющие решения с сингулярностью и без сингулярности в плоскости параметров ${\mathit{\gamma }}_{\mathbf{1}\mathbf{ }}\mathit{и}\mathbf{ }{\mathit{\gamma }}_{\mathbf{2}}\mathbf{(}\mathit{д}\mathit{л}\mathit{я}\mathbf{ }{\mathit{v}}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}{\mathit{v}}_{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{3}\mathbf{,}\mathbf{ }{\mathit{E}}_{\mathbf{2}}\mathbf{/}{\mathit{E}}_{\mathbf{1}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{10}\mathbf{)}\mathbf{ }$(b).

Рассмотрены различные варианты оптимизационных задач. Сначала оптимизацию геометрии провели только для верхней, менее жесткой, части составного цилиндра. Для рассмотренных критериев оптимизации была получена одна оптимальная геометрия с углом ${\gamma }_1$= 64.05° (точка I на рис. 7, b). Другая серия расчетов была выполнена, когда оптимизировалась геометрия нижней, более жесткой, части составного цилиндра. В этом случае параметры оптимальных решений определяют точку II на рис. 7, b. В следующей серии расчетов оптимизируется геометрия боковых поверхностей верхней и нижней частей составного цилиндра. В этой серии использовались три варианта критериев оптимизации. В первом варианте рассмотрено использование максимального значения интенсивности напряжений в верхней (менее жесткой) части составного цилиндра. В этом случае значения углов ${\gamma }_1 и {\gamma }_2$ у оптимальной поверхности определяют точку III на рис. 7, b. При использовании максимального значения интенсивности напряжений в нижней (более жесткой) части составного цилиндра значения углов g₁ и g₂ оптимальной поверхности соответствуют точке I на рис. 7, b. В третьем варианте использовалось условие, обеспечивающее наименьшее отклонение напряжений по поверхности идеального соединения от их среднего значения на этой поверхности. В этом случае значения углов ${\gamma }_1 и {\gamma }_2$ у оптимальной поверхности определяют точку IV на рис. 7, b.

При анализе взаимосвязи сингулярных решений и концентрации напряжений в окрестности особых точек представляет интерес работа [21], где приведены экспериментальные результаты различных вариантов соединения двух материалов (рис. 8). Сравнивались усилия разрушения соединения цилиндрических образцов из алюминия 6061T6 и эпоксидного клея Epon 815 при разных углах сферической поверхности контакта. Ключевым параметром для этой поверхности контакта является угол a, определяющий геометрию в окрестности особой точки. В работе показано существование угла, при котором обеспечивается наибольшая прочность соединения. Данный угол, в совокупности с механическими характеристиками алюминия и эпоксидного клея, определяет границу между решениями с сингулярностью и без сингулярности напряжений, но такое обобщение в работе отсутствует.

Рис. 8. Геометрии образцов.

4. Сети поверхностных трещин. На поверхности материалов могут возникать не только одиночные трещины, но и сети трещин, которые встречаются как на природных, так и на техногенных объектах. На рис. 9 показаны типичные картины поверхностных трещин. Структура трещин имеет повторяющееся систематические рисунки вне зависимости от материала, что привлекает внимание многих исследователей. Опубликовано большое количество работ, связанных с изучением механизмов распространения трещин на поверхности различных материалов, однако до сих пор нет объяснений, почему получается тот или иной узор.

Рис. 9. Фотографии поверхностных трещин: треснувшая земля в Rann of Kutch (Индия) (a); высушенный водный раствор кукурузного крахмала [29] (b); поверхность высохшего солончака (Сицилия) (c); трещины на дне ударного кратера на Марсе [30] (d); старая керамическая поверхность (e); поверхность образца из жаропрочной стали после испытания на термическую усталость [26] (f).

В работах [22–24] отмечается, что сети трещин в основном состоят из четырех типов многоугольных фрагментов: треугольников, четырехугольников, пятиугольников и шестиугольников, при этом наиболее распространенными являются варианты пересечений трех или четырех трещин. Некоторые исследователи отметили следующую закономерность в точках пересечения трех и четырех трещин на поверхности, а именно: три трещины чаще сходятся под углом ~120° [24–27], а четыре трещины сходятся под углом ~90° [24–26, 28].

В работе [31] рассмотрен вариант взаимосвязи сингулярных решений с картиной поверхностных трещин на основе пространственной модели клиновидных трещин, представляющей пересечение двух, трех, четырех клиновидных трещин, вершина пересечения которых является особой точкой (рис. 10). Получено сопоставление результатов численного моделирования пересечения двух, трех, четырех клиновидных трещин с реальными картинами сеток поверхностных трещин. Для двух трещин, пересекающихся под углом $\phi$ (рис. 10, а), обнаружена корреляция между значением угла $\phi$, при котором достигается максимум средней плотности энергии деформаций в малой сфере, центр которой расположен в особой точке и величиной угла излома линии сетки трещин на поверхности бетона. При этом минимум средней плотности энергии деформаций имеет место при минимальном значении показателя, определяющего характер сингулярности напряжений.

Рис. 10. Расчетная схема пересечения двух (a), трех (b) и четырех (c) клиновидных трещин.

Аналогично для трех трещин рассмотрены две наиболее распространенные конфигурации: Y и T. Установлено, что для T-конфигурации максимуму средней плотности энергии деформаций и наименьшему значению показателя сингулярности напряжений отвечает угол $\phi$ = 90°, что полностью соответствует симметричной T-конфигурации, встречающейся в реальных картинах поверхностных трещин. Для X-конфигурации из четырех трещин выявлено, что максимум средней плотности энергии деформаций и наименьшее значение показателя сингулярности имеют место, когда все углы между четырьмя трещинам равны. Это также совпадает с закономерностью, наблюдаемой в реальных картинах трещин.

5. Заключение. В работе представлены результаты классической теории упругости, связанные с построением решений в окрестности особых точек, где имеет место смена типа граничных условий, край поверхности контакта различных материалов, и результаты решения прикладных задач поиска оптимальных вариантов с минимальным уровнем концентрации напряжений в окрестности особых точек. Основным результатом работы является констатация взаимосвязи оптимальных решений в окрестности особых точек с характером сингулярности напряжений в этих точках, которая заключается в следующем: углы, определяющие в окрестности особых точек геометрию оптимального варианта, и упругие постоянные материалов в соответствующей задаче теории упругости для окрестности особых точек определяют границу между решениями с сингулярностью и без сингулярности напряжений. Кроме этого, приводятся результаты, позволяющие рассматривать для поверхностных трещин вариант взаимосвязи результатов с сингулярным поведением напряжений со структурой поверхностных трещин.

Работа выполнена в рамках государственного задания, регистрационный номер темы 124020700047-3.

About the authors

A. Yu. Fedorov

Author for correspondence.
Email: fedorov@icmm.ru
Russian Federation, Perm

V. P. Matveenko

Email: mvp@icmm.ru
Russian Federation, Perm

References

Supplementary files

Supplementary Files

Action

1. JATS XML

Download

2. Fig. 1. Calculation diagrams for cylinders under mass forces (a) and tensile forces (b).

Download (134KB)

Indexing metadata

3. Fig. 2. Uniform (a) and composite (b) plane wedges in polar coordinates.

Download (49KB)

Indexing metadata

4. Fig. 3. Solution regions with and without stress singularity (angle  in degrees).

Download (41KB)

Indexing metadata

5. Fig. 4. Test scheme: 1 - steel fungus, 2 - specimen, 3 - bottom grip (a); dependence of the joint strength  (in MPa) on the joint angle  (in degrees) under normal detachment (1) and under cantilever bending (2) (b).

Download (98KB)

Indexing metadata

6. Fig. 5. Calculation diagram of a two-layer hollow cylinder.

Download (89KB)

Indexing metadata

7. Fig. 6. Connection of two trapezoidal plates.

Download (28KB)

Indexing metadata

8. Fig. 7. Computational scheme for a compound cylinder (a); curve separating solutions with and without singularity in the plane of parameters 1 and 2 (for 1 = 2 = 0.3, E2/E1 = 10) (b).

Download (107KB)

Indexing metadata

9. Fig. 8. Geometries of the samples.

Download (111KB)

Indexing metadata

10. Fig. 9. Photographs of surface cracks: cracked earth at Rann of Kutch (India) (a); dried aqueous solution of cornstarch [29] (b); surface of dried salt marsh (Sicily) (c); cracks at the bottom of an impact crater on Mars [30] (d); old ceramic surface (e); surface of a heat-resistant steel specimen after thermal fatigue test [26] (f).

Download (979KB)

Indexing metadata

11. Fig. 10. Calculation scheme of intersection of two (a), three (b) and four (c) wedge cracks.

Download (116KB)

Indexing metadata