On the spectrum of non-selfadjoint Dirac operators with two-point boundary conditions

Abstract

We consider spectral problem for the Dirac operator with arbitrary two-point boundary conditions and any square integrable potential . The necessary and sufficient conditions are established that an entire function must satisfy in order to be a characteristic determinant of the specified operator. In the case of irregular boundary conditions, conditions are found under which a set of complex numbers is the spectrum of the problem under consideration.

Full Text

1. Введение. Постановка задачи

В работе изучается система Дирака

$B\text{'}\mathbf{y}+V\mathbf{y}\mathbf{=}\lambda \mathbf{y}\mathrm{,}$ (1)

где $\mathbf{y}\mathbf{=}col\left(y_1\right(x\left)y_2\right(x\left)\right),$

$B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)\mathrm{,} Vx\left(\begin{array}{cc}p\left(x\right)& q\left(x\right)\\ q\left(x\right)& -p\left(x\right)\end{array}\right)\mathrm{,}$

а комплекснозначные функции $p\mathrm{,}q\in L_2(0,\pi ),$, с двухточечными краевыми условиями

$U_1\left(\mathbf{y}\mathbf{\right)}=a_{11}{y}_1\left(0\right)+a_{12}{y}_2\left(0\right)+a_{13}{y}_1\left(\pi \right)+a_{14}{y}_2\left(\pi \right)=0,$ (2)

$U_2\left(\mathbf{y}\mathbf{\right)}=a_{21}{y}_1\left(0\right)+a_{22}{y}_2\left(0\right)+a_{23}{y}_1\left(\pi \right)+a_{24}{y}_2\left(\pi \right)=0,$ (3)

в которых коэффициенты 𝑎_𝑖𝑗, 𝑖=1, 2, $j=\overline{\mathrm{1,4}}$, являются произвольными комплексными числами, а строки матрицы

$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}\end{array}\right)$

линейно независимы.

Строение спектра оператора (1), (3) с регулярными краевыми условиями изучалось во многих работах, среди которых отметим [1$–$8]. Обширный список литературы по указанной теме приведён в обзоре [4]. Значительно менее исследованными остаются задачи (1)$–$(3) с краевыми условиями, не являющимися регулярными (т.е. нерегулярными или вырожденными), изучение спектра которых составляет основное содержание настоящей работы. Пример задачи (1)$–$(3) с вырожденными краевыми условиями, система корневых функций которой содержит присоединенные функции сколь угодно высокого порядка, был построен в статье [9].

Обозначим через ‖𝑓‖ = (|𝑓₁|²+|𝑓₂|²)^1/2 норму произвольного вектора 𝑓 = col(𝑓₁, 𝑓₂) ∈ C² и положим $⟨f\mathrm{,}g⟩=f_1{\overline{g}}_1+f_2{\overline{g}}_2$, а через ‖𝑊‖ = sup_‖𝑓‖=1 ‖𝑊𝑓‖ обозначим норму произвольной матрицы $W$ размера $2\times 2$. Обозначим через $L_{\mathrm{2,2}}\left(a\mathrm{,}b\right)$ пространство двумерных вектор-функций 𝑓(𝑡)=col(𝑓₁(𝑡), 𝑓₂(𝑡)) с нормой $\parallel f{\parallel }_{L_{\mathrm{2,2}}\left(a\mathrm{,}b\right)}=({\int }_a^b\parallel f{\left(t\right){\parallel }^{2}dt)}^{1/2}$ и через $L_{\mathrm{2,2}}^{\mathrm{2,2}}\left(a\mathrm{,}b\right)$ пространство матриц-функций $W\left(t\right)$ размера $2\times 2$ с нормой $\parallel W{\parallel }_{L_{\mathrm{2,2}}^{\mathrm{2,2}}\left(a\mathrm{,}b\right)}=({\int }_a^b\parallel W{\left(t\right){\parallel }^{2}dt)}^{1/2}$. Оператор $\mathbb{L}\mathbf{y}\mathbf{=}B\text{'}\mathbf{y}+V\mathbf{y}$ будем рассматривать как линейный оператор в пространстве $L_{\mathrm{2,2}}(0,\pi )$ с областью определения $D\left(\mathbb{L}\right)=\{\mathbf{y}\in W_1^1[0,\pi ] : \mathbb{L}\mathbf{y}\in {\mathrm{L}}_{2,2}(0,\mathrm{\pi })$, $U_j\left(\mathbf{y}\mathbf{\right)}=0$, $j=1,2\}$.

Обозначим через

$E\left(x\mathrm{,}\lambda \right)=\left(\begin{array}{cc}{c}_1\left(x\mathrm{,}\lambda \right)& -s_2\left(x\mathrm{,}\lambda \right)\\ s_1\left(x\mathrm{,}\lambda \right)& c_{2(}x\mathrm{,}\lambda )\end{array}\right)$ (4)

матрицу фундаментальной системы решений уравнения (1) с краевыми условиями 𝐸(0, 𝜆)=𝐼, где $I$ $—$ единичная матрица, и через 𝐸0(𝑥, 𝜆) фундаментальную систему решений невозмущённого уравнения 𝐵y′ =𝜆y с краевыми условиями 𝐸0(0, 𝜆)=𝐼. Очевидно, что

$E_0\left(x\mathrm{,}\lambda \right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \left(\lambda x\right)& -\sin \left(\lambda x\right)\\ \sin \left(\lambda x\right)& \cos \left(\lambda x\right)\end{array}\right)\mathrm{.}$

Хорошо известно, что элементы матрицы 𝐸(𝑥, 𝜆) связаны соотношением

𝑐1(𝑥, 𝜆)𝑐2(𝑥, 𝜆)+𝑠1(𝑥, 𝜆)𝑠2(𝑥, 𝜆)=1, (5)

справедливом при любых $x$, $\lambda$.

Собственные значения задачи (1)$–$(3) являются корнями характеристического уравнения

Δ(𝜆)=0

где

$\Delta \left(\lambda \right)=\left|\begin{array}{cc}{U}_1\left(E^{[1}\right](\cdot \mathrm{,}\lambda ))& U_1\left(E^{\left[2\right]}\right(\cdot \mathrm{,}\lambda \left)\right)\\ U_2\left(E^{\left[1\right]}\right(\cdot \mathrm{,}\lambda \left)\right)& U_2\left(E^{\left[2\right]}\right(\cdot \mathrm{,}\lambda \left)\right)\end{array}\right|\mathrm{,}$

𝐸^[𝑘](𝑥, 𝜆) $—$ $k$ -й столбец матрицы (4).

Обозначим через $J_{ij}$ определитель, составленный из $i$ -го и $j$ -го столбцов матрицы $A$, 𝐽₀ := 𝐽₁₂+𝐽₃₄, 𝐽₁ := 𝐽₁₄−𝐽₂₃, 𝐽₂ := 𝐽₁₃+𝐽₂₄.

Методом оператора преобразования в работе [2] было показано, что характеристический определитель Δ(𝜆) задачи (1)$–$(3) может быть приведён к виду

Δ(𝜆)=𝐽₁₂+𝐽₃₄+𝐽₁₄𝑐₂(𝜋, 𝜆)−𝐽₂₃𝑐₁(𝜋, 𝜆)−𝐽₁₃𝑠₂(𝜋, 𝜆)−𝐽₂₄𝑠₁(𝜋, 𝜆)=

${\Delta }_0\left(\lambda \right)+\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{r}_1\left(t\right)e^{-i\lambda t}dt+\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{r}_2\left(t\right)e^{i\lambda t}dt\mathrm{,}$ (6)

где функция

${\Delta }_0\left(\lambda \right)=J_0+J_1\cos \left(\pi \lambda \right)-J_2\sin \left(\pi \lambda \right)=J_0+\frac{J_1+i{J}_2}{2}{e}^{i\pi \lambda }+\frac{J_1-i{J}_2}{2}{e}^{-i\pi \lambda }$ (7)

является характеристическим определителем невозмущённой задачи

𝐵y′ =𝜆y, 𝑈(y)=0, (8)

а функции 𝑟𝑗 ∈𝐿2(0, 𝜋), 𝑗 =1, 2.

Краевые условия (2), (3) могут быть разделены на четыре основных типа.

Определение 1. Краевые условия (2), (3) называются регулярными, если

$J_1^2+J_2^2={(J_{14}+J_{32})}^2+{(J_{13}+J_{24})}^2\ne \mathrm{0,}$ (9)

 и усиленно регулярными, если дополнительно выполняется неравенство

$J_0^2\ne J_1^2-J_2^2\mathrm{.}$ (10)

Определение 2. Краевые условия (2), (3) называются регулярными, но не усиленно регулярными, если справедливо (9), но (10) не имеет места, т.e.

$J_0^2=J_1^2-J_2^2\mathrm{.}$

Определение 3. Краевые условия (2), (3) называются нерегулярными, если

$J_0\ne \mathrm{0,} J_1+i{J}_2\ne \mathrm{0,} J_1-i{J}_2 J_0\ne \mathrm{0,} J_1+i{J}_2 J_1-i{J}_2\ne 0.$

Определение 4. Краевые условия (2), (3) называются вырожденными, если

 $J_1=J_2=0; J_0=0, J_1+i{J}_2\ne \mathrm{0,} J_1-i{J}_2=0; J_{0}0, J_1+i{J}_2=0, J_1-i{J}_2\ne 0.$

Легко видеть, что краевые условия (2), (3) являются вырожденными тогда и только тогда, когда характеристическое уравнение Δ₀(𝜆)=0 не имеет корней или Δ₀(𝜆)≡0.

Обозначим 𝑐_𝑗(𝜆) = 𝑐_𝑗(𝜋, 𝜆), 𝑠_𝑗(𝜆) = 𝑠_𝑗(𝜋, 𝜆), 𝑗 = 1, 2.. Через $P{W}_{\sigma }$ обозначим класс целых функций $f\left(z\right)$ экспоненциального типа, не превосходящего $\sigma$, таких, что ‖𝑓‖_𝐿2(𝑅) <∞. Известно [10], что функции 𝑐𝑗(𝜆), 𝑠_𝑗(𝜆) допускают представление

𝑐𝑗(𝜆)=cos(𝜋𝜆)+𝑔𝑗(𝜆), 𝑠𝑗(𝜆)=sin(𝜋𝜆)+ℎ𝑗(𝜆),

где $g_j\mathrm{,}{h}_j\in P{W}_{\pi }$, $j=1, 2$.

Лемма [см. [5]]. Целые функции 𝑢(𝜆) и 𝑣(𝜆) допускают представления

𝑢(𝜆)=sin(𝜋𝜆)+ℎ(𝜆), 𝑣(𝜆)=cos(𝜋𝜆)+𝑔(𝜆),

где $h\mathrm{,}g\in P{W}_{\pi }$, тогда и только тогда, когда

$u\left(\lambda \right)=-\pi ({\lambda }_0-\lambda )\prod _{\begin{array}{c}n=-\infty \mathrm{,}\\ n\ne 0\end{array}}^{\infty }\frac{{\lambda }_n-\lambda }{n}\mathrm{,} {\lambda }_n=n+{ϵ}_n\mathrm{,} \left\{{ϵ}_n\right\}\in l_2\mathrm{,}$

$v\left(\lambda \right)=\prod _{n=-\infty }^{\infty }\frac{{\lambda }_n-\lambda }{n-1/2}\mathrm{,} {\lambda }_n=n-1/2+{\kappa }_n\mathrm{,} \left\{{\kappa }_n\right\}\in l_2\mathrm{.}$

Сходимость бесконечных произведений понимается в смысле главного значения.

2. Основные результаты

В настоящей статье будем изучать задачу (1)$–$(3) при выполнении условий

$J_{14}\ne \mathrm{0,} J_{23}\ne \mathrm{0,} J_{13}{J}_{24}=0$. (11)

Соотношениям (11) удовлетворяет широкий класс краевых условий, например, условия, задаваемые матрицей

$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_1& b_1& c_1& d_1\\ 0& b_2& 0& d_2\end{array}\right)\mathrm{,}$

где $a_1{d}_2{b}_2{c}_1\ne 0$, или

$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_1& b_1& c_1& d_1\\ a_2& 0& c_2& 0\end{array}\right)\mathrm{,}$

где $a_2{d}_1{b}_1{c}_2\ne 0$; в том числе усиленно регулярные условия, если

$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& a& 0\\ 0& 1& 0& a\end{array}\right)\mathrm{,}$ (12)

где $a\ne 0$, $a\ne \pm 1$; регулярные, но не усиленно регулярные, если в (12) $a=\pm 1$; нерегулярные, если

$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 2i\\ 0& 1& 0& 1\end{array}\right)\mathrm{,}$

вырожденные условия, если

$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& -1\\ 0& 1& 0& 1\end{array}\right)\mathrm{.}$

Заметим, что условия (12) при $a\ne 0$, $a\ne \pm 1$ являются квазипериодическими, при $a=-1$ $—$ периодическими и при $a=1$ $—$ антипериодическими.

Рассмотрим систему Дирака (1)$–$(3), (11). Очевидно, что хотя бы одно из чисел $J_{13}$, $J_{24}$ равно нулю. Пусть 𝐽₂₄=0, случай 𝐽₁₃=0 рассматривается совершенно аналогично. Из (6), (7) следует, что характеристический определитель $\Delta \left(\lambda \right)$ этой задачи может быть приведён к виду

Δ(𝜆)=𝐽₀+𝐽₁₄𝑐₂(𝜆)−𝐽₂₃𝑐₁(𝜆)−𝐽₁₃𝑠₂(𝜆)=Δ₀(𝜆)+𝑓(𝜆), (13)

где Δ₀(𝜆)=𝐽₀+(𝐽₁₄−𝐽₂₃) cos(𝜋𝜆)−𝐽₁₃ sin(𝜋𝜆), $f\in P{W}_{\pi }$.

Теорема 1. Если $J_{14}+J_{23}\ne 0$, то для любой функции $f\in P{W}_{\pi }$ существует потенциал 𝑉 ∈ 𝐿₂(0, 𝜋) такой, что для характеристического определителя Δ(𝜆) задачи (1)$–$(3), (11) с потенциалом $V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ справедливо равенство (13). Если $J_{14}+J_{23}=0$, то последнее утверждение справедливо при выполнении дополнительного условия

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|f\right(n\left)\right|<\infty \mathrm{.}$ (14)

Доказательство. Пусть $f$ $—$ произвольная функция из класса $P{W}_{\pi }$. Из теоремы Пэли$–$Винера и [11, лемма 1.3.1] следует, что

$\underset{\left|\lambda \right|\to \infty }{\text{lim}}{e}^{-\pi \left|Im\lambda \right|}f\left(\lambda \right)=0$. (15)

Пусть 𝜆_𝑛 (𝑛 ∈ Z) $—$ некоторая строго монотонно возрастающая последовательность вещественных чисел, удовлетворяющая условию (*): 𝜆_𝑛 =𝑛, если 𝑛>𝑁₀, где 𝑁₀ $—$ некоторое натуральное число, и ${\lambda }_n=-{\lambda }_{-n}$ для любого $n\ne 0$.

Обозначим

$s\left(\lambda \right)=-\pi ({\lambda }_0-\lambda )\prod _{\begin{array}{c}n=-\infty \mathrm{,}\\ n\ne 0\end{array}}^{\infty }\frac{{\lambda }_n-\lambda }{n}\mathrm{.}$ (16)

Из леммы следует, что

𝑠(𝜆)=sin(𝜋𝜆)+ℎ(𝜆), (17)

где $h\in P{W}_{\pi }$, поэтому

|𝑠(𝜆)|⩾𝐶₁𝑒^{𝜋| Im 𝜆|}  (18)

если $\left|Im\lambda \right|\ge M$, где $M$ $–$ достаточно большое число. Из (16) вытекает, что

$\dot{s}\left({\lambda }_0\right)=\pi \prod _{\begin{array}{c}n=-\infty \mathrm{,}\\ n\ne 0\end{array}}^{\infty }\frac{{\lambda }_n-{\lambda }_0}{n}>0.$

Легко видеть, что неравенство $\dot{s}\left({\lambda }_n\right)\dot{s}\left({\lambda }_{n+1}\right)<0$ имеет место для всех 𝑛 ∈ Z. Из двух последних неравенств следует, что

(−1)^𝑛𝑠˙(𝜆_𝑛)>0.

Из соотношения (17) и [10, лемма 2.1] вытекает, что

𝑠˙(𝜆_𝑛)=𝜋(−1)^𝑛+𝜏_𝑛,

где {𝜏_𝑛} ∈ 𝑙₂, следовательно,

$\frac{1}{\dot{s}\left({\lambda }_n\right)}=\frac{{(-1)}^n}{\pi }+{\sigma }_n\mathrm{,} \left\{{\sigma }_n\right\}\in l_2\mathrm{.}$ (19)

Обозначим 𝛼=𝐽₁₄, 𝛽 =−𝐽₂₃, 𝛾 =−𝐽₁₃, 𝑢+(𝜆)=(𝛼+𝛽) cos(𝜋𝜆)+𝛾 sin(𝜋𝜆)+𝑓(𝜆). Заметим, что

$\alpha \ne \mathrm{0,}\beta \ne 0.$ (20)

Рассмотрим уравнение

$\alpha w^2-u_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}w+\beta \mathrm{<mo>=</mo>0,}$ (21)

корни которого определяются по формуле

$c_n^{\pm }=\frac{u_{+}\left({\lambda }_n\right)\pm \sqrt{u_{+}^2\left({\lambda }_n\right)-4\alpha \beta }}{2\alpha }\mathrm{.}$

Подставив в неё выражение для $u_{+}\left({\lambda }_n\right)$, получим

$c_n^{\pm }=\frac{1}{2\alpha }\left[(\alpha +\beta )\cos \left(\pi {\lambda }_n\right)+\gamma \sin \left(\pi {\lambda }_n\right)+f\left({\lambda }_n\right)\pm \sqrt{{\left(\right(\alpha +\beta \left)\cos \right(\pi {\lambda }_n)+\gamma \sin (\pi {\lambda }_n)+f({\lambda }_n\left)\right)}^2-4\alpha \beta }\right]=$

$=\frac{1}{2\alpha }\left[\right(\alpha +\beta \left)\cos \right(\pi {\lambda }_n)+\gamma \sin (\pi {\lambda }_n)+f({\lambda }_n)\pm$

    $\pm \sqrt{({\alpha -\beta )}^2+2(\alpha +\beta \left)\cos \right(\pi {\lambda }_n\left)\right(\gamma \sin \left(\pi {\lambda }_n\right)+f\left({\lambda }_n\right))+({\gamma \sin \left(\pi {\lambda }_n\right)+f\left({\lambda }_n\right))}^2-\left({\alpha +\beta )}^2{\sin }^2\right(\pi {\lambda }_n\left)\right]}$.

Введём следующие обозначения:

$F^{\pm }\left(\lambda \right)=\frac{1}{2\alpha }\left[(\alpha +\beta )\cos \left(\pi \lambda \right)+\gamma \sin \left(\pi \lambda \right)+f\left(\lambda \right)\pm \sqrt{\left(\right({\alpha +\beta \left)\cos \right(\pi \lambda )+\gamma \sin (\pi \lambda )+f(\lambda )}^2-4\alpha \beta }\right]=$

$=\frac{1}{2\alpha }\left[\right(\alpha +\beta \left)\cos \right(\pi \lambda )+\gamma \sin (\pi \lambda )+f(\lambda )\pm$

$\pm \sqrt{({\alpha -\beta )}^2+2(\alpha +\beta \left)\cos \right(\pi \lambda \left)\right(\gamma \sin \pi \lambda +f\left(\lambda \right))+{\left(\gamma \sin \right(\pi \lambda )+f(\lambda )}^2-{(\alpha +\beta )}^2{\sin }^2(\pi \lambda \left)\right]}$,

$F_0^{\pm }\lambda =\frac{1}{2\alpha }\left[(\alpha +\beta )\cos \left(\pi \lambda \right)+\gamma \sin \left(\pi \lambda \right)\pm \sqrt{\left(\right({\alpha +\beta \left)\cos \right(\pi \lambda )+\gamma \sin (\pi \lambda \left)\right)}^2-4\alpha \beta }\right]=$

$=\frac{1}{2\alpha }\left[(\alpha +\beta )\cos \left(\pi \lambda \right)+\gamma \sin \left(\pi \lambda \right)\pm \sqrt{({\alpha -\beta )}^2+(\alpha +\beta \left)\gamma \cos \right(\pi \lambda \left)\sin \right(\pi \lambda )+({\gamma }^2-{(\alpha +\beta )}^2\left){\sin }^2\right(\pi \lambda })\right]\mathrm{.}$

Обозначим также через $\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{,}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ круг с центром в точке $z$ радиуса $r$. Пусть $\alpha \ne \beta$. Возможны следующие случаи.

1. $Im\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\beta \mathrm{<mo>/</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ne 0$. Пусть прямая $l_0$ проходит через точки $1$ и $-\beta /\alpha$, а прямая $l$ проходит через начало координат и параллельна $l_0$. Очевидно, существует число ${\epsilon }_0$ такое, что круги Γ(1, 𝜀₀) и Γ(−𝛽/𝛼, 𝜀₀) лежат строго по одну сторону от прямой l.

