New aspects of the development of Kantorovich’s one-product dynamic model of replacement of production funds

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

С научно-техническим прогрессом связано появление новой важной характеристики производства — сопоставимость времени жизни основных фондов и трудовых ресурсов. Долгое время срок службы фондов определялся лишь с точки зрения их физического износа, и этот срок значительно превышал время службы единицы трудовых ресурсов, однако в связи с развитием научно-технического прогресса срок службы фондов в большей степени стал зависеть от их морального износа. Появление новых, более совершенных технологий многократно сокращает срок службы фондов. Поэтому если в первом случае происходит замена старого оборудования на новое с теми же качественными характеристиками, то во втором — полная реконструкция фондов — наименее эффективные выводятся из производства (и в дальнейшем не используются), а высвобождающиеся трудовые ресурсы направляются на новые создаваемые фонды. В этом случае важной задачей является моделирование и оптимизация сроков службы основных производственных фондов. Вместе с тем при моделировании политики обновления фондов необходимо учитывать и сроки освоения новых фондов.

Существуют различные подходы к оцениванию сроков службы основных фондов. В частности, в теории надежности рассматриваются задачи установления назначенного срока службы технических устройств (см., например, (Смоляк, 2022a, 2022б; Jiang, Makis, Jardine, 2001; Horenbeek, Pintelon, Muchiri, 2010; Werbiṅska-Wojciechowska, 2019)).

Еще один подход к оценке сроков службы основных фондов реализуют модели с производственными фондами, дифференцированными по моментам создания (Vintage Capital Models, VCMs). Такие модели описываются нелинейными интегральными уравнениями с неизвестными в пределах интегрирования. Эти модели лежали в основе теории роста в 1960-е и получили новое развитие в 1990-е годы (Boucekkine, de La Croix, Licandro, 2011; Hartman, Tan 2014; Yatsenko, Hritonenko, 2005).

Такой же подход применен авторами данной работы для определения оптимальных сроков ввода новых, более совершенных фондов и вывода устаревших с использованием (в качестве критерия оптимальности) принципа дифференциальной оптимизации, предложенного Л. В. Канторовичем (Канторович, Горьков, 1959; Канторович, Жиянов, 1973).

В данной статье для модели, разработанной ранее при условии неубывания трудовых ресурсов (Бекларян, Борисова, 2002), получены решения и в случае их убывания, представлены результаты численной реализации решения и намечены этапы дальнейшей работы.

МОДЕЛЬ КАНТОРОВИЧА

В работе (Канторович, Жиянов, Хованский, 1978) описана однопродуктовая динамическая модель экономики, для исследования которой был применен принцип дифференциальной оптимизации, согласно которому «политика вывода морально устаревших фондов является оптимальной, если она обеспечивает в каждый момент времени максимальный темп роста национального дохода».

Рассматривается система, в которой производится один продукт с двумя главными производственными факторами — производственные фонды, дифференцированные по моментам их создания, и трудовые ресурсы, измеряемые числом трудовых единиц. Предполагается, что система обладает высокими темпами обновления технологий.

Эффективность производства в каждый момент времени $t$ определяется производственной функцией $U\left(x,y,\tau \right)$, выражающей объем чистого продукта, создаваемого трудом $y$ (в единицу времени) при использовании производственных фондов объема $x$ (созданных в момент $\tau \left(\tau \le t\right)$). Предполагается, что функция $U$ монотонно возрастает по $\tau$, что отражает увеличение эффективности более новых фондов под действием технического прогресса. Кроме того, функция $U$ является линейно-однородной и выпуклой по первым двум аргументам.

Функция $\chi \left(t\right)$ задает интенсивность ввода капиталовложений, идущих на увеличение фондов и замену выбывающих из производства фондов, т. е. объем фондов, введенных в производство во временном интервале $\left[t, t+dt\right]$, равен $\chi \left(t\right)dt$. Функция $\chi \left(t\right)$ предполагается либо экзогенно заданной, либо составляет постоянную часть производимого в каждый момент времени t чистого продукта.

Количество трудовых ресурсов, занятых на создаваемых фондах, определяется интенсивностью их ввода $\phi \left(t\right)$, т. е. предполагается, что трудовые ресурсы, введенные во временном интервале $\left[t, t+dt\right]$, равны $\phi \left(t\right)dt$ единицам. Функция $\phi \left(t\right)$ является эндогенной. Общее количество трудовых ресурсов $T\left(t\right)$ в момент времени t задано.

В модели предполагается, что технический прогресс и рост фондовооруженности приводят к необходимости замены устаревших фондов. В результате наименее эффективные фонды непрерывно выводятся из производства и в дальнейшем не используются. Наиболее старые фонды (имеющие самый ранний период создания среди фондов, занятых в процессе производства на момент времени t) будут выводиться в первую очередь. Политика вывода из производства устаревших фондов характеризуется функцией $m\left(t\right)$, определяющей момент создания фондов, выводимых из производства в момент времени $t$ ($m\left(t\right)<t$). Функцию $m\left(t\right)$ необходимо найти.

Количество чистого продукта $P\left(t\right)$, производимого на фондах, участвующих в производстве в момент времени t, определяется формулой

$P\left(t\right)=\underset{m\left(t\right)}{\overset{t}{}}U\left(\chi \left(\tau \right),\phi \left(\tau \right),\tau \right)d\tau .$

При этом переменные модели подчинены балансовым уравнениям:

• уравнение баланса трудовых ресурсов — $\underset{m\left(t\right)}{\overset{t}{}}\phi \left(\tau \right)d\tau =T\left(t\right);$
• уравнение баланса по фондам (в случае когда капиталовложения есть часть национального дохода) — $\chi \left(t\right)=\vartheta \underset{m\left(t\right)}{\overset{t}{}}U\left(\chi \left(\tau \right),\phi \left(\tau \right),\tau \right)d\tau ,0<\vartheta <1;$
• переменные модели должны удовлетворять уравнению дифференциальной оптимизации, отражающему принятый в модели критерий оптимизации — $\partial U(\chi \left(t\right),\phi \left(t\right),t)/\partial \phi =U(\chi \left(m\left(t\right)\right),\phi \left(m\left(t\right)\right),t)/\phi (m\left(t\right).$

В (Канторович, Жиянов, Хованский, 1978) получено явное решение для случая экзогенно заданной функции капиталовложений, производственной функции в виде функции Кобба–Дугласа и при неизменных во времени трудовых ресурсах, отмечена также устойчивость функции $m\left(t\right)$ относительно начальных данных. Исследовано асимптотическое поведение решений модели при различном виде экзогенно задаваемых функций, характеризующих научно-технический прогресс и интенсивность ввода капиталовложений:

1. в случае степенного роста функция $m\left(t\right)$ при $t\to +\infty$ асимптотически приближается к линейной функции $m\left(t\right)\approx at+b, a<1$;
2. в случае экспоненциального роста при $t\to +\infty$ функция $m\left(t\right)$ асимптотически приближается к функции с постоянным запаздыванием $m\left(t\right)\approx t-A, A>0$; при этом функция $\phi \left(t\right)$ выходит на периодический режим с периодом, равным $A$.

Для случая экспоненциального роста трудовых ресурсов также найдено явное решение, причем функция $m\left(t\right)$ является линейной функцией с постоянным запаздыванием.

РАЗВИТИЕ МОДЕЛИ КАНТОРОВИЧА

В модели Канторовича предполагается, что фонды вводятся в производство мгновенно, т. е. период ввода фондов на проектную мощность не учитывается. Заметим, что в работе (Канторович, Жиянов, 1973) была рассмотрена возможность учета периода создания новых фондов, т. е. время их строительства и освоения, однако считалось, что этот период является постоянным.

Будем предполагать, что фонды, создаваемые в каждый момент времени, начинают отдачу не сразу, так как требуется определенное время на их внедрение в производство и освоение. Политика ввода в производство новых фондов характеризуется функцией $\alpha \left(t\right)$, определяющей момент начала внедрения фондов, которые начнут давать отдачу с момента времени $t$. Функцию $\alpha \left(t\right)$ необходимо найти. Из содержательного смысла функций $m\left(t\right)$ и $\alpha \left(t\right)$ следует, что они должны удовлетворять условиям $m\left(t\right)\le \alpha \left(t\right)\le t$, ${\alpha }^{\text{'}}\left(t\right)\ge 0$. Кроме того, при выводе старых фондов введем технологические ограничения, которые выражаются в скорости замещения устаревших фондов во времени, т. е. существует константа $M$ ($M\gg 1$) такая, что $0\le m^{\text{'}}\left(t\right)\le M$.

Таким образом, в каждый момент времени существует два типа основных фондов: действующие фонды и осваиваемые фонды. В связи с этим появляется необходимость разделения объема трудовых ресурсов на активные (занятые на действующих фондах в момент времени $t$) и пассивные (задействованные на осваиваемых фондах в момент времени $t$) трудовые ресурсы. $T_a\left(t\right)$ — активные трудовые ресурсы, т. е. задействованные в производстве в момент времени $t$, а $T_p\left(t\right)$ — пассивные трудовые ресурсы, т. е. задействованы на вводимых фондах в момент времени $t$. Предполагается, что оба вида трудовых ресурсов не убывают.

Будем предполагать, что функция $\chi \left(t\right)$ задается экзогенно и является абсолютно непрерывной, монотонно возрастающей с производной непрерывной справа.
Тогда модель будет иметь следующий вид.

Национальный доход в каждый момент времени $t$ вычисляется по формуле

$P\left(t\right)={\int }_{m\left(t\right)}^{\alpha \left(t\right)}U\left(\chi \left(\tau \right),\phi \left(\tau \right),\tau \right)d\tau ,$ (1)

баланс активных трудовых ресурсов —

${\int }_{m\left(t\right)}^{\alpha \left(t\right)}\phi \left(\tau \right)d\tau =T_a\left(t\right),$ (2)

баланс пассивных трудовых ресурсов —

${\int }_{\alpha \left(t\right)}^t\phi \left(\tau \right)d\tau =T_p\left(t\right).$ (3)

Ограничения на скорость процедуры замещения устаревших фондов и ввода новых

$0\le m^{\text{'}}\left(t\right)\le M,{\alpha }^{\text{'}}\left(t\right)\ge 0.$ (4)

Введем вектор-функцию $\gamma (•)=\left\{m(•),\alpha (•),\phi (•)\right\}$, где $m\left(t\right)$, $\alpha \left(t\right)$ — абсолютно непрерывные на $[t_0,+\infty )$ функции с непрерывной справа производной; $\phi \left(t\right)$, $t\in [t_0, +\infty )$ — функция ограниченной вариации, непрерывная справа. Вектор-функцию $\gamma (•)$ будем называть траекторией.

Политика выбора оптимальной траектории основывается на принципе дифференциальной оптимизации, а именно стратегия выбора переменных модели должна быть такова, чтобы в каждый момент времени обеспечить максимальный темп роста национального дохода.

Траектория $\gamma \left(t\right)$ в точке $t\in [t_0, +\infty )$ удовлетворяет принципу дифференциальной оптимизации, если $\forall t\in [t_0, +\infty )$ функционал ${P^{\text{'}}}_{\gamma }\left(t\right)$ относительно ${\alpha }^{\text{'}}\left(t\right)$, $m^{\text{'}}\left(t\right)$, $\phi \left(t\right)$ принимает максимальное значение

$U(\chi \left(\alpha \left(t)\right),\phi \left(\alpha \left(t\right)\right),\alpha \left(t\right)\right){\alpha }^{\text{'}}\left(t\right)-U(\chi \left(m\left(t)\right),\phi \left(m\left(t\right)\right),m\left(t\right)\right)m^{\text{'}}\left(t\right)\to \underset{{\alpha }^{\text{'}}\left(t\right),m^{\text{'}}\left(t\right),\phi \left(t\right)}{\max }$ (5)

вдоль траектории $\gamma \left(t\right)=\left\{m\left(t\right),\alpha \left(t\right),\phi \left(t\right)\right\},$ удовлетворяющей ограничениям:

$\phi \left(\alpha \left(t\right)\right){\alpha }^{\text{'}}\left(t\right)-\phi \left(m\left(t\right)\right)m^{\text{'}}\left(t\right)={T^{\text{'}}}_a\left(t\right),$ (6)

$\phi \left(t\right)-\phi \left(\alpha \left(t\right)\right){\alpha }^{\text{'}}\left(t\right)={T^{\text{'}}}_p\left(t\right),$ (7)

$0\le m^{\text{'}}\left(t\right)\le M,{\alpha }^{\text{'}}\left(t\right)\ge 0.$, (8)

при заданном начальном состоянии: $t_0$, $m_0=m\left(t_0\right)$, ${\alpha }_0=\alpha \left(t_0\right)$, $m_0\le {\alpha }_0\le t_0$, $m_0<t_0$; ${\phi }_0\left(t\right),t\in \left[m_0,t_0\right)$.

Для производственной функции Кобба–Дугласа в работе (Бекларян, Борисова, 2002) получено решение экстремальной задачи (5)–(8) в виде системы функционально-дифференциальных уравнений, доказаны существование и единственность решения такой системы, описаны все режимы поведения экономической системы и условия перехода с одного режима на другой.

