Классическое решение второй смешанной задачи для телеграфного уравнения с нелинейным потенциалом
- Авторы: Корзюк В.И.1,2, Рудько Я.В.3
-
Учреждения:
- Институт математики Национальной академии наук Беларуси
- Белорусский государственный университет
- Институт математики НАН Беларуси
- Выпуск: Том 59, № 9 (2023)
- Страницы: 1222-1239
- Раздел: Статьи
- URL: https://journals.rcsi.science/0374-0641/article/view/141765
- DOI: https://doi.org/10.31857/S0374064123090078
- EDN: https://elibrary.ru/WOVDFE
- ID: 141765
Цитировать
Аннотация
Для телеграфного уравнения с нелинейным потенциалом рассматривается смешанная задача в первом квадранте, в которой на пространственной полуоси задаются условия Коши, а на временн\'{о}й полуоси -- условие Неймана. Решение строится методом характеристик в неявном аналитическом виде как решение некоторых интегральных уравнений. Исследуются разрешимость этих уравнений, а также зависимость решений от гладкости начальных данных. Для рассматриваемой задачи доказывается единственность решения и устанавливаются условия, при выполнении которых существует её классическое решение. При невыполнении условий согласования строится задача с условиями сопряжения, а при недостаточно гладких данных -- слабое решение.
Об авторах
В. И. Корзюк
Институт математики Национальной академии наук Беларуси; Белорусский государственный университет
Email: korzyuk@bsu.by
Беларусь, Минск; Беларусь, Минск
Я. В. Рудько
Институт математики НАН Беларуси
Автор, ответственный за переписку.
Email: janycz@yahoo.com
Список литературы
- Физическая энциклопедия: в 5 т. / Гл. ред. А.М. Прохоров. М., 1992. Т. 3.
- Nonlinear system. Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Nonlinear\_system. Дата доступа: 31 мая 2023.
- Nonlinear partial differential equation. Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Nonlinear\_partial\_ differential\_equation. Дата доступа: 31 мая 2023.
- Корзюк В.И., Рудько Я.В. Классическое решение первой смешанной задачи для телеграфного уравнения с нелинейным потенциалом // Дифференц. уравнения. 2022. Т. 58. № 2. С. 174-184.
- Polyanin A.D., Zaitsev V.F. Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations. New York, 2012.
- Lebwohl P., Stephen M.J. Properties of vortex lines in superconducting barriers // Phys. Rev. 1967. V. 163. № 2. P. 376-379.
- Nakayama Y. Liouville field theory: a decade after the revolution // Int. J. of Modern Phys. A. 2004. V. 19. № 17-18. P. 2771-2930.
- Bereanu C. Periodic solutions of the nonlinear telegraph equations with bounded nonlinearities // J. Math. Anal. Appl. 2008. V. 343. P. 758-762.
- Kim W.S. Boundary value problem for nonlinear telegraph equations with superlinear growth // Nonlin. Anal.: Theory, Methods \& Appl. 1998. V. 12. № 12. P. 1371-1376.
- Fucik S., Mawhin J. Generalized periodic solutions of nonlinear telegraph equations // Nonlin. Anal.: Theory, Methods \& Appl. 1978. V. 2. № 5. P. 609-617.
- Рудаков И.А. Периодические решения нелинейного волнового уравнения с граничными условиями Неймана и Дирихле // Изв. вузов. Математика. 2007. № 2. С. 46-55.
- Рудаков И.А. Нетривиальное периодическое решение нелинейного волнового уравнения с однородными граничными условиями // Дифференц. уравнения. 2005. T. 41. № 10. С. 1392-1399.
- Рудаков И.А. Периодические решения квазилинейного волнового уравнения с однородными граничными условиями // Фунд. и прикл. математика. 2006. T. 12. № 5. С. 189-201.
- Плотников П.И. Существование счетного множества периодических решений задачи о вынужденных колебаниях для слабо нелинейного волнового уравнения // Мат. сб. 1988. Т. 178. № 4. С. 546-560.
- Evans L.C. Partial Differential Equations. Providence, 2010.
- J"orgens K. Das Anfangswertproblem in Gro\ssen f"ur eine Klasse nichtlinearer Wellengleichungen // Math. Zeitschr. 1961. Bd. 208. S. 295-308.
- Shibata Y., Tsutsumi Y. Global existence theorem for nonlinear wave equation in exterior domain // Proc. Japan Acad. Ser. A. 1984. V. 60. P. 14-17.
- Lions J.L., Strauss W.A. Some non-linear evolution equations // Bull. de la Soci\'et\'e Math\'ematique de France. 1965. V. 93. P. 43-96.
- Gallagher I., G\'erard P. Profile decomposition for the wave equation outside a convex obstacle // J. de Math\'ematiques Pures et Appliqu\'ees. 2001. V. 80. № 1. P. 1-49.
- Ikehata R. Two dimensional exterior mixed problem for semilinear damped wave equations // J. Math. Anal. Appl. 2005. V. 301. № 2. P. 366-377.
- Ikehata R. Global existence of solutions for semilinear damped wave equation in 2-D exterior domain // J. Differ. Equat. 2004. V. 200. № 1. P. 53-68.
- Лавренюк С.П., Пукач П.Я. Мiшана задача для нелiнiйного гiперболiчного рiвняння в необмеженiй за просторовими змiнними областi // Укра"\iнський мат. журн. 2007. Т. 59. № 11. С. 1523-1531.
