Representation of the Green’s Function of the Dirichlet Problem for the Polyharmonic Equation in the Ball

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We define the elementary solution of the polyharmonic equation, with the help of which an explicit representation of the Green’s function of the Dirichlet problem for the polyharmonic equation in the unit ball is given for all space dimensions except for some finite set. On the basis of the obtained Green’s function, the solution of the homogeneous Dirichlet problem in the unit ball is constructed. As an example, an explicit form of the solution of the homogeneous Dirichlet problem for the inhomogeneous polyharmonic equation with the simplest polynomial right-hand side is found.

About the authors

V. V Karachik

South Ural State University, Chelyabinsk, 454080, Russia

Author for correspondence.
Email: karachik@susu.ru
Челябинск, Россия

References

  1. Begehr H. Biharmonic Green functions // Le Matematiche. 2006. V. 61. P. 395-405.
  2. Begehr H., Vaitekhovich T. Modified harmonic Robin function // Complex Variables and Elliptic Equat. 2013. V. 58. № 4. P. 483-496.
  3. Sadybekov M.A., Torebek B.T., Turmetov B.Kh. On an explicit form of the Green function of the Robin problem for the Laplace operator in a circle // Adv. Pure Appl. Math. 2015. V. 6. № 3. P. 163-172.
  4. Karachik V.V., Turmetov B.Kh. On Green's function of the Robin problem for the Poisson equation // Adv. in Pure and Appl. Math. 2019. V. 10. № 3. С. 203-214.
  5. Ying Wang, Liuqing Ye. Biharmonic Green function and biharmonic Neumann function in a sector // Complex Variables and Elliptic Equat. 2013. V. 58. № 1. P. 7-22.
  6. Ying Wang. Tri-harmonic boundary value problems in a sector // Complex Variables and Elliptic Equat. 2014. V. 59. № 5. P. 732-749.
  7. Boggio T. Sulle funzioni di Green d'ordine $m$ // Palermo Rend. 1905. V. 20. P. 97-135.
  8. Kalmenov T.Sh., Koshanov B.D., Nemchenko M.Y. Green function representation for the Dirichlet problem of the polyharmonic equation in a sphere // Complex Variables and Elliptic Equat. 2008. V. 53. P. 177-183.
  9. Кальменов Т.Ш., Сураган Д. О новом методе построения функции Грина задачи Дирихле для полигармонического уравнения // Дифференц. уравнения. 2012. Т. 48. № 3. С. 435-438.
  10. Karachik V.V. Dirichlet and Neumann boundary value problems for the polyharmonic equation in the unit ball // Mathematics. 2021. V. 9. № 16. Art. 1907.
  11. Karachik V.V. Green's function of Dirichlet problem for biharmonic equation in the ball // Complex Variables and Elliptic Equat. 2019. V. 64. № 9. P. 1500-1521.
  12. Карачик В.В. O функции Грина задачи Дирихле для бигармонического уравнения в шаре // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2019. Т. 59. № 1. С. 71-86.
  13. Карачик В.В. Функция Грина задачи Дирихле для 3-гармонического уравнения в шаре // Мат. заметки. 2020. Т. 107. № 1. С. 87-105.
  14. Карачик В.В., Торебек Б.Т. О задаче Дирихле-Рикье для бигармонического уравнения // Мат. заметки. 2017. T. 102. № 1. С. 39-51.
  15. Карачик В.В. Об одной задаче типа Неймана для бигармонического уравнения // Мат. тр. 2016. Т. 19. № 2. С. 86-108.
  16. Солдатов А.П. О фредгольмовости и индексе обобщённой задачи Неймана // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56. № 2. С. 217-225.
  17. Карачик В.В. Функции Грина задач Навье и Рикье-Неймана для бигармонического уравнения в шаре // Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57. № 5. С. 673-686.
  18. Sweers G. A survey on boundary conditions for the biharmonic // Complex Variables and Elliptic Equat. 2009. V. 54. P. 79-93.
  19. Карачик В.В. Задача Рикье-Неймана для полигармонического уравнения в шаре // Дифференц. уравнения. 2018. Т. 54. № 5. С. 653-662.
  20. Karachik V.V. The Green function of the Navier problem for the polyharmonic equation in a ball // J. of Math. Sci. 2023. V. 269. № 2. P. 189-204.
  21. Karachik V.V. Riquier-Neumann problem for the polyharmonic equation in a ball // Mathematics. 2023. V. 11. № 4. Art. 1000.
  22. Karachik V., Turmetov B., Yuan H. Four boundary value problems for a nonlocal biharmonic equation in the unit ball // Mathematics. 2022. V. 10. № 7. Art. 1158.
  23. Begehr H., Burgumbayeva S., Shupeyeva B. Remark on Robin problem for Poisson equation // Complex Variables and Elliptic Equat. 2017. V. 62. № 10. P. 1589-1599.
  24. Akel M., Begehr H. Neumann function for a hyperbolic strip and a class of related plane domains // Math. Nachrichten. 2017. Bd. 290. H. 4. S. 490-506.
  25. Lin H. Harmonic Green and Neumann functions for domains bounded by two intersecting circular arcs // Complex Variables and Elliptic Equat. 2020. V. 67. P. 79-95.
  26. Begehr H., Burgumbayeva S., Dauletkulova A., Lin H. Harmonic Green functions for the Almaty apple // Complex Variables and Elliptic Equat. 2020. V. 65. № 11. P. 1814-1825.
  27. Grebenkov D.S., Traytak S.D. Semi-analytical computation of Laplacian Green functions in three-dimensional domains with disconnected spherical boundaries // J. of Comput. Phys. 2019. V. 379. P. 91-117.
  28. Hsu C.-W., Hwu C. Green's functions for unsymmetric composite laminates with inclusions // Proc. of the Royal Soc. A: Math., Phys. and Eng. Sci. 2020. V. 476. № 2233. Art. 20190437.
  29. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики. М., 1982.
  30. Begerh H., Vu T.N.H., Zhang Z.-X. Polyharmonic Dirichlet problems // Тр. Мат. ин-та имени В.А. Стеклова. 2006. Т. 255. С. 19-40.
  31. Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. М., 1974.
  32. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М., 1981.
  33. Gazzola F., Grunau H.C., Sweers G. Polyharmonic Boundary Value Problems. Berlin, 2010.

Copyright (c) 2023 Russian Academy of Sciences

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies