Mathematical model of three competing populations and multistability of periodic regimes

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

Purpose of this work is to analyze oscillatory regimes in a system of nonlinear differential equations describing the competition of three non-antagonistic species in a spatially homogeneous domain. Methods. Using the theory of cosymmetry, we establish a connection between the destruction of a two-parameter family of equilibria and the emergence of a continuous family of periodic regimes. With the help of a computational experiment in MATLAB, a search for limit cycles and an analysis of multistability were carried out. Results. We studied dynamic scenarios for a system of three competing species for different coefficients of growth and interaction. For several combinations of parameters in a computational experiment, new continuous families of limit cycles (extreme multistability) are found. We establish bistability: the coexistence of isolated limit cycles, as well as a stationary solution and an oscillatory regime. Conclusion. We found two scenarios for locating a family of limit cycles regarding a plane passing through three equilibria corresponding to the existence of only one species. Besides cycles lying in this plane, a family is possible with cycles intersecting this plane at two points. We can consider this case as an example of periodic processes leading to overpopulation and a subsequent decline in numbers. These results will further serve as the basis for the analysis of systems of competing populations in spatially heterogeneous areas.

About the authors

Buu Hoang Nguyen

Southern Federal University

ul. Bol`shaya Sadovaya 105/42, Rostov-on-Don, 344006, Russia

Vyacheslav Georgievich Tsybulin

Southern Federal University

ul. Bol`shaya Sadovaya 105/42, Rostov-on-Don, 344006, Russia

References

  1. Свирежев Ю. М., Логофет Д. О. Устойчивость биологических сообществ. М.: Наука, 1978. 352 с.
  2. Мюррей Дж. Математическая биология. Т. 1. Введение. М.–Ижевск: Институт компьютерных исследований; Регулярная и хаотическая динамика, 2011. 776 с.
  3. Базыкин А. Д. Нелинейная динамика взаимодействующих популяций. Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 368 c.
  4. Rubin A., Riznichenko G. Mathematical Biophysics. New York: Springer, 2014. 273 p. DOI: 10. 1007/978-1-4614-8702-9.
  5. Фрисман Е. Я., Кулаков М. П., Ревуцкая О. Л., Жданова О. Л., Неверова Г. П. Основные направления и обзор современного состояния исследований динамики структурированных и взаимодействующих популяций // Компьютерные исследования и моделирование. 2019. Т. 11, № 1. С. 119–151. doi: 10.20537/2076-7633-2019-11-1-119-151.
  6. Lotka A. J. Elements of Physical Biology. Philadelphia, Pennsylvania: Williams & Wilkins, 1925. 495 p.
  7. Volterra V. Variazioni e fluttuazioni del numero d’individui in specie animali conviventi // Memoria della Reale Accademia Nazionale dei Lincei. 1926. Vol. 2. P. 31–113.
  8. May R. M., Leonard W. J. Nonlinear aspects of competition between three species // SIAM Journal on Applied Mathematics. 1975. Vol. 29, no. 2. P. 243–253. doi: 10.1137/0129022.
  9. Chia-Wei C., Lih-Ing W., Sze-Bi H. On the asymmetric May–Leonard model of three competing species // SIAM Journal on Applied Mathematics. 1998. Vol. 58, no. 1. P. 211–226. DOI: 10.1137/ S0036139994272060.
  10. Antonov V., Dolicanin D., Romanovski V. G., Toth J. Invariant planes and periodic oscillations in the May–Leonard asymmetric model // MATCH Communications in Mathematical and in Computer Chemistry. 2016. Vol. 76, no. 2. P. 455–474.
  11. van der Hoff Q., Greeff J. C., Fay T. H. Defining a stability boundary for three species competition models // Ecological Modelling. 2009. Vol. 220, no. 20. P. 2640–2645. doi: 10.1016/j.ecolmodel. 2009.07.027.
  12. Hou Z., Baigent S. Heteroclinic limit cycles in competitive Kolmogorov systems // Discrete & Continuous Dynamical Systems. 2013. Vol. 33, no. 9. P. 4071–4093. doi: 10.3934/dcds.2013. 33.4071.
  13. Zeeman E. C., Zeeman M. L. An n-dimensional competitive Lotka–Volterra system is generically determined by the edges of its carrying simplex // Nonlinearity. 2002. Vol. 15, no. 6. P. 2019–2032. doi: 10.1088/0951-7715/15/6/312.
  14. Zeeman E. C., Zeeman M. L. From local to global behavior in competitive Lotka-Volterra systems // Transactions of the American Mathematical Society. 2003. Vol. 355, no. 2. P. 713–734. doi: 10.1090/s0002-9947-02-03103-3.
  15. Chen X., Jiang J., Niu L. On Lotka–Volterra equations with identical minimal intrinsic growth rate // SIAM Journal on Applied Dynamical Systems. 2015. Vol. 14, no. 3. P. 1558–1599. doi: 10.1137/15M1006878.
  16. Jiang J., Liang F. Global dynamics of 3D competitive Lotka-Volterra equations with the identical intrinsic growth rate // Journal of Differential Equations. 2020. Vol. 268, no. 6. P. 2551–2586. doi: 10.1016/j.jde.2019.09.039.
  17. Нгуен Б. Х., Ха Д. Т., Цибулин В. Г. Мультистабильность для системы трех конкурирующих видов // Компьютерные исследования и моделирование. 2022. Т. 14, № 6. С. 1325–1342. doi: 10.20537/2076-7633-2022-14-6-1325-1342.
  18. Юдович В. И. О бифуркациях при возмущениях, нарушающих косимметрию // Доклады Академии наук. 2004. Т. 398, № 1. С. 57–61.
  19. Yudovich V. I. Secondary cycle of equilibria in a system with cosymmetry, its creation by bifurcation and impossibility of symmetric treatment of it // Chaos. 1995. Vol. 5, no 2. P. 402–411. doi: 10.1063/1.166110.
  20. Епифанов А. В., Цибулин В. Г. Моделирование колебательных сценариев сосуществования конкурирующих популяций // Биофизика. 2016. Т. 61, № 4. С. 823–832.
  21. Епифанов А. В., Цибулин В. Г. О динамике косимметричных систем хищников и жертв // Компьютерные исследования и моделирование. 2017. Т. 9, № 5. С. 799–813. doi: 10.20537/2076- 7633-2017-9-5-799-813.
  22. Ха Д. Т., Цибулин В. Г. Мультистабильные сценарии для дифференциальных уравнений, описывающих динамику системы хищников и жертв // Компьютерные исследования и моделирование. 2020. Т. 12, № 6. С. 1451–1466. doi: 10.20537/2076-7633-2020-12-6-1451- 1466.
  23. Fay T. H., Greeff J. C. A three species competition model as a decision support tool // Ecological Modelling. 2008. Vol. 211, no. 1–2. P. 142–152. doi: 10.1016/j.ecolmodel.2007.08.023.
  24. Башкирцева И. А., Карпенко Л. В., Ряшко Л. Б. Стохастическая чувствительность предельных циклов модели «хищник – две жертвы» // Известия вузов. ПНД. 2010. Т. 18, № 6. С. 42–64. doi: 10.18500/0869-6632-2010-18-6-42-64.
  25. Абрамова Е. П., Рязанова Т. В. Динамические режимы стохастической модели «хищник– жертва» с учетом конкуренции и насыщения // Компьютерные исследования и моделирование. 2019. T. 11, № 3. С. 515–531. doi: 10.20537/2076-7633-2019-11-3-515-531.
  26. Bayliss A., Nepomnyashchy A. A., Volpert V. A. Mathematical modeling of cyclic population dynamics // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2019. Vol. 394. P. 56–78. doi: 10.1016/j.physd. 2019.01.010.
  27. Frischmuth K., Budyansky A. V., Tsybulin V. G. Modeling of invasion on a heterogeneous habitat: taxis and multistability // Applied Mathematics and Computation. 2021. Vol. 410. P. 126456. doi: 10.1016/j.amc.2021.126456.
  28. Будянский А. В., Цибулин В. Г. Моделирование динамики популяций на неоднородном ареале: инвазия и мультистабильность // Биофизика. 2022. Т. 67, № 1. С. 174–182. DOI: 10.31857/ S0006302922010197.
  29. Ха Т. Д., Цибулин В. Г. Мультистабильность для математической модели динамики хищников и жертв на неоднородном ареале // Современная математика. Фундаментальные направления. 2022. Т. 68, № 3. С. 509–521. doi: 10.22363/2413-3639-2022-68-3-509-521.
  30. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2001. 400 с.
  31. Waugh I., Illingworth S., Juniper M. Matrix-free continuation of limit cycles for bifurcation analysis of large thermoacoustic systems // Journal of Computational Physics. 2013. Vol. 240. P. 225–247. doi: 10.1016/j.jcp.2012.12.034.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies