О РАЗРЕШИМОСТИ НАЧАЛЬНЫХ И ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ АБСТРАКТНОГО ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА–ПУАССОНА–ДАРБУ
- Авторы: Глушак А.В1
-
Учреждения:
- Белгородский государственный национальный исследовательский университет
- Выпуск: Том 60, № 3 (2024)
- Страницы: 346-364
- Раздел: Статьи
- URL: https://journals.rcsi.science/0374-0641/article/view/257614
- DOI: https://doi.org/10.31857/S0374064124030057
- EDN: https://elibrary.ru/PMUKGQ
- ID: 257614
Цитировать
Аннотация
В банаховом пространстве для функционально-дифференциального уравнения, обобщающего уравнение Эйлера–Пуассона–Дарбу, рассмотрены задача Коши и граничные задачи Дирихле и Неймана. Доказано достаточное условие разрешимости задачи Коши и указан явный вид разрешающего оператора, который записан с помощью введённых автором операторных функций Бесселя и Струве. Для граничных задач в гиперболическом случае установлены достаточные условия их однозначной разрешимости, налагаемые на операторный коэффициент уравнения и граничные элементы.
Об авторах
А. В Глушак
Белгородский государственный национальный исследовательский университет
Email: aleglu@mail.ru
Список литературы
- Глушак, А.В. Критерий разрешимости задачи Коши для абстрактного уравнения Эйлера– Пуассона–Дарбу / А.В. Глушак, О.А. Покручин // Дифференц. уравнения. — 2016. — Т. 52, № 1. — С. 41–59.
- Глушак, А.В. Операторная функция Бесселя / А.В. Глушак // Докл. РАН. — 1997. — Т. 352, № 5. — С. 587–589.
- Терсенов, С.А. Введение в теорию уравнений, вырождающихся на границе / С.А. Терсенов. — Новосибирск : Новосибирский гос. ун-т, 1973. — 143 с.
- Иванов, Л.А. Задача Коши для некоторых операторов с особенностями / Л.А. Иванов // Дифференц. уравнения. — 1982. — Т. 18, № 6. — С. 1020–1028.
- Ситник, С.М. Метод операторов преобразования для дифференциальных уравнений с операторами Бесселя / С.М. Ситник, Э.Л. Шишкина. — М. : Физматлит, 2019. — 224 с.
- Шишкина, Э.Л. Общее уравнение Эйлера–Пуассона–Дарбу и гиперболические ????-потенциалы / Э.Л. Шишкина // Соврем. математика. Фунд. направления. — 2019. — Т. 65, № 2. — С. 157–338.
- Шишкина, Э.Л. Единственность решения задачи Коши для общего уравнения Эйлера–Пуассона– Дарбу / Э.Л. Шишкина // Дифференц. уравнения. — 2022. — Т. 58, № 12. — С. 1688–1693.
- Ляхов, Л.Н. Оператор Киприянова–Бельтрами с отрицательной размерностью операторов Бесселя и сингулярная задача Дирихле для ????-гармонического уравнения / Л.Н. Ляхов, Е.Л. Санина // Дифференц. уравнения. — 2020. — Т. 56, № 12. — С. 1610–1620.
- Donaldson, J.A. A singular abstract Cauchy problems / J.A. Donaldson // Proc. Nat. Acad. Sci. — 1970. — V. 66, № 2. — P. 269–274.
- Carroll, R.W. Singular and Degenerate Cauchy Problems / R.W. Carroll, R.E. Showalter. — New York : Academic Press, 1976. — 333 p.
- Bragg L.R. Some abstract Cauchy problems in exceptional cases / L.R. Bragg // Proc. Amer. Math. Soc. — 1977. — V. 65, № 1. — P. 105–112.
- Fattorini, H.O. Ordinary differential equations in linear topological space. II / H.O. Fattorini // J. Differ. Equat. — 1969. — V. 6. — P. 50–70.
