On limit sets of simplest skew products defined on multidimensional cells

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

The purpose of this work is to describe two important types of limit sets of the most simple skew products of interval maps, the phase space of each of which is a compact n-dimensional cell (n ≥ 2): firstly, a non-wandering set and, secondly, ω-limit sets of trajectories. Methods. A method for investigating of a nonwandering set (new even for the two-dimensional case) is proposed, based on the use of the concept of C0-Ω-blow up in continuous closed interval maps, and the concept of C0-Ω-blow up introduced in the work in the family of continuous fibers maps. To describe the ω-limit sets, the technique of special series constructed for the trajectory and containing an information about its asymptotic behavior is used. Results. A complete description is given of the nonwandering set of the continuous simplest skew product of the interval maps, that is, a continuous skew product on a compact n-dimensional cell, the set of (least) periods of periodic points of which is bounded. The results obtained in the description of a nonwandering set are used in the study of ω-limit sets. The paper describes a topological structure of ω-limit sets of the maps under consideration. Sufficient conditions have been found under which the ω-limit set of the trajectory is a periodic orbit, as well as the necessary conditions for the existence of one-dimensional ω-limit sets. Conclusion. Further development of the C0-Ω-blow up technique in the family of maps in fibers will allow us to describe the structure of a nonwandering set of skew products of one-dimensional maps, in particular, with a closed set of periodic points defined on the simplest manifolds of arbitrary finite dimension. Further development of the theory of special divergent series constructed in the work will allow us to proceed to the description of ω-limit sets of arbitrary dimension d, where 2 ≤ d ≤ n - 1, n ≥ 3, in the simplest skew products.

About the authors

Lyudmila Sergeevna Efremova

Lobachevsky State University of Nizhny Novgorod

ORCID iD: 0000-0001-5821-6697
SPIN-code: 5317-5407
Scopus Author ID: 7004059595
ResearcherId: AAQ-8061-2021
603950 Nizhny Novgorod, Gagarin Avenue, 23