- Джохадзе О.М. Смешанная задача с нелинейным граничным условием для полулинейного уравнения колебания струны // Дифференц. уравнения. 2022. Т. 58. № 5. С. 591-606.
- Корзюк В.И., Рудько Я.В. Классическое и слабое решение первой смешанной задачи для телеграфного уравнения с нелинейным потенциалом // Изв. Иркутского гос. ун-та. Сер. Математика. 2023. Т. 43. C. 48-63.
- Корзюк В.И., Рудько Я.В. Классическое решение задачи Коши для одномерного квазилинейного волнового уравнения // Докл. НАН Беларуси. 2023. Т. 67. № 1. C. 14-19.
- Kharibegashvili S., Jokhadze O. The second Darboux problem for the wave equation with integral nonlinearity // Trans. of A. Razmadze Math. Inst. 2016. V. 170. № 3. P. 385-394.
- Берикелашвили Г.К., Джохадзе О.М., Мидодашвили Б.Г., Харибегашвили С.С. О существовании и отсутствии глобальных решений первой задачи Дарбу для нелинейных волновых уравнений // Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44. № 3. С. 359-372.
- Jokhadze O. On existence and nonexistence of global solutions of Cauchy-Goursat problem for nonlinear wave equations // J. of Math. Anal. and Appl. 2008. V. 340. № 2. P. 1033-1045.
- Харибегашвили С.С., Джохадзе О.М. Вторая задача Дарбу для волнового уравнения со степенной нелинейностью // Дифференц. уравнения. 2013. Т. 49. № 12. С. 1623-1640.
- Ломовцев Ф.Е. Вторая смешанная задача для общего телеграфного уравнения с переменными коэффициентами в первой четверти плоскости // Веснiк Гродзенскага дзярж. ўн-та iмя Янкi Купалы. Сер. 2. Матэматыка. Фiзiка. Iнфарматыка, вылiчальная тэхнiка i кiраванне. 2022. T. 12. № 3. C. 50-70.
- Корзюк В.И., Рудько Я.В. Метод отражений для уравнения Клейна-Гордона // Докл. НАН Беларуси. 2022. T. 66. № 3. C. 263-268.
- Корзюк В.И., Козловская И.С., Соколович В.Ю., Сериков В.П. Решение произвольной гладкости одномерного волнового уравнения для задачи со смешанными условиями // Изв. НАН Беларуси. Сер. физ.-мат. наук. 2021. T. 57. № 3. C. 286-295.
- Корзюк В.И., Наумовец С.Н., Севастюк В.А. О классическом решении второй смешанной задачи для одномерного волнового уравнения // Тр. Ин-та математики НАН Беларуси. 2018. Т. 26. № 1. C. 35-42.
- Корзюк В.И., Козловская И.С. Классические решения задач для гиперболических уравнений. Ч. 2. Минск, 2017.
- Пикулин В.П., Похожаев С.И. Практический курс по уравнениям математической физики. М., 2004.
- Korzyuk V.I., Rudzko J.V. Classical solution of the initial-value problem for a one-dimensional quasilinear wave equation // XX междунар. науч. конф. по дифференц. уравнениям (Еругинские чтения-2022). Новополоцк, 2022. Ч. 2. С. 38-39.
- Cain G.L. Jr., Nashed M.Z. Fixed points and stability for a sum of two operators in locally convex spaces // Pacific J. of Math. 1971. V. 39. № 3. P. 581-592.
- Треногин В.А. Функциональный анализ. М., 2002.
- Mitrinovi\'c} D.S., Pe\vc}ari\'c} J.E., Fink A.M. Inequalities Involving Functions and Their Integrals and Derivatives. Dordrecht, 1991.
- Вайнберг М.М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. М., 1956.
- Korzyuk V.I., Rudzko J.V. Curvilinear parallelogram identity and mean-value property for a semilinear hyperbolic equation of second-order // arXiv:2204.09408.
- Корзюк В.И., Столярчук И.И. Классическое решение первой смешанной задачи для гиперболического уравнения второго порядка в криволинейной полуполосе с переменными коэффициентами // Дифференц. уравнения. 2017. T. 53. № 1. C. 77-88.
- Корзюк В.И., Столярчук И.И. Классическое решение первой смешанной задачи для уравнения типа Клейна-Гордона-Фока с неоднородными условиями согласования // Докл. НАН Беларуси. 2019. Т. 63. № 1. C. 7-13.
- Корзюк В.И., Козловская И.С., Наумовец С.Н. Классическое решение первой смешанной задачи одномерного волнового уравнения с условиями типа Коши // Изв. НАН Беларуси. Сер. физ.-мат. наук. 2015. № 1. C. 7-21.
- Корзюк В.И., Наумовец С.Н., Сериков В.П. Смешанная задача для одномерного волнового уравнения с условиями сопряжения и производными второго порядка в граничных условиях // Изв. НАН Беларуси. Сер. физ.-мат. наук. 2020. Т. 56. № 3. C. 287-297.
- Моисеев Е.И., Корзюк В.И., Козловская И.С. Классическое решение задачи с интегральным условием для одномерного волнового уравнения // Дифференц. уравнения. 2014. T. 50. № 10. C. 1373-1385.
- Ikeda M., Inui T., Wakasugi Y. The Cauchy problem for the nonlinear damped wave equation with slowly decaying data // Nonlin. Differ. Equat. Appl. 2017. V. 50. № 2. Art. 10.
- Iwamiya T. Global existence of mild solutions to semilinear differential equations in Banach spaces // Hiroshima Math. J. 1986. V. 50. P. 499-530.