Неаналитические первые интегралы аналитических систем дифференциальных уравнений в окрестности устойчивых положений равновесия

Приведены примеры аналитических систем дифференциальных уравнений в чётномерных фазовых пространствах с изолированными положениями равновесия, которые допускают неаналитические первые интегралы. Эти интегралы положительно определены в окрестности равновесий, что доказывает их устойчивость (на всей оси времени). Однако такие системы дифференциальных уравнений вообще не допускают нетривиальных первых интегралов в виде формальных степенных рядов. В частности, из устойчивости по Ляпунову равновесий аналитических систем не вытекает их формальная устойчивость. В случае нечётной размерности фазового пространства все изолированные состояния равновесия, по-видимому, неустойчивы.