- Баскаков, А.Г. Гармонический анализ косинусной и экспоненциальной операторных функций / А.Г. Баскаков // Мат. сб. Новая серия. — 1984. — Т. 166, № 1. — С. 68–95.
- Голдстейн, Дж. Полугруппы линейных операторов и их приложения / Дж. Голдстейн ; пер. с англ. В.В. Любашенко ; под ред. Ю.Л. Далецкого. — Киев : Выща школа, 1989. — 347 с.
- Васильев, В.В. Полугруппы операторов, косинус-оператор функции и линейные дифференциальные уравнения / В.В. Васильев, С.Г. Крейн, С.И. Пискарев // Итоги науки и техники. Сер. Мат. анализ. — 1990. — Т. 28. — C. 87–202.
- Глушак, А.В. Семейство операторных функций Бесселя / А.В. Глушак // Геометрия и механика. Итоги науки и техн. Сер. Соврем. математика и её прил. Темат. обз. — 2020. — Т. 187. — С. 36—43.
- Глушак, А.В. Абстрактная задача Коши для уравнения Бесселя–Струве / А.В. Глушак // Дифференц. уравнения. — 2017. — Т. 53, № 7. — С. 891–905.
- Мельникова, И.В. Интегрированные полугруппы и ????-полугруппы. Корректность и регуляризация дифференциально-операторных задач / И.В. Мельникова, А.И. Филинков // Упехи мат. наук. — 1994. — Т. 49, № 6 (300). — С. 111–150.
- Zheng, Q. Integrated cosine functions / Q. Zheng // Int. J. Math. and Math. Sci. — 1996. — V. 19, № 3. — P. 575–580.
- Zhang, J. On ????-times integrated cosine functions / J. Zhang, Q. Zheng // Math. Jap. — 1999. — V. 50. — P. 401–408.
- Kosti´c, M. Generalized semigroups and cosine functions / M. Kosti´c. — Beograd : Matematiˇcki institut SANU, 2011. — 352 p.
- Лебедев, Н.Н. Специальные функции и их приложения / Н.Н. Лебедев. — М. : Физматлит, 1963. — 359 с.
- Глушак, А.В. О связи проинтегрированной косинус-оператор-функции с операторной функцией Бесселя / А.В. Глушак // Дифференц. уравнения. — 2006. — Т. 42, № 5. — С. 583–589.
- Прудников, А.П. Интегралы и ряды. Т. 3. Специальные функции. Дополнительные главы / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. — 2-е изд. — М. : Физматлит, 2003. — 688 с.
- Дженалиев, М.Т. Нагруженные уравнения как возмущения дифференциальных уравнений / М.Т. Дженалиев, М.И. Рамазанов. — Алматы : ГЫЛЫМ, 2010. — 334 с.
- Нахушев, А.М. Нагруженные уравнения и их применение / А.М. Нахушев. — М. : Наука, 2012. — 231 с.
- Прудников, А.П. Интегралы и ряды. Элементарные функции / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. — М. : Наука, 1981. — 798 с.
- Прудников, А.П. Интегралы и ряды. Специальные функции / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. — М. : Наука, 1983. — 750 с.
- Глушак, А.В. Операторные гипергеометрические функции / А.В. Глушак // Геометрия и механика. Итоги науки и техн. Сер. Соврем. математика и её прил. Темат. обз. — 2020. — Т. 174. — С. 37–45.
- Житомирский, Я.И. Задача Коши для систем линейных уравнений в частных производных с дифференциальными операторами типа Бесселя / Я.И. Житомирский // Мат. сб. — 1955. — Т. 36, № 2. — С. 299–310.
- Иванов, В.К. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи / В.К. Иванов, И.В. Мельникова, А.И. Филинков. — М. : Физматлит, 1995. — 176 с.