В (Бекларян, Борисова, Хачатрян, 2012) представлены результаты численной реализации решений, полученных в (Бекларян, Борисова, 2002). Рассматривались различные варианты развития системы при экзогенно заданных уровнях научно-технического прогресса и интенсивности капиталовложений в зависимости от сценарно-задаваемого распределения трудовых ресурсов на активные и пассивные и исследовалась устойчивость системы относительно начальных значений. Численные эксперименты (проводились на условных данных в предположении экспоненциального роста экзогенно задаваемых функций) показали, что политика вывода устаревших фондов и ввода новых определяется распределением трудовых ресурсов, при этом:

1. при больших t для сроков службы и освоения фондов имеют место трендовые траектории линейного вида с постоянным запаздыванием, вдоль которых происходит чередование интервалов освоения новых, более совершенных фондов и активного выведения старых фондов (переход с одного режима на другой в этом случае определяется соотношением капиталовооруженностей трудовых ресурсов на осваиваемых фондах и на задействованных в производстве трудовых ресурсах);
2. при увеличении доли активных трудовых ресурсов продолжительность периодов освоения и активного выведения устаревших фондов уменьшается;
3. увеличение доли активных трудовых ресурсов ведет к уменьшению как сроков службы фондов, так и срока освоения новых фондов, при этом срок эксплуатации фондов увеличивается.

В работе (Бекларян, Борисова, Хачатрян, 2012) модель исследовалась и с применением интегрального принципа оптимизации — стратегия выбора переменных модели должна быть такова, чтобы обеспечить максимальный национальный доход за плановый период времени. Кроме того, рассматривалась возможность распределения трудовых ресурсов на активные и пассивные внутри системы в зависимости от параметра, характеризующего вклад в доход осваиваемых фондов.

ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИ В СЛУЧАЕ СОКРАЩЕНИЯ ТРУДОВЫХ РЕСУРСОВ

В модели (1)–(4) предполагалось, что функция, определяющая объем трудовых ресурсов в каждый момент времени t, является неубывающей. Однако в современных реалиях это условие не всегда выполняется. В частности, в связи с интенсивным развитием научно-технического прогресса в сфере автоматизации производства в обрабатывающей промышленности в последние годы наблюдается монотонное сокращение занятости на фоне растущего выпуска и роста капиталовложений (см., например, (Колесникова, Маслова, Околелых, 2022; Кондратьев, 2023; Смирных, Емелина, 2021)).

В работе (Бекларян, Борисова, 2002) решение экстремальной задачи (5)–(8) получено для случая, когда трудовые ресурсы (активные и пассивные) не убывают. При этом условии доказано, что функция $\phi \left(t\right)$, определяющая интенсивность ввода трудовых ресурсов, является неотрицательной.

Рассмотрим случай, когда трудовые ресурсы убывают во времени. Покажем, что теорема эквивалентности (Бекларян, Борисова, 2002, теорема 1) для случая неотрицательности функции $\phi \left(t\right)$ справедлива и в случае, когда $\phi \left(t\right)$ является отрицательной. При этом будем предполагать, что темп роста национального дохода положительный, т. е. ${P^{\text{'}}}_{\gamma }\left(t\right)>0$.

Исследуем при каждом фиксированном $t\in \left[t_0, +\infty \right)$ экстремальную задачу:

$U(\chi \left(\alpha \left(t)\right),\phi \left(\alpha \left(t\right)\right),\alpha \left(t\right)\right)u-U(\chi \left(m\left(t)\right),\phi \left(m\left(t\right)\right),m\left(t\right)\right)v\to \underset{u,v,w}{\max },$ (9)

$\phi \left(\alpha \left(t\right)\right)u-\phi \left(m\left(t\right)\right)v={T^{\text{'}}}_a\left(t\right),$ (10)

$w=\phi \left(\alpha \left(t\right)\right)u+{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)\left(t\right),$ (11)

$0\le v\le M,u\ge \mathrm{0,}w<0.$ (12)

Покажем, что решение $\left(v^{\text{*}},u^{\text{*}},w^{\text{*}}\right)$ экстремальной задачи (9)–(12) существует и равно $u^{\text{*}}={\alpha }^{\text{'}}\left(t\right),v^{\text{*}}=m^{\text{'}}\left(t\right),w^{\text{*}}=\phi \left(t\right)$.

Рассмотрим два случая — $\alpha \left(t\right)=t$ и $\alpha \left(t\right)<t.$

I. Пусть в точке $t\in [t_0,+\infty )$ выполняются условия $\alpha \left(t\right)=t$ (новые фонды не требуют времени для освоения) и $\phi \left(m\left(t\right)\right)<0$. Экстремальная задача (9)–(12) будет иметь вид:

$U(\chi \left(\alpha \left(t)\right),w,t\right)u-U(\chi \left(m\left(t)\right),\phi \left(m\left(t\right)\right),m\left(t\right)\right)v\to \underset{u,v,w}{\max },$ (13)

$wu-\phi \left(m\left(t\right)\right)v={T^{\text{'}}}_a\left(t\right),$ (14)

$w=wu+{T^{\text{'}}}_p\left(t\right),$ (15)

$0\le v\le M,u\ge \mathrm{0,}w<0.$ (16)

В этом случае уравнение дифференциальной оптимизации (Бекларян, Борисова, 2002) имеет вид:

$\begin{array}{c}\frac{\partial U\left(\chi \left(t\right),w,t\right)}{\partial w}\left(1-{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)/w\right)\phi \left(m\left(t\right)\right)+U\left(\chi \left(t\right),w,t\right){T^{\text{'}}}_p\left(t\right)w^{-2}\phi \left(m\left(t\right)\right)-\\ -U\left(m\left(t\right),\phi \left(m\left(t\right)\right),m\left(t\right)\right)=\mathrm{0,}\end{array}$ (17)

или

$\frac{\partial U\left(\chi \left(t\right),w,t\right)}{\partial w}\left(1-\frac{{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)}{w}\right)+\frac{U\left(\chi \left(t\right),w,t\right)}{w}\frac{{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)}{w}=\frac{U\left(\chi \left(m\left(t\right)\right),\phi \left(m\left(t\right)\right),m\left(t\right)\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}.$ (18)

В левой части уравнения (14) стоит сумма предельной эффективности активной части трудовых ресурсов и средней эффективности пассивной части трудовых ресурсов в момент времени $t$. В правой — средняя эффективность трудовых ресурсов в момент времени $m\left(t\right)$ на фондах, которые в момент времени $t$ должны быть выведены из производства. Тут возможны два случая.

А. Пусть ${T^{\text{'}}}_p\left(t\right)=0$ в точке $t\in \left[t_0,+\infty \right)$ (пассивные трудовые ресурсы не вводятся). В этом случае уравнение (17) запишется так:

$\frac{\partial U\left(\chi \left(t\right),w,t\right)}{\partial w}=\frac{U\left(\chi \left(m\left(t\right)\right),\phi \left(m\left(t\right)\right),m\left(t\right)\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)},$ (19)

т.е. предельная производительность в момент времени $t$ должна быть равна средней производительности фондов, созданных в момент времени $m\left(t\right)$.

