STABILITY OF FIXED POINTS IN ORDERED SPACES. APPLICATIONS TO BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR HOPFIELD-TYPE EQUATIONS OF A NEURAL NETWORK

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

The ordinal structure of the set of fixed points of a monotone operator acting in a partially ordered space is investigated. The conditions for the stability of the set of fixed points to changes in the monotone operator are obtained. Based on these results, a boundary value problem and a control system for the differential equation of a neural network — a Hopfield-type model of the electrical activity of the brain with a continuous and discontinuous activation function — are investigated.

About the authors

E. S Zhukovskiy

Derzhavin Tambov State University

Email: zukovskys@mail.ru

A. S Patrina

Derzhavin Tambov State University

Email: lanina.anastasiia5@mail.ru

References

  1. Канторович, Л.В. Функциональный анализ / Л.В. Канторович, Г.П. Акилов. — 3-е изд., перераб. — М. : Наука, 1984. — 752 с.
  2. Арутюнов, А.В. Устойчивость точек совпадения и свойства накрывающих отображений / А.В. Арутюнов // Маг. заметки. — 2009. — Т. 86, № 2. — С. 163–169.
  3. Arutyunov, A.V. Covering mappings and well-posedness of nonlinear Volterra equations / A.V. Arutyunov, E.S. Zhukovský, S.E. Zhukovský // Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications. — 2012. — V. 75, № 3. — P. 1026–1044.
  4. Бенараб, С. Об одном включении с отображением, действующим из частично упорядоченного пространства в множество с рефлексивным бинарным отношением / С. Бенараб, Е.А. Панасецко // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьют. науки. — 2022. — Т. 32, № 3. — С. 361–382.
  5. DeMarr, R. Partially ordered spaces and metric spaces / R. DeMarr // Am. Math. Mon. — 1965. — V. 72, № 6. — P. 628–631.
  6. Bishop, E. The support functionals of a convex set / E. Bishop, R.R. Phelps // Proceed. of the Symp. in Pure Mathematics. Convexity. Amer. Math. Soc. — 1963. — V. 7. — P. 27–35.
  7. Arutyunov, A.V. Coincidence points principle for mappings in partially ordered spaces / A.V. Arutyunov, E.S. Zhukovský, S.E. Zhukovský // Topology and its Applications. — 2015. — V. 179, № 1. — P. 13–33.
  8. Granas, A. Fixed Point Theory / A. Granas, D. Dugundji. — New York : Springer-Verlag, 2003. — 690 p.
  9. Кобзаш, С. Неподвижные точки и полнота в метрических и обобщённых метрических пространствах / С. Кобзаш // Фунд. и прикл. математика. — 2018. — Т. 22, № 1. — С. 127–215.
  10. Люстерник, Л.А. Краткий курс функционального анализа / Л.А. Люстерник, В.И. Соболев. — М. : Высшая школа, 1982. — 271 с.
  11. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, В.И. Фомин. — М. : Наука, 1981. — 544 с.
  12. Арутюнов, А.В. Точки совпадения многозначных отображений в частично упорядоченных пространствах / А.В. Арутюнов, Е.С. Жуковский, С.Е. Жуковский // Докл. АН. — 2013. — Т. 453, № 6. — С. 595–598.
  13. Жуковский, Е.С. Об упорядочению накрывающих отображениях и неявных дифференциальных неравенствах / Е.С. Жуковский // Дифференц. уравнения. — 2016. — Т. 52, № 12. — С. 1610–1627.
  14. Серова, И. Д. Суперпозиционная измеримость многозначной функции при обобщённых условиях Каратеодори / И. Д. Серова // Вестн. рос. ун-тов. Математика. — 2021. — Т. 26, № 135. — С. 305–314.
  15. Ланина, A.C. О свойствах решений дифференциальных систем, моделирующих электрическую активность головного мозга / A.C. Ланина, E.A. Плужникова // Вестн. рос. ун-тов. Математика. — 2022. — Т. 27, № 139. — С. 270–283.
  16. Hopfield, J.J. Neural networks and physical systems with emergent collective computational properties / J.J. Hopfield // Proc. Nat. Acad. Sci. — 1982. — V. 79. — P. 2554–2558.
  17. Burlakov, E. Stationary solutions of continuous and discontinuous neural field equations / E. Burlakov, A. Ponosov, J. Wyller // J. Math. Anal. Appl. — 2016. — V. 444. — P. 47–68.
  18. Атмання, Р. О существовании и устойчивости решений типа "кольцо" уравнений нейронного поля Амари с периодической микроструктурой и функцией активации Хевисайда / Р. Атмання, Е.О. Бурлаков, И. Н. Мальков // Вестн. рос. ун-тов. Математика. — 2022. — Т. 27, № 140. — С. 318–327.
  19. Burlakov, E. On bi-laminar neural field models of electrical activity in the primary visual cortex / E. Burlakov, I. Malkov // Advances in Systems Science and Applications. — 2023. — V. 23, № 3. — P. 177–190.
  20. Патрина, A.C. О краевой задаче для системы дифференциальных уравнений, моделирующей электрическую активность головного мозга / A.C. Патрина // Вестн. рос. ун-тов. Математика. — 2023. — Т. 28, № 144. — С. 383–394.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Russian Academy of Sciences

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).