- Кабанихин, С.И. Численный метод решения задачи Дирихле для волнового уравнения / С.И. Кабанихин, О.И. Криворотько // Сиб. журн. индустр. математики. — 2012. — Т. 15, № 4. — С. 90–101.
- Васильев, В.И. Решение задачи Дирихле для уравнения колебаний струны методом сопряжённых градиентов / В.И. Васильев, А.М. Кардашевский, В.В. Попов // Вестн. СВФУ. — 2015. — Т. 12, № 2. — С. 43–50.
- Глушак А.В. О разрешимости граничных задач для абстрактного уравнения Бесселя–Струве / А.В. Глушак // Дифференц. уравнения. — 2019. — Т. 55, № 8. — С. 1103–1110.
- Небольсина, М.Н. Ортогональные многочлены Чебышева и краевая задача Неймана / М.Н. Небольсина // Дифференц. уравнения. — 2010. — Т. 46, № 3. — С. 449–450.
- Glushak, A.V. and Pokruchin, O.A., Criterion for the solvability of the Cauchy problem for an abstract EulerPoisson–Darboux equation, Differ. Equat., 2016, vol. 52, no. 1, pp. 39–57.
- Glushak, A.V., The Bessel operator function, Dokl. RAN, 1997, vol. 352, no. 5, pp. 587–589.
- Tersenov, S.A., Vvedenie v teoriyu uravnenii, vyrozhdayushchikhsya na granitse (Introduction to the Theory of Equations Degenerating on the Boundary), Novosibirsk: Novosibirsk. Gos. Univ., 1973.
- Ivanov, L.A., A Cauchy problem for some operators with singularities, Differ. Equat., 1982, vol. 18, no. 6, pp. 724–731.
- Sitnik, S.M. and Shishkina, E.L., Metod operatorov preobrazovaniya dlya differentsial’nykh uravnenii s operatorami Besselya (Transformation Operator Method for Differential Equations with Bessel Operators), Moscow: Fizmatlit, 2019.
- Shishkina, E.L., The general Euler–Poisson–Darboux equation and hyperbolic ????-potentials, Sovrem. Mat. Fundam. Napravl., 2019, vol. 65, no. 2, pp. 157–338.
- Shishkina, E.L., Uniqueness of the solution of the Cauchy problem for the general Euler–Poisson–Darboux equation, Differ. Equat., 2022, vol. 58, no. 12, pp. 1673–1679.
- Lyakhov, L.N. and Sanina, E.L., Kipriyanov–Beltrami operator with negative dimension of the Bessel operators and the singular Dirichlet problem for the ????-harmonic equation, Differ. Equat., 2020, vol. 56, no. 12, pp. 1564– 1574.
- Donaldson, J.A., A singular abstract Cauchy problems, Proc. Nat. Acad. Sci., 1970, vol. 66, no. 2, pp. 269–274.
- Carroll, R.W. and Showalter, R.E., Singular and Degenerate Cauchy Problems, New York: Academic Press, 1976.
- Bragg, L.R., Some abstract Cauchy problems in exceptional cases, Proc. Amer. Math. Soc., 1977, vol. 65, no. 1, pp. 105–112.
- Fattorini, H.O., Ordinary differential equations in linear topological space. II, J. Differ. Equat., 1969, vol. 6, pp. 50–70.
- Baskakov, A.G., Harmonic analysis of cosine and exponential operator-valued functions, Math. USSR Sbornik, 1985, vol. 52, no. 1, pp. 63–90.
- Goldstein, J.A., Semigroups of Linear Operators and Applications, New York: Oxford Univ. Press, 1985.
- Vasil’ev, V.V., Krein, S.G., and Piskarev, S.I., Semigroups of operators, cosine operator functions, and linear differential equations, J. Sov. Math., 1991, vol. 54, no. 4, pp. 1042–1129.
- Glushak, A.V., Family of Bessel operator functions, Geom. Mekh. Itogi Nauki Tekh. Ser.: Sovrem. Mat. Pril. Temat. Obz., Moscow: VINITI RAN, 2020, vol. 187, pp. 36–43.
- Glushak, A.V., Abstract Cauchy problem for the Bessel–Struve equation, Differ. Equat., 2017, vol. 53, no. 7, pp. 864–878.
- Mel’nikova, I.V. and Filinkov, A.I., Integrated semigroups and ????-semigroups. Well-posedness and regularization of differential-operator problems, Russ. Math. Surveys, 1994, vol. 49, no. 6 (300), pp. 115–155.
- Zheng, Q., Integrated cosine functions, Int. J. Math. and Math. Sci., 1996, vol. 19, no. 3, pp. 575–580.
- Zhang, J. and Zheng, Q., On ????-times integrated cosine functions, Math. Jap., 1999, vol. 50, pp. 401–408.
- Kosti´c, M., Generalized semigroups and cosine functions, Beograd: Matematiˇcki institut SANU, 2011.
- Lebedev, N.N., Spetsial’nye funktsii i ikh prilozheniya (Special Functions and Their Applications), Moscow: Fizmatlit, 1963.
- Glushak, A.V., On the relationship between the integrated cosine function and the operator Bessel function, Differ. Equat., 2006, vol. 42, no. 5, pp. 619–626.
- Prudnikov, A.P., Brychkov, Yu.A., and Marichev, O.I., Integraly i ryady. T. 3. Special’nye funkcii. Dopolnitel’nyye glavy (Integrals and Series. V. 3. Special functions. Additional chapters), Moscow: Fizmatlit, 2003.
- Dzhenaliev, M.T. and Ramazanov, M.I., Nagruzhennye uravneniya kak vozmushcheniya differentsial’nykh uravnenii (Loaded Equations as Perturbations of Differential Equations), Almaty: Gylym, 2010.
- Nakhushev, A.M., Nagruzhennye uravneniya i ikh primenenie (Loaded Equations and Their Applications), Moscow: Nauka, 2012.
- Prudnikov, A.P., Brychkov, Yu.A., and Marichev, O.I., Integraly i ryady. Elementarnye funktsii (Integrals and Series. Elementary Functions), Moscow: Nauka, 1981.
- Prudnikov, A.P., Brychkov, Yu.A., and Marichev, O.I., Integraly i ryady. Spetsial’nye funktsii (Integrals and Series. Special Functions), Moscow: Nauka, 1983.
- Glushak, A.V., Operator hypergeometric functions, J. Math. Sci., 2023, vol. 272, no. 5, pp. 658–666.
- Zitomirskii, Ya.I., Cauchy problem for systems of linear partial differential equations with Bessel-type differential operators, Mat. Sb., 1955, vol. 36, no. 2, pp. 299–310.
- Ivanov, V.K., Mel’nikova, I.V., and Filinkov, A.I., Differentsial’no-operatornye uravneniya i nekorrektnye zadachi (Operator-Differential Equations and Ill-Posed Problems), Moscow: Fizmatlit, 1995.
- Kabanikhin, S.I. and Krivorot’ko, O.I., A numerical method for solving the Dirichlet problem for the wave equation, J. Appl. Ind. Math., 2012, vol. 15, no. 4, pp. 187–198.
- Vasil’ev, V.I., Kardashevskii, A.M., and Popov, V.V., Solving the Dirichlet problem for vibrating string equation by the conjugate gradient method, Vestn. Sev.-Vost. Fed. Univ., 2015, vol. 12, no. 2, pp. 43–50.
- Glushak, A.V., On the solvability of boundary value problems for an abstract Bessel–Struve equation, Differ. Equat., 2019, vol. 55, no. 8, pp. 1069–1076.
- Nebol’sina, M.N., Chebyshev orthogonal polynomials and the Neumann problem, Differ. Equat., 2010, vol. 46, no. 3, pp. 455–457.
![](/img/style/loading.gif)