Пусть $U\left(\chi \right(t),w,t)=f\left(t\right){\chi }^{\beta }\left(t\right){\phi }^{\delta }\left(t\right),\beta +\delta =1.$ Так как $\phi \left(t\right)<0$, но при этом $U\left(\chi \right(t),\phi (t),t)>0$, положим ${\phi }^{\delta }\left(t\right)=\left|\phi \right(t){|}^{\delta }.$ Поскольку для решения уравнения (19) должно выполняться условие $w^{*}=\phi \left(t\right)$, то

$-\delta f\left(t\right){\chi }^{\beta }\left(t\right){\left|\phi \left(t\right)\right|}^{-\beta }=f\left(m\left(t\right)\right){\chi }^{\beta }\left(m\left(t\right)\right){\left|\phi \left(m\left(t\right)\right)\right|}^{\delta }/\phi \left(m\left(t\right)\right).$ (20)

Так как $\phi \left(t\right)<0$, $\phi \left(m\left(t\right)\right)<0$, решением уравнения (20) будет —

$\phi \left(t\right)={\delta }^{1/\beta }\left[f^{1/\beta }\left(m\left(t\right)\right)\chi \left(m\left(t\right)\right)/f^{1/\beta }\left(t\right)\chi \left(t\right)\right]\phi \left(m\left(t\right)\right).$

Таким образом, вид решения для $\phi \left(t\right)$ совпадает с полученным в работе (Бекларян, Борисова, 2002), но в этом случае $\phi \left(t\right)<0$. Подставляя в (14) данное выражение и учитывая условие $0\le v\le M$ из (16), переменные модели удовлетворяют системе соотношений:

$m^{\text{'}}\left(t\right)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{0,}\text{\hspace{1em}если }{\delta }^{1/\beta }\frac{f^{1/\beta }\left(m\left(t\right)\right)\chi \left(m\left(t\right)\right)}{f^{1/\beta }\left(t\right)\chi \left(t\right)}-\frac{{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}\le \mathrm{0,}\\ {\delta }^{1/\beta }\frac{f^{1/\beta }\left(m\left(t\right)\right)\chi \left(m\left(t\right)\right)}{f^{1/\beta }\left(t\right)\chi \left(t\right)}-\frac{{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)},\text{\hspace{1em}если }0<{\delta }^{1/\beta }\frac{f^{1/\beta }\left(m\left(t\right)\right)\chi \left(m\left(t\right)\right)}{f^{1/\beta }\left(t\right)\chi \left(t\right)}-\frac{{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}<M,\\ M,\text{\hspace{1em}если }{\delta }^{1/\beta }\frac{f^{1/\beta }\left(m\left(t\right)\right)\chi \left(m\left(t\right)\right)}{f^{1/\beta }\left(t\right)\chi \left(t\right)}-\frac{{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}\ge M,\end{array}\right.$

${\alpha }^{\text{'}}\left(t\right)=\mathrm{1,}$ $\phi \left(t\right)={\delta }^{1/\beta }\left[f^{1/\beta }\left(m\left(t\right)\right)\chi \left(m\left(t\right)\right)/f^{1/\beta }\left(t\right)\chi \left(t\right)\right]\phi \left(m\left(t\right)\right).$

Б. Пусть ${T^{\text{'}}}_p\left(t\right)<0$ в точке $t\in [t_0,+\infty )$, т. е. объем пассивных трудовых ресурсов сокращается, что связано с сокращением общего количества трудовых ресурсов. Для функции $U\left(\chi \left(t\right),\phi \left(t\right),t\right)=f\left(t\right){\chi }^{\beta }\left(t\right){\left|\phi \left(t\right)\right|}^{\delta }$ уравнение (13) с учетом, что $w^{*}=\phi \left(t\right)$, можно записать в виде

$-f\left(t\right){\chi }^{\beta }\left(t\right){\left|\phi \left(t\right)\right|}^{-\beta }\left(\delta -\beta \frac{{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)}{\left|\phi \left(t\right)\right|}\right)=\frac{f\left(m\left(t\right)\right){\chi }^{\beta }\left(m\left(t\right)\right){\left|\phi \left(m\left(t\right)\right)\right|}^{\delta }}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}.$ (21)

А так как ${T^{\text{'}}}_p\left(t\right)<0$ и $\phi \left(m\left(t\right)\right)<0$, уравнение (17) можно переписать

$f\left(t\right){\chi }^{\beta }\left(t\right){\left|\phi \left(t\right)\right|}^{-\beta }\left(\delta +\beta \frac{\left|{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)\right|}{\left|\phi \left(t\right)\right|}\right)=f\left(m\left(t\right)\right){\chi }^{\beta }\left(m\left(t\right)\right){\left|\phi \left(m\left(t\right)\right)\right|}^{-\beta }.$ (22)

В (Бекларян, Борисова, 2002) доказано, что уравнение (18) однозначно разрешимо относительно $\left|\phi \right(t, m\left(t\right)\left)\right|$ и решение является положительным. Обозначим такое решение ${\phi }_{max}\left(t\right),$ тогда $w^{*}=-{\phi }_{max}\left(t\right)$. Таким образом, и в этом случае экстремальная задача (9)–(12) имеет решение, причем $\phi \left(t\right)<0$.

Подставляя выражение для ${\phi }_{max}\left(t\right)$ в выражения (14) и (15) вместо w, и, учитывая условие $0\le v\le M$ из (16), получаем, что переменные модели удовлетворяют системе соотношений:

$m^{\text{'}}\left(t\right)=\left\{\begin{array}{ccc}\mathrm{0,}& \text{если }\frac{-{\phi }_{max}\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}-\frac{{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)+{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}\le \mathrm{0,}& \\ \frac{-{\phi }_{max}\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}-\frac{{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)+{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)},& \text{если }0<\frac{-{\phi }_{max}\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}-\frac{{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)+{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}<M,& \\ M,& \text{если }\frac{-{\phi }_{max}\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}-\frac{{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)+{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}\ge M;& \end{array}\right.$

${\alpha }^{\text{'}}\left(t\right)=\left\{\begin{array}{ccc}1-\frac{{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)}{{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)+T_p^{\text{'}}\left(t\right)},& \text{если\hspace{0.33em}\hspace{0.33em} }\frac{-{\phi }_{max}\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}-\frac{{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)+{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}\le \mathrm{0,}& \\ 1+\frac{{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)}{{\phi }_{max}\left(t\right)},& \text{если \hspace{0.33em}\hspace{0.33em}}0<\frac{-{\phi }_{max}\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}-\frac{{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)+{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}<M,& \\ 1-\frac{{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)M+{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)+{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)},& \text{если \hspace{0.33em}\hspace{0.33em}}\frac{-{\phi }_{max}\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}-\frac{{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)+{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}\ge M;& \end{array}\right.$

$\phi \left(t\right)=\left\{\begin{array}{ccc}{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)+{T^{\text{'}}}_p\left(t\right),& \text{если }\frac{-{\phi }_{max}\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}-\frac{{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)+{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}\le \mathrm{0,}& \\ -{\phi }_{max}\left(t\right),& \text{если }0<\frac{-{\phi }_{max}\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}-\frac{{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)+{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}<M,& \\ \phi \left(m\left(t\right)\right)M+{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)+{T^{\text{'}}}_p\left(t\right),& \text{если }\frac{-{\phi }_{max}\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}-\frac{{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)+{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}\ge M.& \end{array}\right.$