Matvey Andreevich Shalagin

Lobachevsky State University of Nizhny Novgorod

603950 Nizhny Novgorod, Gagarin Avenue, 23

References

  1. Efremova L. S. Remarks on the nonwandering set of skew products with a closed set of periodic points of the quotient map // In: Nonlinear maps and their applications. Springer Proc. Math. Statist., vol. 57. New York: Springer, 2014. P. 39–58. doi: 10.1007/978-1-4614-9161-3_6.
  2. Ефремова Л. С. Динамика косых произведений отображений интервала // Успехи матем. наук. 2017. Т. 72, № 1 С. 107–192. doi: 10.4213/rm9745.
  3. Ефремова Л. С. Дифференциальные свойства и притягивающие множества простейших косых произведений отображений интервала // Матем. сб. 2010. Т. 201, № 6. С. 93–130. doi: 10.4213/sm7551.
  4. Шарковский А. Н. О притягивающих и притягивающихся множествах // Докл. АН СССР 1965. Т. 160, № 5. С. 1036–1038.
  5. Шарковский А. Н. Аттракторы траекторий и их бассейны. Киев: Наукова Думка, 2013. 320 с.
  6. Blokh A., Bruckner A. M., Humke P. D., Smital J. The space of ω-limit sets of a continuous map of the interval // Transac. Amer. Math. Soc. 1996. Vol. 348, no 4. P. 1357–1372.
  7. Efremova L. S. Simplest skew products on n-dimensional (n ≥ 2) cells, cylinders and tori // Lobachevskii J. Math. 2022. Vol. 43. P. 1598-1618. doi: 10.1134/S1995080222100080.
  8. Нитецки З. Введение в дифференциальную динамику. М.: Мир, 1975. 304 c.
  9. Kolyada S. F. On dynamics of triangular maps of the square // Ergodic Theory Dynam. Systems, 1992. Vol. 12, no 4. P. 749–768. doi: 10.1017/S0143385700007082.
  10. Kloeden P. E. On Sharkovsky’s cycle coexistence ordering // Bull. Austral. Math. Soc. 1979. Vol. 20, no. 2. P. 171–177. doi: 10.1017/S0004972700010819.
  11. Ефремова Л. С. О неблуждающем множестве и центре треугольных отображений с замкнутым множеством периодических точек в базе // В кн.: Динамические системы и нелинейные явления. Киев: Ин-т матем. АН УССР, 1990. С. 15–25.
  12. Бронштейн И. У. Неавтономные динамические системы. Кишинев: Штиинца, 1984. 291 с.
  13. Шарковский А. Н., Майстренко Ю. Л., Романенко Е. Ю. Разностные уравнения и их приложения. Киев: Наукова думка, 1986. 278 с.
  14. Smale S. Differentiable dynamical systems // Bull. Amer. Math. Soc. 1967. Vol. 73, no. 6. P. 747–817. doi: 10.1090/S0002-9904-1967-11798-1.
  15. Palis J. Ω-explosions // Proc. Amer. Math. Soc. 1971. Vol. 27, no. 1. P. 85–90. doi: 10.1090/S0002-9939-1971-0270400-3.
  16. Hirsch M. W., Pugh C. C. Stable manifolds and hyperbolic sets // Global analysis (Berkeley, CA, 1968), Proc. Sympos. Pure Math., vol. 14, Amer. Math. Soc. Providence, RI, 1970. P. 133–163.
  17. Стенькин О. В., Шильников Л. П. Гомоклинический Ω-взрыв и области гиперболичности // Матем. сб. 1998. Т. 189, № 4. С. 125–144.
  18. Гонченко С. В., Стенькин О. В. Гомоклинический Ω-взрыв: интервалы гиперболичности и их границы // Нелинейная динам. 2011. Т. 7, № 1. С. 3–24.
  19. Ефремова Л. С., Махрова Е. Н. Одномерные динамические системы // Успехи матем. наук. 2021. Т. 76, № 5. С. 81-146. doi: 10.4213/rm9998.
  20. Ефремова Л. С. О C0- Ω-взрывах в гладких косых произведениях отображений интервала с замкнутым множеством периодических точек // Вестн. Нижегородского гос. ун-та им. Н. И. Лобачевского. 2012. № 3(1). C. 130–136.
  21. Шарковський О. М. Неблукаючi точки та центр неперервного вiдображення прямоi в себе // Допов. АН УРСР. 1964. Т. 7. С. 865–868.
  22. Nitecky Z. Maps of the interval with closed periodic set // Proc. Amer. Math. Soc. 1982. Vol. 85, no. 3. P. 451–456.
  23. Block L. S., Coppel W. A. Dynamics in One Dimension. Lecture Notes in Math., vol. 1513. Berlin: Springer-Verlag, 1992. 252 p. doi: 10.1007/BFb0084762.
  24. Шарковский А. Н. О циклах и структуре непрерывного отображения // Укр. матем. журнал. 1965. Т. 17, № 3. С. 104–111.
  25. Федоренко В. В., Шарковский А. Н. Непрерывные отображения интервала с замкнутым множеством периодических точек // В кн.: Исследование дифференциальных и дифференциальноразностных уравнений / Под ред. А. Н. Шарковского. Киев: Институт матем. АН УССР, 1980. С. 137–145.
  26. Efremova L. S. C1-Smooth Ω-Stable Skew Products and Completely Geometrically Integrable Self-Maps of 3D-Tori, I: Ω-Stability // Regular and Chaotic Dynamics. 2024. Vol. 29, no. 3. P. 491–514.
  27. Efremova L. S. Skew products and geometrically integrable maps: Results, problems and prospects // New Developments in Discrete Dynamical Systems, Difference Equations and Applications. Springer Proc. Math. Statist. New York: Springer, 2024 (to appear).
  28. Куратовский К. Топология. Т. 1. М.: Мир, 1966. 594 с.
  29. Аносов Д. В. Динамические системы в 60-е годы: гиперболическая революция. Математические события XX века. М.: Фазис, 2003. С. 1–18.
  30. Balibrea F., Guirao J. L. G., Casado J. I. M. A triangular map on I2 whose ω-limit sets are all compact interval of {0} * I // Discrete Contin. Dyn. Syst. 2002. Vol. 8, no. 4. P. 983–994. doi: 10.3934/dcds.2002.8.983.
  31. Balibrea F., Guirao J. L. G., Casado J. I. M. On ω-limit sets of triangular maps on the unit cube // J. Difference Equ. Appl. 2003. Vol. 9, no. 3–4. P. 289–304. doi: 10.1080/1023619021000047734.
  32. Райков Д. А. Одномерный математический анализ. М.: Высшая школа, 1982. 416 с.
  33. Зорич В. А. Математический анализ. Т. 1. M.: Наука, 1981. 543 с.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).