II. Пусть в точке $t\in \left[t_0,+\infty \right)$ выполняются условия $\alpha \left(t\right)<t$, $\phi \left(m\left(t\right)\right)<0$ и $\phi (\alpha \left(t\right)<0$. Выражая из (10) u через v и подставляя полученное выражение для u в (9), получаем максимизируемый функционал в виде линейной функции от v:

$\begin{array}{c}{P^{\text{'}}}_{\gamma }\left(t\right)=\left(U(\chi \left(\alpha \left(t)\right),\phi \left(\alpha \left(t\right)\right),\alpha \left(t\right)\right)\frac{\phi \left(m\left(t\right)\right)}{\phi \left(\alpha \left(t\right)\right)}-U(\chi \left(m\left(t)\right),\phi \left(m\left(t\right)\right),m\left(t\right)\right)\right)v+\\ +U(\chi \left(\alpha \left(t)\right),\phi \left(\alpha \left(t\right)\right),\alpha \left(t\right)\right){T^{\text{'}}}_a\left(t\right)/\phi \left(\alpha \left(t\right)\right)\to \underset{v}{\max }.\end{array}$ (23)

Поскольку для v должно выполняться условие $0\le v\le M$, то ${P^{\text{'}}}_{\gamma }\left(t\right)$ принимает максимальное значение на левом или правом конце отрезка $[\mathrm{0,} M]$ — в зависимости от знака выражения $U(\chi \left(\alpha \left(t)\right), \phi \left(\alpha \left(t\right)\right), \alpha \left(t\right)\right)\phi \left(m\left(t\right)\right)/\phi \left(\alpha \left(t\right)\right)-U(\chi \left(m\left(t)\right), \phi \left(m\left(t\right)\right),m\left(t\right)\right)$.

Рассмотрим возможные варианты.

А. Пусть

$U(\chi \left(\alpha \left(t)\right),\phi \left(\alpha \left(t\right)\right),\alpha \left(t\right)\right)\phi \left(m\left(t\right)\right)/\phi \left(\alpha \left(t\right)\right)-U(\chi \left(m\left(t)\right),\phi \left(m\left(t\right)\right),m\left(t\right)\right)<\mathrm{0,}$ (24)

или

$\frac{U(\chi \left(\alpha \left(t)\right),\phi \left(\alpha \left(t\right)\right),\alpha \left(t\right)\right)\phi \left(m\left(t\right)\right)}{\left|\phi \left(\alpha \left(t\right)\right)\right|}<\frac{U(\chi \left(m\left(t)\right),\phi \left(m\left(t\right)\right),m\left(t\right)\right)}{\left|\phi \left(m\left(t\right)\right)\right|}.$

Левая часть неравенства — производительность труда на фондах, освоение которых началось в момент времени $\alpha \left(t\right)$, и они начнут давать отдачу с момента времени $t$, а правая часть — производительность труда выводимых из производства фондов в момент времени $t$. В этом случае решение о выводе устаревших фондов является нецелесообразным.

При условии (24) функционал (23) достигает максимума при $v=0$. Тогда оптимальная траектория $\gamma \left(t\right)=\left\{m\left(t\right), \alpha \left(t\right), \phi \left(t\right)\right\}$ для функции $U\left(\chi \left(t\right),\phi \left(t\right),t\right)=f\left(t\right){\chi }^{\beta }\left(t\right){\left|\phi \left(t\right)\right|}^{\delta }$ удовлетворяет системе соотношений:

$\frac{f\left(\alpha \left(t\right)\right){\chi }^{\beta }\left(\alpha \left(t\right)\right)}{{\left|\phi \left(\alpha \left(t\right)\right)\right|}^{\beta }}<\frac{f\left(m\left(t\right)\right){\chi }^{\beta }\left(m\left(t\right)\right)}{{\left|\phi \left(m\left(t\right)\right)\right|}^{\beta }},$ $m^{\text{'}}\left(t\right)=\mathrm{0,}$ ${\alpha }^{\text{'}}\left(t\right)=\frac{{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)}{\phi \left(\alpha \left(t\right)\right)},$ $\phi \left(t\right)={T^{\text{'}}}_a\left(t\right)+{T^{\text{'}}}_p\left(t\right).$

Б. В случае

$U(\chi \left(\alpha \left(t)\right),\phi \left(\alpha \left(t\right)\right),\alpha \left(t\right)\right)\phi \left(m\left(t\right)\right)\phi {\left(\alpha \left(t\right)\right)}^{-1}-U(\chi \left(m\left(t)\right),\phi \left(m\left(t\right)\right),m\left(t\right)\right)\ge 0$ (25)

неравенство можно переписать в виде

$\frac{U(\chi \left(\alpha \left(t)\right),\phi \left(\alpha \left(t\right)\right),\alpha \left(t\right)\right)\phi \left(m\left(t\right)\right)}{\left|\phi \left(\alpha \left(t\right)\right)\right|}\ge \frac{U(\chi \left(m\left(t)\right),\phi \left(m\left(t\right)\right),m\left(t\right)\right)}{\left|\phi \left(m\left(t\right)\right)\right|}.$

То есть производительность труда на фондах, освоение которых началось в момент времени $t$, и их отдача с момента времени t, — не меньше, чем производительность труда выводимых из производства фондов в момент времени t. В этом случае устаревшие фонды необходимо выводить из производства максимально быстро.

При условии (25) функционал (23) достигает максимума при $v=M$ (если в (25) имеет место равенство, то функционал достигает максимума при любом $v\in [\mathrm{0,} M]$ и принимается решение выводить фонды максимально быстро). Тогда оптимальная траектория $\gamma \left(t\right)=\left\{m\left(t\right), \alpha \left(t\right), \phi \left(t\right)\right\}$ для функции $U\left(\chi \left(t\right),\phi \left(t\right),t\right)=f\left(t\right){\chi }^{\beta }\left(t\right){\left|\phi \left(t\right)\right|}^{\delta }$, удовлетворяет системе соотношений:

$\frac{f\left(\alpha \left(t\right)\right){\chi }^{\beta }\left(\alpha \left(t\right)\right)}{{\left|\phi \left(\alpha \left(t\right)\right)\right|}^{\beta }}\ge \frac{f\left(m\left(t\right)\right){\chi }^{\beta }\left(m\left(t\right)\right)}{{\left|\phi \left(m\left(t\right)\right)\right|}^{\beta }},$

$m^{\text{'}}\left(t\right)=M,$ ${\alpha }^{\text{'}}\left(t\right)=\frac{\phi \left(m\left(t\right)\right)M}{\phi \left(\alpha \left(t\right)\right)}+\frac{{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)}{\phi \left(\alpha \left(t\right)\right)},$ $\phi \left(t\right)=\phi \left(m\left(t\right)\right)M+{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)+{T^{\text{'}}}_p\left(t\right).$

Таким образом, когда объем трудовых ресурсов сокращается, задача (9)–(12) имеет решение, причем функция $\phi \left(t\right)<0.$

Итак, переменные $m\left(t\right), \alpha \left(t\right), \phi \left(t\right)$ в каждый момент времени $t\in \left[{\text{t}}_0,+\infty \right)$, должны удовлетворять системе уравнений

$\left\{m^{\text{'}}\left(t\right),{\alpha }^{\text{'}}\left(t\right),\phi \left(t\right)\right\}:$ (26)

$–m^{\text{'}}\left(t\right)$:

$m^{\text{'}}\left(t\right)=\mathrm{0,}$ если $\alpha \left(t\right)=t,\frac{-{\phi }_{max}\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}-\frac{{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)+{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}\le \mathrm{0,}$

$m^{\text{'}}\left(t\right)=\frac{-{\phi }_{max}\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}-\frac{{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)+{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)},$ если $\alpha \left(t\right)=t,0<\frac{-{\phi }_{max}\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}-\frac{{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)+{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}<M,$

$m^{\text{'}}\left(t\right)=M$ если $\alpha \left(t\right)=t,\frac{-{\phi }_{max}\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}-\frac{{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)+{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}\ge M,$

$m^{\text{'}}\left(t\right)=0$, если $\alpha \left(t\right)<t,\frac{f\left(\alpha \left(t\right)\right){\chi }^{\beta }\left(\alpha \left(t\right)\right)}{{\left|\phi \left(\alpha \left(t\right)\right)\right|}^{\beta }}<\frac{f\left(m\left(t\right)\right){\chi }^{\beta }\left(m\left(t\right)\right)}{{\left|\phi \left(m\left(t\right)\right)\right|}^{\beta }},$

$m^{\text{'}}\left(t\right)=M$, если $\alpha \left(t\right)<t,\frac{f\left(\alpha \left(t\right)\right){\chi }^{\beta }\left(\alpha \left(t\right)\right)}{{\left|\phi \left(\alpha \left(t\right)\right)\right|}^{\beta }}\ge \frac{f\left(m\left(t\right)\right){\chi }^{\beta }\left(m\left(t\right)\right)}{{\left|\phi \left(m\left(t\right)\right)\right|}^{\beta }};$

$–{\alpha }^{\text{'}}\left(t\right)$:

${\alpha }^{\text{'}}\left(t\right)=1-\frac{{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)}{{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)+{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)},$ если $\alpha \left(t\right)=t,\frac{-{\phi }_{max}\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}-\frac{{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)+{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}\le \mathrm{0,}$

${\alpha }^{\text{'}}\left(t\right)=1+\frac{T_p^{\text{'}}\left(t\right)}{{\phi }_{max}\left(t\right)},$ если $\alpha \left(t\right)=t,0<\frac{-{\phi }_{max}\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}-\frac{T_a^{\text{'}}\left(t\right)+T_p^{\text{'}}\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}<M,$

${\alpha }^{\text{'}}\left(t\right)=1-\frac{{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)M+{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)+{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)},$ если $\alpha \left(t\right)=t,\frac{-{\phi }_{max}\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}-\frac{{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)+{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}\ge M,$

${\alpha }^{\text{'}}\left(t\right)=\frac{{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)}{\phi \left(\alpha \left(t\right)\right)},$ если $\alpha \left(t\right)<t,\frac{f\left(\alpha \left(t\right)\right){\chi }^{\beta }\left(\alpha \left(t\right)\right)}{{\left|\phi \left(\alpha \left(t\right)\right)\right|}^{\beta }}<\frac{f\left(m\left(t\right)\right){\chi }^{\beta }\left(m\left(t\right)\right)}{{\left|\phi \left(m\left(t\right)\right)\right|}^{\beta }},$

${\alpha }^{\text{'}}\left(t\right)=\frac{\phi \left(m\left(t\right)\right)M}{\phi \left(\alpha \left(t\right)\right)}+\frac{{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)}{\phi \left(\alpha \left(t\right)\right)},$ если $\alpha \left(t\right)<t,\frac{f\left(\alpha \left(t\right)\right){\chi }^{\beta }\left(\alpha \left(t\right)\right)}{{\left|\phi \left(\alpha \left(t\right)\right)\right|}^{\beta }}\ge \frac{f\left(m\left(t\right)\right){\chi }^{\beta }\left(m\left(t\right)\right)}{{\left|\phi \left(m\left(t\right)\right)\right|}^{\beta }};$

$–\phi \left(t\right):$

$\phi \left(t\right)={T^{\text{'}}}_a\left(t\right)+{T^{\text{'}}}_p\left(t\right),$ если $\alpha \left(t\right)=t,\frac{-{\phi }_{max}\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}-\frac{{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)+T_p^{\text{'}}\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}\le \mathrm{0,}$

$\phi \left(t\right)=-{\phi }_{max}\left(t\right),$ если $\alpha \left(t\right)=t,0<\frac{-{\phi }_{max}\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}-\frac{{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)+{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}<M,$

$\phi \left(t\right)=\phi \left(m\left(t\right)\right)M+{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)+{T^{\text{'}}}_p\left(t\right),$ если $\alpha \left(t\right)=t,\frac{-{\phi }_{max}\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}-\frac{{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)+{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}\ge M,$

$\phi \left(t\right)={T^{\text{'}}}_a\left(t\right)+{T^{\text{'}}}_p\left(t\right),$ если $\alpha \left(t\right)<t,\frac{f\left(\alpha \left(t\right)\right){\chi }^{\beta }\left(\alpha \left(t\right)\right)}{{\left|\phi \left(\alpha \left(t\right)\right)\right|}^{\beta }}<\frac{f\left(m\left(t\right)\right){\chi }^{\beta }\left(m\left(t\right)\right)}{{\left|\phi \left(m\left(t\right)\right)\right|}^{\beta }},$

$\phi \left(t\right)=\phi \left(m\left(t\right)\right)M+{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)+{T^{\text{'}}}_p\left(t\right),$ если $\alpha \left(t\right)<t,\frac{f\left(\alpha \left(t\right)\right){\chi }^{\beta }\left(\alpha \left(t\right)\right)}{{\left|\phi \left(\alpha \left(t\right)\right)\right|}^{\beta }}\ge \frac{f\left(m\left(t\right)\right){\chi }^{\beta }\left(m\left(t\right)\right)}{{\left|\phi \left(m\left(t\right)\right)\right|}^{\beta }},$

где ${\phi }_{max}\left(t\right)$ — решение уравнения

$f\left(t\right){\chi }^{\beta }\left(t\right){\left|\phi \left(t\right)\right|}^{-\beta }\left(\delta +\beta \frac{\left|{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)\right|}{\left|\phi \left(t\right)\right|}\right)=f\left(m\left(t\right)\right){\chi }^{\beta }\left(m\left(t\right)\right){\left|\phi \left(m\left(t\right)\right)\right|}^{-\beta }.$ (27)

Из пунктов I и II следует, что оптимальная траектория $\gamma (•)$ есть решение системы уравнений (26) и траектория, являющаяся решением данной системы, удовлетворяет принципу дифференциальной оптимизации. Таким образом, в случае сокращения общего объема трудовых ресурсов и неубывания выпуска и капиталовложений в основные фонды справедлива следующая теорема эквивалентности.

Теорема эквивалентности. Пусть заданы начальные данные $m_0,{\alpha }_0,t_0,m_0<{\alpha }_0\le t_0$, краевая непрерывная функция ${\phi }_0\left(t\right)<0$, $t\in [m_0,t_0)$ и траектория $\gamma (•)=\left\{m\right(•),\alpha (•),\phi (•\left)\right\}$, где $m\left(t\right)$, $\alpha \left(t\right)$ — абсолютно непрерывные на $[t_0,+\infty )$ функции с непрерывной справа производной, удовлетворяющие условиям $m\left(t\right)\le \alpha \left(t\right)\le t$, $m\left(t\right)<t$ и начальным значениям $m\left(t_0\right)=m_0$, $\alpha \left(t_0\right)={\alpha }_0$, $\phi \left(t\right)$ — кусочно-непрерывная справа функция такая, что $\phi \left(t\right)\equiv {\phi }_0\left(t\right)$, $t\in [m_0,t_0)$. Тогда для любого $t\in [t_0,+\infty )$ траектория $\gamma \left(t\right)$ удовлетворяет принципу дифференциальной оптимизации тогда и только тогда, когда в точке $t$ справедлива система уравнений (26).

РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОЙ РЕАЛИЗАЦИИ МОДЕЛИ

Учитывая полученное выше решение и результаты работы (Бекларян, Борисова, 2002), мы можем выписать систему уравнений, позволяющую определять переменные $m\left(t\right), \alpha \left(t\right), \phi \left(t\right)$ в каждый момент времени $t\in [t_0, +\infty )$ как в условиях роста, так и сокращения трудовых ресурсов:

$\left\{m^{\text{'}}\left(t\right),{\alpha }^{\text{'}}\left(t\right),\phi \left(t\right)\right\}:$ (28)

– $m^{\text{'}}\left(t\right):$

$m^{\text{'}}\left(t\right)=\mathrm{0,}$ если $\alpha \left(t\right)=t,\phi \left(m\left(t\right)\right)\ne \mathrm{0,}{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)<\mathrm{0,}{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)<\mathrm{0,}\frac{-{\phi }_{max}\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}-\frac{{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)+{{T^{\text{'}}}_p}_{}^{\text{'}}\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}\le 0;$

$m^{\text{'}}\left(t\right)=\frac{-{\phi }_{max}\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}-\frac{{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)+{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)};$ если $\alpha \left(t\right)=t,$ $\phi \left(m\left(t\right)\right)\ne \mathrm{0,}$ ${T^{\text{'}}}_a\left(t\right)<\mathrm{0,}$ ${T^{\text{'}}}_p\left(t\right)<\mathrm{0,}$ $0<\frac{-{\phi }_{max}\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}-\frac{T_a^{\text{'}}\left(t\right)+T_p^{\text{'}}\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}<M;$ 

$m^{\text{'}}\left(t\right)=M,$ если $\alpha \left(t\right)=t,$ $\phi \left(m\left(t\right)\right)\ne \mathrm{0,}$ $T_a^{\text{'}}\left(t\right)<\mathrm{0,}$ ${T^{\text{'}}}_p\left(t\right)<\mathrm{0,}$ $\frac{-{\phi }_{max}\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}-\frac{T_a^{\text{'}}\left(t\right)+T_p^{\text{'}}\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}\ge M;$

$m^{\text{'}}\left(t\right)=\mathrm{0,}$ если $\alpha \left(t\right)=t,$ $\phi \left(m\left(t\right)\right)\ne \mathrm{0,}$ $T_a^{\text{'}}\left(t\right)\ge \mathrm{0,}$ $T_p^{\text{'}}\left(t\right)\ge \mathrm{0,}$ $\frac{{\phi }_{max}\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}-\frac{T_a^{\text{'}}\left(t\right)+T_p^{\text{'}}\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}\le \mathrm{0,}$

$m^{\text{'}}\left(t\right)=\frac{-{\phi }_{max}\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}-\frac{{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)+{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)},$ если $\alpha \left(t\right)=t,\phi \left(m\left(t\right)\right)\ne \mathrm{0,}{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)\ge \mathrm{0,}{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)\ge \mathrm{0,}0<\frac{{\phi }_{max}\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}-\frac{{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)+{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}<M;$

$m^{\text{'}}\left(t\right)=M,$ если $\alpha \left(t\right)=t,\phi \left(m\left(t\right)\right)\ne \mathrm{0,}{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)\ge \mathrm{0,}{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)\ge \mathrm{0,}\frac{{\phi }_{max}\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}-\frac{{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)+{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}\ge M;$

$m^{\text{'}}\left(t\right)=\mathrm{0,}$ если $\alpha \left(t\right)=t,\phi \left(m\left(t\right)\right)=\mathrm{0,}$

$m^{\text{'}}\left(t\right)=\mathrm{0,}$ если $\alpha \left(t\right)<t,\phi \left(m\left(t\right)\right)\ne \mathrm{0,}\phi \left(\alpha \left(t\right)\right)\ne \mathrm{0,}\frac{f\left(\alpha \left(t\right)\right){\chi }^{\beta }\left(\alpha \left(t\right)\right)}{{\left|\phi \left(\alpha \left(t\right)\right)\right|}^{\beta }}<\frac{f\left(m\left(t\right)\right){\chi }^{\beta }\left(m\left(t\right)\right)}{{\left|\phi \left(m\left(t\right)\right)\right|}^{\beta }},$

$m^{\text{'}}\left(t\right)=M,$ если $\alpha \left(t\right)<t,\phi \left(m\left(t\right)\right)\ne \mathrm{0,}\phi \left(\alpha \left(t\right)\right)\ne \mathrm{0,}\frac{f\left(\alpha \left(t\right)\right){\chi }^{\beta }\left(\alpha \left(t\right)\right)}{{\left|\phi \left(\alpha \left(t\right)\right)\right|}^{\beta }}\ge \frac{f\left(m\left(t\right)\right){\chi }^{\beta }\left(m\left(t\right)\right)}{{\left|\phi \left(m\left(t\right)\right)\right|}^{\beta }};$

$m^{\text{'}}\left(t\right)=\mathrm{0,}$ если $\alpha \left(t\right)<t,\phi \left(m\left(t\right)\right)=0;$

– ${\alpha }^{\text{'}}\left(t\right):$

${\alpha }^{\text{'}}\left(t\right)=1-{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)/\left({T^{\text{'}}}_a\left(t\right)+{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)\right),$ если $\alpha \left(t\right)=t,\phi \left(m\left(t\right)\right)\ne \mathrm{0,}{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)<\mathrm{0,}{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)<\mathrm{0,}\frac{-{\phi }_{max}\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}-\frac{{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)+{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}\le \mathrm{0,}$

${\alpha }^{\text{'}}\left(t\right)=1+{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)/{\phi }_{max}\left(t\right),$ если $\alpha \left(t\right)=t,\phi \left(m\left(t\right)\right)\ne \mathrm{0,}{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)<\mathrm{0,}{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)<\mathrm{0,}0<\frac{-{\phi }_{max}\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}-\frac{{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)+{{T^{\text{'}}}_p}_{}^{\text{'}}\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}<M;$

${\alpha }^{\text{'}}\left(t\right)=1-{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)/\left(\phi \left(m\left(t\right)\right)M+{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)+{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)\right);$ если $\alpha \left(t\right)=t,\phi \left(m\left(t\right)\right)\ne \mathrm{0,}{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)<\mathrm{0,}{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)<\mathrm{0,}\frac{-{\phi }_{max}\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}-\frac{{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)+{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}\ge M;$

${\alpha }^{\text{'}}\left(t\right)=1-{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)/\left({T^{\text{'}}}_a\left(t\right)+{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)\right),$ если $\alpha \left(t\right)=t,\phi \left(m\left(t\right)\right)\ne \mathrm{0,}{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)\ge \mathrm{0,}{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)\ge \mathrm{0,}\frac{{\phi }_{max}\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}-\frac{{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)+{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}\le \mathrm{0,}$

${\alpha }^{\text{'}}\left(t\right)=1-{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)/{\phi }_{max}\left(t\right),$ если $\alpha \left(t\right)=t,\phi \left(m\left(t\right)\right)\ne \mathrm{0,}{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)\ge \mathrm{0,}{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)\ge \mathrm{0,}0<\frac{{\phi }_{max}\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}-\frac{{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)+{{T^{\text{'}}}_p}_{}^{\text{'}}\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}<M,$

${\alpha }^{\text{'}}\left(t\right)=1-\frac{{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)M+{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)+{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)},$ если $\alpha \left(t\right)=t,\phi \left(m\left(t\right)\right)\ne \mathrm{0,}{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)\ge \mathrm{0,}{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)\ge \mathrm{0,}\frac{{\phi }_{max}\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}-\frac{{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)+{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}\ge M,$

${\alpha }^{\text{'}}\left(t\right)={T^{\text{'}}}_a\left(t\right)/\left({T^{\text{'}}}_a\left(t\right)+T_p^{\text{'}}\left(t\right)\right),$ если $\alpha \left(t\right)=t,\phi \left(m\left(t\right)\right)=\mathrm{0,}{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)+{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)\ne 0;$

${\alpha }^{\text{'}}\left(t\right)=\mathrm{1,}$ если $\alpha \left(t\right)=t,\phi \left(m\left(t\right)\right)=\mathrm{0,}{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)+{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)=\mathrm{0,}$

${\alpha }^{\text{'}}\left(t\right)={T^{\text{'}}}_a\left(t\right)/\phi \left(\alpha \left(t\right)\right),$ если $\alpha \left(t\right)<t,\phi \left(m\left(t\right)\right)\ne \mathrm{0,}\phi \left(\alpha \left(t\right)\right)\ne \mathrm{0,}\frac{f\left(\alpha \left(t\right)\right){\chi }^{\beta }\left(\alpha \left(t\right)\right)}{{\left|\phi \left(\alpha \left(t\right)\right)\right|}^{\beta }}<\frac{f\left(m\left(t\right)\right){\chi }^{\beta }\left(m\left(t\right)\right)}{{\left|\phi \left(m\left(t\right)\right)\right|}^{\beta }};$

${\alpha }^{\text{'}}\left(t\right)=\frac{\phi \left(m\left(t\right)\right)M}{\phi \left(\alpha \left(t\right)\right)}+\frac{{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)}{\phi \left(\alpha \left(t\right)\right)},$ если $\alpha \left(t\right)<t,\phi \left(m\left(t\right)\right)\ne \mathrm{0,}\phi \left(\alpha \left(t\right)\right)\ne \mathrm{0,}\frac{f\left(\alpha \left(t\right)\right){\chi }^{\beta }\left(\alpha \left(t\right)\right)}{{\left|\phi \left(\alpha \left(t\right)\right)\right|}^{\beta }}\ge \frac{f\left(m\left(t\right)\right){\chi }^{\beta }\left(m\left(t\right)\right)}{{\left|\phi \left(m\left(t\right)\right)\right|}^{\beta }};$

${\alpha }^{\text{'}}\left(t\right)={T^{\text{'}}}_a\left(t\right)/\phi \left(\alpha \left(t\right)\right),$ если $\alpha \left(t\right)<t,\phi \left(m\left(t\right)\right)=\mathrm{0,}\phi \left(\alpha \left(t\right)\right)\ne 0;$

${\alpha }^{\text{'}}\left(t\right)=\mathrm{1,}$ если $\alpha \left(t\right)<t,\phi \left(m\left(t\right)\right)=\mathrm{0,}\phi \left(\alpha \left(t\right)\right)=0;$

– $\phi \left(t\right):$

$\phi \left(t\right)={T^{\text{'}}}_a\left(t\right)+{T^{\text{'}}}_p\left(t\right),$ если $\alpha \left(t\right)=t,\phi \left(m\left(t\right)\right)\ne \mathrm{0,}{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)<\mathrm{0,}{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)<\mathrm{0,}\frac{-{\phi }_{max}\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}-\frac{{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)+{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}\le 0;$

$\phi \left(t\right)=-{\phi }_{max}\left(t\right),$ если $\alpha \left(t\right)=t,\phi \left(m\left(t\right)\right)\ne \mathrm{0,}{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)<\mathrm{0,}{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)<\mathrm{0,}0<\frac{-{\phi }_{max}\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}-\frac{{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)+{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}<M;$

$\phi \left(t\right)=\phi \left(m\left(t\right)\right)M+{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)+{T^{\text{'}}}_p\left(t\right),$ если $\alpha \left(t\right)=t,\phi \left(m\left(t\right)\right)\ne \mathrm{0,}{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)<\mathrm{0,}{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)<\mathrm{0,}\frac{-{\phi }_{max}\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}-\frac{{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)+{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}\ge M;$

$\phi \left(t\right)={T^{\text{'}}}_a\left(t\right)+{T^{\text{'}}}_p\left(t\right),$ если $\alpha \left(t\right)=t,\phi \left(m\left(t\right)\right)\ne \mathrm{0,}{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)\ge \mathrm{0,}{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)\ge \mathrm{0,}\frac{{\phi }_{max}\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}-\frac{{T^{\text{'}}}_a\left(t\right)+{T^{\text{'}}}_p\left(t\right)}{\phi \left(m\left(t\right)\right)}\le 0;$