Из (15) и (20) следует, что существует чётное положительное $\tilde{N}$ такое, что

$\left|F^{\pm }\right(\lambda )-F_0^{\pm }(\lambda \left)\right|<\frac{{\epsilon }_0}{2}$ (22)

для любого $\lambda$, если $\mathrm{<mo>|</mo>}\lambda \mathrm{<mo>|</mo>}\ge \tilde{N}-1$, $\lambda =k$, $k\in Z$. Из (23) вытекает, что существует $0<{\delta }_0<1/4$ такое, что

$\left|F_0^{\pm }\right(\lambda )-F_0^{\pm }(\lambda +z\left)\right|<\frac{{\epsilon }_0}{2}$ (23)

при $\lambda =\pm \tilde{N}$, $\left|z\right|<{\delta }_0$. Определим последовательность {𝜆_𝑛} (𝑛∈Z) следующим образом: ${\lambda }_n=n$, если $n\ge \tilde{N}+1$, и пусть ${\lambda }_n\mathrm{<mo>=</mo>}\tilde{N}+{ϵ}_n$, $0<{ϵ}_1\dots {ϵ}_{\tilde{N}}<\delta$, если $n=\overline{\mathrm{1,}\tilde{N}}$, ${\lambda }_n=-{\lambda }_{-n}$ при $n\ne 0$, ${\lambda }_0=\tilde{N}$. Очевидно, $\left\{{\lambda }_n\right\}$ удовлетворяет условиям (*). Получаем, что если $\mathrm{<mo>|</mo>}n\mathrm{<mo>|</mo>}\ge \tilde{N}+1$, то все числа ${(-1)}^n{c}_n^{+}$ лежат внутри круга $\Gamma (1,{\epsilon }_0)$ при чётных $n$, а все числа ${(-1)}^n{c}_n^{-}$ лежат внутри круга $\Gamma (1,{\epsilon }_0)$ при нечётных $n$. Пусть $c_n=c_n^{+}$, если $n$ чётно, и $c_{n=}{c}_n^{-}$, если $n$ нечётно, следовательно, числа ${(-1)}^n{c}_n$ лежат внутри круга $\Gamma (1,{\epsilon }_0)$.

Пусть $\mathrm{<mo>|</mo>}n\mathrm{<mo>|</mo>}\le \tilde{N}$, тогда из (22) и (23) следует, что

$\left|F^{\pm }\right({\lambda }_n)-F_0^{\pm }(\stackrel{}{\tilde{N}\left)\right|<}{\epsilon }_0\mathrm{.}$

Очевидно, что в силу чётности $\tilde{N}$ все числа $c_n^{+}$ лежат внутри круга Γ(1, 𝜀₀), а все числа $c_n^{-}$ лежат внутри круга Γ(𝛽/𝛼, 𝜀₀). Положим $c_n=c_n^{+}$, если $n$ чётно, тогда числа ${(-1)}^n{c}_n$ лежат внутри круга $\Gamma (1,{\epsilon }_0)$. Пусть $c_n=c_n^{-}$, если $n$ нечётно, тогда числа ${(-1)}^n{c}_n$ лежат внутри круга $\Gamma (-\beta /\alpha \mathrm{,}{\epsilon }_0)$, Таким образом, все числа ${(-1)}^n{c}_n$  (𝑛∈Z) лежат строго по одну сторону от прямой $l$.

2. $Im\left(\beta \alpha \right)=0$, $Re(\beta /\alpha )<0$. Здесь существует число ${\epsilon }_0$ такое, что круги Γ(1, 𝜀₀) и Γ(−𝛽/𝛼, 𝜀₀) лежат строго правее мнимой оси. Рассуждая аналогично предыдущему случаю, получаем, что все числа ${(-1)}^n{c}_n$ лежат строго правее мнимой оси.

3. Im(𝛽/𝛼)=0, Re(𝛽/𝛼)>0. Обозначим $\tilde{\alpha }=\alpha \overline{\alpha }$, $\tilde{\beta }=\beta \overline{\alpha }$, $\widetilde{\gamma =}\gamma \overline{\alpha }$, $\tilde{f}\left(\lambda )=\overline{\alpha }f\right(\lambda )$, тогда $\tilde{\alpha }>0$, $\widetilde{\beta >0}$. Легко видеть, что

$c_n^{\pm }=\frac{1}{2\tilde{\alpha }}\left[(\tilde{\alpha }+\widetilde{\beta )}\cos (\pi {\lambda }_n)+\tilde{\gamma }\sin (\pi {\lambda }_n)+\tilde{f}({\lambda }_n)\pm \sqrt{\left(\right(\tilde{\alpha }+\widetilde{\beta )}\cos \left(\pi {\lambda }_n\right)+\tilde{\gamma }\sin \left(\pi {\lambda }_n\right)+\tilde{f}({\lambda }_n{)}^2-4\tilde{\alpha }\tilde{\beta }}\right]\mathrm{.}$

Обозначим

$R^{\pm }=\frac{1}{2\tilde{\alpha }}\left[\tilde{\gamma }\pm \sqrt{{\tilde{\gamma }}^2-4\tilde{\alpha }\tilde{\beta }}\right]\mathrm{.}$

3.1. $Im{R}^{+}Im{R}^{-}\mathrm{<mo><</mo>0}$. В этом случае

${\tilde{\gamma }}^2-4\tilde{\alpha }\tilde{\beta }\ne 0.$ (24)

Пусть для определённости $Im{R}^{+}>0$, тогда $Im{R}^{-}<0$. Из (24) следует, что существует ${\epsilon }_1>0$ такое, что круги $\Gamma \left(R^{+}\mathrm{,}{\epsilon }_1\right)$ и $\Gamma \left(R^{-}\mathrm{,}{ϵ}_1\right)$ лежат строго по разные стороны от некоторой прямой , проходящей через начало координат и отличной от вещественной оси. Очевидно, что существует число ${\epsilon }_2$, $0<{\epsilon }_2<{\epsilon }_1$, такое, что круг $\Gamma (-\mathrm{1,}{\epsilon }_2)$ не пересекается с $l$, следовательно, круг $\Gamma (-\mathrm{1,}{\epsilon }_2)$ расположен строго по одну сторону от прямой $l$. Из (15) и (20) вытекает, что существует нечётное положительное число $\widehat{N}$ такое, что

$\left|F^{\pm }\right(\lambda )-F_0^{\pm }(\lambda \left)\right|<\frac{{\epsilon }_1}{2}$ (25)

для любого $\lambda$, если $\mathrm{<mo>|</mo>}\lambda \mathrm{<mo>|</mo>}\ge \widehat{N}-1$, $\lambda =k$, ∈Z. В силу (24) существует $0<{\delta }_1<1/4$ такое, что

$\left|F_0^{\pm }\right(\lambda )-F_0^{\pm }(\lambda +z\left)\right|<\frac{{\epsilon }_2}{2}\mathrm{,}$ (26)

если $\lambda =\pm (\widehat{N}-1)$, $\left|z\right|<{\delta }_1$.

Определим последовательность {𝜆𝑛} (𝑛∈Z) следующим образом: ${\lambda }_n=n$, если $n\ge \widehat{N}+1$, и пусть ${\lambda }_n=\widehat{N}-1/2+{ϵ}_n$, $0<{ϵ}_1<\dots <{ϵ}_{\widehat{N}}<{\delta }_1$, если $n=\overline{\mathrm{1,}\widehat{N}}$, ${\lambda }_n=-{\lambda }_{-n}$ при $n\ne 0$, ${\lambda }_0=\widehat{N}-1/2$. Очевидно, что {𝜆_𝑛} удовлетворяет условиям (*). Получаем, что если $\mathrm{<mo>|</mo>}n\mathrm{<mo>|</mo>}\ge \tilde{N}+1$, то все числа $c_n^{+}$ лежат внутри круга $\Gamma (1,{\epsilon }_1)$ при чётных $n$, а все числа $c_n^{-}$ лежат внутри круга $\Gamma (-\mathrm{1,}{\epsilon }_1)$ при нечётных $n$. Положим $c_n=c_n^{+}$, если $n$ чётно, и $c_n=c_n^{-}$, если $n$ нечётно, следовательно, числа $-{\left(1\right)}^n{c}_n$ лежат внутри круга Γ(1, 𝜀₁).

Пусть $\mathrm{<mo>|</mo>}n\mathrm{<mo>|</mo>}\le \tilde{N}$, тогда из (25), (26) следует, что

$\left|F^{\pm }\right(\lambda )-F_0^{\pm }(\widehat{N}-1/2\left)\right|<{\epsilon }_1\mathrm{,}$

а числа $c_n^{+}\in \Gamma \left(R^{+}\mathrm{,}{\epsilon }_1\right)$, $c_n^{-}\in \Gamma \left(R^{-}\mathrm{,}{\epsilon }_1\right)$. Предположим, например, что круг $\Gamma \left(R^{+}\mathrm{,}{\epsilon }_1\right)$ лежит по одну сторону от прямой $l$ с кругом $\Gamma (1,{\epsilon }_0)$. Положим $c_n=c_n^{+}$, если $n$ чётно, и $c_n=c_n^{-}$, если $n$ нечётно, тогда все числа ${(-1)}^n{c}_n$, 𝑛∈Z, лежат строго по одну сторону от прямой $l$.

3.2. $Im{R}^{+}=m{R}^{-}=0$. Существует число 𝜀₃ >0 такое, что круг $\Gamma (-\mathrm{1,}{\epsilon }_3)$ лежит строго ниже прямой 𝑙1 : 𝑦 =−𝑥, причём круг $\Gamma \left(i\sqrt{\tilde{\beta }/\tilde{\alpha }}\mathrm{,}{\epsilon }_3\right)$ лежит строго выше прямой $l_1$, а круг $\Gamma \left(-i\sqrt{\tilde{\beta }/\tilde{\alpha }}\mathrm{,}{\epsilon }_3\right)$ $—$ строго ниже $l_1$.

Очевидно, что $\tilde{\gamma }/\tilde{\alpha }$ вещественно, следовательно, $\tilde{\gamma }$ вещественно.

Рассмотрим уравнение

$(\tilde{\alpha }+\widetilde{\beta )}\cos t+\tilde{\gamma }\sin t=0$.

Так как $\tilde{\alpha }+\tilde{\beta }\ne 0$, оно имеет корни

$t_n=arcctg\frac{-\tilde{\gamma }}{\tilde{\alpha }+\tilde{\beta }}+\pi n,𝑛\in Z.$

Обозначим

$h_0=\frac{1}{\pi }𝑛arcctg\frac{-\tilde{\gamma }}{\tilde{\alpha }+\tilde{\beta }}\mathrm{.}$

Из (15) и (20) вытекает, что существует положительное число $\widehat{N}$ такое, что

$\left|F^{\pm }\right(\lambda )-F_0^{\pm }(\lambda )\frac{{\epsilon }_3}{2}$

для любого $\lambda$, если $\mathrm{<mo>|</mo>}\lambda \mathrm{<mo>|</mo>}\ge \widehat{N}-1$, $\lambda =k-1$, или ${\lambda }_n=\widehat{\lambda =}{t}_{\widehat{N}-1}/\pi$, а также существует ${\delta }_3>0$ такое, что

$\left|F_0^{\pm }\right(\lambda )-F_0^{\pm }(\lambda +z)<\frac{{\epsilon }_3}{2}\mathrm{,}$

если $\lambda =\pm \widehat{\lambda }$, $\left|z\right|<\delta$.

Определим последовательность {𝜆_𝑛} (𝑛 ∈ Z) следующим образом: ${\lambda }_n\mathrm{<mo>=</mo>}n$ при $n\ge \widehat{N}+1$, а если $1\le n\le \widehat{N}$, то ${\lambda }_n\mathrm{<mo>=</mo>}\widehat{\lambda }+{ϵ}_n$, где $0<{ϵ}_1\dots {ϵ}_{\widehat{N}}\min \{\delta , 1/2-h_0\}$, ${\lambda }_n=-{\lambda }_{-n}$ при $n\ne 0$, ${\lambda }_0=\widehat{\lambda }$. Очевидно, что {𝜆_𝑛} удовлетворяет условиям (*). Легко видеть, что если $\mathrm{<mo>|</mo>}n\mathrm{<mo>|</mo>}\ge \tilde{N}+1$, то все числа $c_n^{+}$ лежат внутри круга $\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,}{\epsilon }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, если $n$ чётно, а все числа $c_n^{-}$ лежат внутри круга $\Gamma (-\mathrm{1,}{\epsilon }_0)$, если $n$ нечётно. Положим $c_n\mathrm{<mo>=</mo>}{s}_n^{+}$, если $n$ чётно, и $c_n\mathrm{<mo>=</mo>}{s}_n^{-}$, если $n$ нечётно, следовательно, числа ${(-1)}^n{c}_n$ лежат внутри круга $\Gamma (1,{\epsilon }_0)$.

Пусть $\left|n\right|\le \tilde{N}$, тогда $c_n^{+}\in \Gamma \left(i\sqrt{\beta /\alpha }\mathrm{,}{\epsilon }_2\right)$, $c_n^{-}\in \Gamma (-1i\sqrt{\beta /\alpha }\mathrm{,}{\epsilon }_2)$. Пусть $c_n=c_n^{+}$ при чётном $n$, и $c_n=c_n^{-}$ при нечётном $n$. Тогда все числа ${(-1)}^n{c}_n$ лежат строго выше прямой $l$. Так как [12] {𝑓(𝜆_𝑛)} ∈𝑙, то из определения чисел $c_n$ следует, что всегда

$c_n=(-{1)}^n+{\vartheta }_n\mathrm{,} \{{\vartheta }_n\}\in l_2\mathrm{.}$ (27)

Рассмотрим случай $\alpha =\beta$. Тогда

$c_n^{\pm }=\frac{1}{2\alpha }\left[2\alpha \cos \left(\pi {\lambda }_n\right)+\gamma \sin \left(\pi {\lambda }_n\right)+f\left({\lambda }_n\right)\pm \sqrt{2{\alpha \cos \left(\pi {\lambda }_n\right)+\gamma \sin \left(\pi {\lambda }_n\right)+f\left({\lambda }_n\right)}^2-4{\alpha }^2}\right]=$

$=\frac{1}{2\alpha }\left[2\alpha \cos \right(\pi {\lambda }_n)+\gamma \sin (\pi {\lambda }_n)+f({\lambda }_n)\pm$

$\pm \sqrt{4\alpha \cos \left(\pi {\lambda }_n\right)\left(\gamma \sin \right(\pi {\lambda }_n)+f({\lambda }_n\left)\right)+{\left(\gamma \sin \right(\pi {\lambda }_n)+f({\lambda }_n\left)\right)}^2-4{\alpha }^2{\sin }^2\left(\pi {\lambda }_n\right)]}$.

Обозначим $\widetilde{\alpha =}\alpha \overline{\alpha }$, $\widetilde{\beta =}\beta \overline{\alpha }$, $\tilde{\gamma }=\gamma \overline{\alpha }$, $\tilde{f}\left(\lambda \right)=\overline{\alpha }f\left(\lambda \right)$, тогда $\tilde{\alpha }>0$,

$c_n^{\pm }=\frac{1}{2\tilde{\alpha }}\left[2\tilde{\alpha }\cos \left(\pi {\lambda }_n\right)+\tilde{\gamma }\sin \left(\pi {\lambda }_n\right)+f\left({\lambda }_n\right)\pm \sqrt{2\tilde{\alpha }\cos \left(\pi {\lambda }_n\right)+\tilde{\gamma }\sin \left(\pi {\lambda }_n\right)+f({\lambda }_n){)}^2-4{\tilde{\alpha }}^2}\right]=$

$=\frac{1}{2\tilde{\alpha }}\left[2\tilde{\alpha }\cos \right(\pi {\lambda }_n)+\tilde{\gamma }\sin (\pi {\lambda }_n)+f({\lambda }_n)\pm$

$\pm \sqrt{4\tilde{\alpha }\cos \left(\pi {\lambda }_n\right)\left(\tilde{\gamma }\sin \right(\pi {\lambda }_n)+f({\lambda }_n\left)\right)+{\left(\tilde{\gamma }\sin \right(\pi {\lambda }_n)+f({\lambda }_n)}^2-4{\tilde{\alpha }}^2{\sin }^2\left(\pi {\lambda }_n\right)]}$.

Далее аналогично случаю 3 строится последовательность $c_n$ такая, что все числа ${(-1)}^n{c}_n$ лежат строго по одну сторону от некоторой прямой, проходящей через начало координат. Из определения чисел $c_n$ и условия (14) вытекает, что выполняется равенство (27).

Отсюда следует, что все числа 𝑧_𝑛=𝑐_𝑛/𝑠˙(𝜆_𝑛) во всех случаях лежат строго по одну сторону от некоторой прямой, проходящей через начало координат, а из (19) и (27) вытекает, что

$z_n=\frac{1}{\pi }+{\rho }_n\mathrm{,} \left\{{\rho }_n\right\}\in l_2\mathrm{.}$

Пусть 𝛽_𝑛 =𝑐_𝑛−cos(𝜋𝜆_𝑛), тогда из (27) следует, что $\left\{{\beta }_n\right\}\in l_2$. Обозначим

$h\left(\lambda \right)=s\left(\lambda \right)\sum _{n=-\infty }^{\infty }\frac{{\beta }_n}{\dot{s(}{\lambda }_n\left)\right(\lambda -{\lambda }_n)}\mathrm{.}$

Согласно [13, с. 120] функция $h\in P{W}_{\pi }$ и $h\left({\lambda }_n\right)={\beta }_n$. Обозначим 𝑐(𝜆)=cos(𝜋𝜆)+ℎ(𝜆), тогда $c\left({\lambda }_n\right)=c_n\ne 0$, следовательно, функции $c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $s\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ не имеют общих корней.

Обозначим также второй столбец матрицы $E_0\left(x\mathrm{,}\lambda \right)$ через

$Y_0\left(x\mathrm{,}\lambda \right)=\left(\begin{array}{c}-\sin \left(\lambda x\right)\\ \cos \left(\lambda x\right)\end{array}\right)\mathrm{.}$

Пусть

$F\left(x\mathrm{,}t\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(\frac{c_n}{\dot{s}\left({\lambda }_n\right)}{Y}_0\left(x\mathrm{,}{\lambda }_n\right)Y_0^T\left(t\mathrm{,}{\lambda }_n\right)-\frac{1}{\pi }{Y}_0\left(x\mathrm{,}n\right)Y_0^T\left(t\mathrm{,}n\right)\right)\mathrm{.}$

Из [10] следует, что

$\parallel F(\cdot \mathrm{,}x){\parallel }_{L_{\mathrm{2,2}}^{\mathrm{2,2}}(0,\pi })+\parallel F(x\mathrm{,}\cdot ){\parallel }_{L_{\mathrm{2,2}}^{\mathrm{2,2}}(0,\pi )}<C_2\mathrm{,}$

где $C_2$ не зависит от $x$.

Используя установленные выше свойства чисел $z_n$, докажем, что для каждого $x\in [0,\pi ]$ однородное уравнение типа Гельфанда$–$Левитана

${\mathbf{f}}^{T}t+\underset{0}{\overset{x}{\int }}{\mathbf{f}}^T\mathbf{\left(}s\right)F\left(s\mathrm{,}t\right)ds=0$, (28)

где f (𝑡) = col(𝑓₁(𝑡), 𝑓₂(𝑡)), f ∈ 𝐿_2,2(0, 𝑥), f (𝑡) = 0, если 𝑥 < 𝑡 ⩽ 𝜋, имеет лишь тривиальное решение.

Умножая уравнение (28) на $\overline{f^T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ и интегрируя полученное уравнение на отрезке $[0,x]$, получаем

$\parallel \mathbf{f}{\parallel }_{L(0,x)}^2+\underset{0}{\overset{x}{\int }}⟨\underset{0}{\overset{x}{\int }}{\mathbf{f}}^T\mathbf{\left(}s\right)F\left(s\mathrm{,}t\right)ds\mathrm{,}{\mathbf{f}}^T\mathbf{\left(}t\right)⟩dt=0$. (29)

Несложные вычисления показывают, что

f^𝑇 (𝑠)𝐹(𝑠, 𝑡)=

$=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left\{z_n\right[f_1\left(s\right)\sin \left({\lambda }_{n}s\right)\sin \left({\lambda }_{n}t\right)-f_2\left(s\right)\cos \left({\lambda }_{n}s\right)\sin \left({\lambda }_{n}t\right)$,

$-f_1\left(s\right)\sin \left({\lambda }_{n}s\right)\cos \left({\lambda }_{n}t\right)+f_2\left(s\right)\cos \left({\lambda }_{n}s\right)\cos \left({\lambda }_{n}t\right)]-$

$-\frac{1}{\pi }\left[f_1\right(s\left)\sin \right(ns\left)\sin \right(nt)-f_2(s\left)\cos \right(ns\left)\sin \right(nt)$,

$-f_1\left(s\right)\sin \left(ns\right)\cos \left(nt\right)+f_2\left(s\right)\cos \left(ns\right)\cos \left(nt\right)\left]\right\}=$

$=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\{z_n\left[f_{1(}s\left)\sin \right({\lambda }_{n}s\left)\sin \right({\lambda }_{n}t)-f_2(s\left)\cos \right({\lambda }_{n}s\left)\sin \right({\lambda }_{n}t)\right]-$

$-\frac{1}{\pi }\left[f_1\left(s\right)\sin \left(ns\right)\sin \left(nt\right)-f_2\left(s\right)\cos \left(ns\right)\sin \left(nt\right)\right]\mathrm{,}$

$z_n\left[-f_1\left(s\right)\sin \left({\lambda }_{n}s\right)\cos \left({\lambda }_{n}t\right)+f_2\left(s\right)\cos \left({\lambda }_{n}s\right)\cos \left({\lambda }_{n}t\right)\right]-$

$-\frac{1}{\pi }\left[-f_1\left(s\right)\sin \left(ns\right)\cos \left(nt\right)+f_2\left(s\right)\cos \left(ns\right)\cos \left(nt\right)\right]\}$. (30)

Подставляя правую часть (30) во второй член в левой части (29), преобразуя повторные интегралы в произведения интегралов и используя вещественность всех чисел ${\lambda }_n$, находим, что

$\underset{0}{\overset{x}{\int }}⟨\underset{0}{\overset{x}{\int }}{\mathbf{f}}^T\mathbf{\left(}s\right)F\left(s\mathrm{,}t\right)ds\mathrm{,}{\mathbf{f}}^T\mathbf{\left(}t\right)⟩dt=$

$=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\underset{0}{\overset{x}{\int (}}\underset{0}{\overset{x}{\int \{}}{z}_n\left[f_1\right(s\left)\sin \right({\lambda }_{n}s\left)\sin \right({\lambda }_{n}t)-f_2(s\left)\cos \right({\lambda }_{n}s\left)\sin \right({\lambda }_{n}t\left)\right]-$

$-\frac{1}{\pi }\left[f_1\left(s\right)\sin \left(ns\right)\sin \left(n\right)t-f_2\left(s\right)\cos \left(ns\right)\sin \left(nt\right)\right]\left\}ds\right)\overline{f_1(t})dt+$

$+\sum _{n=-\infty }^{\infty }\underset{0}{\overset{x}{\int }}\left(\underset{0}{\overset{x}{\int \{}}{z}_n\right[-f_1\left(s\right)\sin \left({\lambda }_{n}s\right)\cos \left({\lambda }_{n}t\right)+f_2\left(s\right)\cos \left({\lambda }_{n}s\right)\cos \left({\lambda }_{n}t\right)]-$

$-\frac{1}{\pi }\left[-f_1\left(s\right)\sin \left(ns\right)\cos \left(nt\right)+f_2\left(s\right)\cos \left(ns\right)\cos \left(nt\right)\right]\left\}ds\right)\overline{f_2(t})dt=$

$=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(z_n\underset{0}{\overset{x}{\int }}\left[f_1\left(s\right)\sin \left({\lambda }_{n}s\right)-f_2\left(s\right)\cos \left({\lambda }_{n}s\right)\right]ds\underset{0}{\overset{x}{\int }}\sin \right({\lambda }_{n}t)\overline{f_1\left(t\right)}dt-$

$-\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{x}{\int }}\left[f_1\left(s\right)\sin \left(ns\right)-f_2\left(s\right)\cos \left(ns\right)\right]ds\underset{0}{\overset{x}{\int }}\sin \left(nt\right)\overline{f_1\left(t\right)}dt)+$

$+\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(z_n\underset{0}{\overset{x}{\int }}\left[-f_1\left(s\right)\sin \left({\lambda }_{n}s\right)+f_2\left(s\right)\cos \left({\lambda }_{n}s\right)\right]ds\underset{0}{\overset{x}{\int }}\cos \right({\lambda }_{n}t)\overline{f_2\left(t\right)}dt-$

$-\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{x}{\int }}\left[-f_1\left(s\right)\sin \left(ns\right)+f_2\left(s\right)\cos \left(ns\right)\right]ds\underset{0}{\overset{x}{\int }}\cos \left(nt\right)\overline{f_2\left(t\right)}dt)=$

$=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{z}_n\left(\underset{0}{\overset{x}{\int }}\left[f_1\left(s\right)\sin \left({\lambda }_{n}s\right)-f_2\left(s\right)\cos \left({\lambda }_{n}s\right)\right]ds\underset{0}{\overset{x}{\int }}\sin \right({\lambda }_{n}t)\overline{f_1\left(t\right)}dt+$

$+\underset{0}{\overset{x}{\int }}\left[-f_1\left(s\right)\sin \left({\lambda }_{n}s\right)+f_2\left(\right)s\cos \left({\lambda }_{n}s\right)\right]ds\underset{0}{\overset{x}{\int }}\cos \left({\lambda }_{n}t\right)\overline{f_2(t}\left)\right)dt-$

$-\sum _{n=-\infty }^{\infty }\frac{1}{\pi }\left(\underset{0}{\overset{x}{\int }}\left[f_1\left(s\right)\sin \left(ns\right)-f_2\left(s\right)\cos \left(ns\right)\right]ds\underset{0}{\overset{x}{\int }}\sin \right(nt\left)\overline{f(t}\right)dt+$

$+\underset{0}{\overset{x}{\int }}\left[-f_1\left(s\right)\sin \left(ns\right)+f_2\left(s\right)\cos \left(ns\right)\right]ds\underset{0}{\overset{x}{\int }}\cos \left(nt\right)\overline{f_2\left(t\right)}dt)=$

$=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{z}_n\left(\underset{0}{\overset{x}{\int }}\left[f_1\left(t\right)\sin \left({\lambda }_{n}t\right)-f_2\left(\right)t\cos \left({\lambda }_{n}t\right)\right]dt\underset{0}{\overset{x}{\int }}\sin \right({\lambda }_{n}t\left)\overline{f_1(t}\right)dt+$

$+\underset{0}{\overset{x}{\int }}\left[-f_1\left(t\right)\sin \left({\lambda }_{n}t\right)+f_2\left(t\right)\cos \left({\lambda }_{n}t\right)\right]dt\underset{0}{\overset{x}{\int }}\cos \left({\lambda }_{n}t\right)\overline{f_2(t}\left)dt\right)-$

$-\sum _{n=-\infty }^{\infty }\frac{1}{\pi }\left(\underset{0}{\overset{x}{\int }}\left[f_1\left(t\right)\sin \left(nt\right)-f_2\left(t\right)\cos \left(nt\right)\right]dt\underset{0}{\overset{x}{\int }}\sin \right(nt)\overline{f_1\left(t\right)}dt+$

$+\underset{0}{\overset{x}{\int }}\left[-f_1\left(t\right)\sin \left(nt\right)+f_2\left(t\right)\cos \left(nt\right)\right]dt\underset{0}{\overset{x}{\int }}\cos \left(nt\right)\overline{f_2(t}\left)dt\right)=$

$=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{z}_n\underset{0}{\overset{x}{\int }}\left[f_1\left(t\right)\sin \left({\lambda }_{n}t\right)-f_2\left(t\right)\cos \left({\lambda }_{n}t\right)\right]dt\underset{0}{\overset{x}{\int }}\left[\overline{f_1\left(t\right)}\sin \left({\lambda }_{n}t\right)-\overline{f_2\left(t\right)}\cos \left({\lambda }_{n}t\right)\right]dt-$

$-\sum _{n=-\infty }^{\infty }\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{x}{\int }}\left[f_1\left(t\right)\sin \left(nt\right)-f_2\left(t\right)\cos \left(nt\right)\right]dt\underset{0}{\overset{x}{\int }}\left[\overline{f_1\left(t\right)}\sin \left(nt\right)-\overline{f_2(t}\left)\cos \right(nt)\right]dt=$

$=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{z}_n{\left|\underset{0}{\overset{x}{\int }}⟨\mathbf{f}\mathbf{\left(}t\right),Y_0\left(t\mathrm{,}{\lambda }_n\right)⟩dt\right|}^2-\sum _{n=-\infty }^{\infty }\frac{1}{\pi }{\left|\underset{0}{\overset{x}{\int }}⟨\mathbf{f}\mathbf{\left(}t\right),Y_0\left(t\mathrm{,}n\right)⟩dt\right|}^2\mathrm{.}$ (31)

Хорошо известно, что система функций $\left\{Y_0\right(t\mathrm{,}n)/\sqrt{\pi }\}$ (𝑛∈Z) образует ортонормированный базис в пространстве $L_{\mathrm{2,2}}(0,\pi )$, поэтому из равенства Парсеваля вытекает, что

$\parallel \mathbf{f}{\parallel }_{L\mathrm{2,2}(0,x)}^2\underset{n=-\infty }{\overset{\infty }{=\sum }}\frac{1}{\pi }{\left|\underset{0}{\overset{x}{\int }}⟨\mathbf{f}\mathbf{\left(}t\right),Y_0\left(t\mathrm{,}n\right)⟩dt\right|}^2\mathrm{.}$ (32)

Из (29), (31) и (32) следует, что

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }{z}_n{\left|\underset{0}{\overset{x}{\int }}⟨\mathbf{f}\mathbf{\left(}t\right),Y_0\left(t\mathrm{,}{\lambda }_n\right)⟩dt\right|}^2=0$.

Так как все числа $z_n$ расположены строго по одну сторону от некоторой прямой, проходящей через начало координат, то

$\underset{0}{\overset{x}{\int }}⟨\mathbf{f}\mathbf{\left(}t\right),Y_0\left(t\mathrm{,}{\lambda }_n\right)⟩dt=0$

для всех 𝑛 ∈ Z. Из (17) вытекает, что функция $s\left(\lambda \right)$ является функцией типа синуса [13, с. 118$–$119], поэтому [1, лемма 5.3] система 𝑌₀(𝑡, 𝜆_𝑛) является базисом Рисса в $L_{\mathrm{2,2}}(0,\pi )$, а значит, система 𝑌₀(𝑡, 𝜆_𝑛) полна в пространстве $L_{\mathrm{2,2}}(0,\pi )$, откуда следует, что $\mathbf{f}\mathbf{\left(}t\right)\equiv 0$.

Согласно [10, теорема 5.1] функции 𝑐(𝜆) и −𝑠(𝜆) являются элементами первой строки матрицы монодромии

$\tilde{E}\left(\pi \mathrm{,}\lambda \right)=\left(\begin{array}{cc}{\tilde{c}}_1\left(\pi \mathrm{,}\lambda \right)& -{\tilde{s}}_2\left(\pi \mathrm{,}\lambda \right)\\ {\tilde{s}}_1\left(\pi \mathrm{,}\lambda \right)& {\tilde{c}}_2\left(\pi \mathrm{,}\lambda \right)\end{array}\right)$

задачи (1)$–$(3) с потенциалом $\tilde{V}\in L_2$, т.e.

$c\left(\lambda \right)={\tilde{c}}_1\left(\pi \mathrm{,}\lambda \right), s\left(\lambda \right)={\tilde{s}}_2\left(\pi \mathrm{,}\lambda \right)$. (33)

Из (13) находим, что соответствующий характеристический определитель равен

$\widetilde{\Delta (}\lambda )=J_0+\alpha {\tilde{c}}_2(\lambda )+\beta {\tilde{c}}_1(\lambda )+\gamma {\tilde{s}}_1(\lambda )J_0+(\alpha +\beta \left)\cos \right(\pi \lambda )+\gamma \sin (\pi \lambda )+\tilde{f}(\lambda ), \tilde{f}\in P{W}_{\pi }\mathrm{.}$

Из (5), (21) и (33) получаем, что

$\tilde{\Delta }\left({\lambda }_n\right)=J_0+\alpha {\tilde{c}}_2\left(\pi \mathrm{,}{\lambda }_n\right)+\beta {\tilde{c}}_1\left(\pi \mathrm{,}{\lambda }_n\right)=J_0+\frac{\alpha }{{\tilde{c}}_1\left(\pi \mathrm{,}{\lambda }_n\right)}+\beta {\tilde{c}}_1\left(\pi \mathrm{,}{\lambda }_n\right)=$

$=J_0+\frac{\beta }{c\left({\lambda }_n\right)}+\alpha c\left({\lambda }_n\right)=J_0+u_{+}\left({\lambda }_n\right)=U\left({\lambda }_n\right)$.

Отсюда следует, что функция

$\Phi \left(\lambda \right)\frac{U\left(\lambda \right)-\tilde{\Delta }\left(\lambda \right)}{s\left(\lambda \right)}\frac{f\left(\lambda \right)-\tilde{f}\left(\lambda \right)}{s\left(\lambda \right)}$,

является целой функцией на всей комплексной плоскости.

Так как

$\left|f\right(\lambda )-\tilde{f}(\lambda \left)\right|<c_1{e}^{\pi Im\lambda }\mathrm{,}$ (34)

то из (18) имеем, что |Φ(𝜆)|⩽𝑐2, если | Im 𝜆|⩾𝑀. Обозначим через $H$ объединение вертикальных отрезков {𝑧 : | Re 𝑧|=𝑛+1/2, | Im 𝜆|⩽𝑀}, где |𝑛|=𝑁0+1,𝑁0+2 Поскольку $c\left(\lambda \right)$ является функцией типа синуса [14], то |𝑠(𝜆)|>𝛿>0, если 𝜆∈𝐻. Из последнего неравенства, (34) и принципа максимума модуля аналитической функции находим, что |Φ(𝜆)|<𝑐₃ в полосе | Im 𝜆|⩽𝑀, следовательно, функция $\Phi \left(\lambda \right)$ ограничена во всей комплексной плоскости и в силу теоремы Лиувилля является постоянной. Пусть | Im 𝜆|=𝑀. Тогда из (15) получаем, что $li{m}_{\left|\lambda \right|\to \infty }\left(f\right()\lambda -\widetilde{f(}\lambda ))=0$, а значит, $\Phi \left(\lambda \right)\equiv 0$, откуда вытекает, что $U\left(\lambda \right)\equiv \widetilde{\Delta (}\lambda )$. Теорема доказана.

Дополнительно предположим, что условия (2), (3) нерегулярные, тогда характеристическое уравнение невозмущённой задачи (8) может быть приведено к виду

Δ₀(𝜆)=𝑑−𝑒^𝑖𝜋𝜆 =0, (35)

где $d\ne 0$. Пусть 𝑑=𝑒^𝑖𝜋, где $0\le Ret<2$. Из тривиального равенства

1−𝑒^𝑖𝜋𝜆 =−2𝑖𝑒^{𝑖𝜋𝜆/2} sin(𝜋𝜆/2)   

и хорошо известного разложения функции $\sin z$ в бесконечное произведение следует, что

${\Delta }_0\left(\lambda \right)-i\pi e^{i\pi t+\lambda }(\lambda -t)\prod _{\begin{array}{c}n=-\infty \mathrm{,}\\ n\ne 0\end{array}}^{\infty }\frac{2n+t-\lambda }{2n}\mathrm{,}$

и тогда уравнение (35) имеет корни

${\lambda }_n^0=2n+t\mathrm{,} n\in Z\mathrm{.}$

Теорема 2. Если $J_{14}+J_{23}\ne 0$, то для любой последовательности

${\lambda }_n=2n+t+{\epsilon }_n\mathrm{,}$ (36)

где ${\epsilon }_n\in l_2$, существует потенциал $V\in L_2(0,\pi )$ такой, что спектр соответствующей задачи (1)$–$(3), (11) совпадает с множеством $\left\{{\lambda }_n\right\}$. Если $J_{14}+J_{23}=0$, то последнее утверждение справедливо для любой последовательности, удовлетворяющей соотношению (36) и дополнительному условию

$\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left|\sum _{n=-\infty }^{\infty }\frac{{\epsilon }_n}{2n+t-k}\right|<\infty \mathrm{,}$ (37)

если $t\ne 0$, $t\ne 1$; дополнительным условиям

$\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left|\sum _{n=-\infty }^{\infty }\frac{{\epsilon }_n}{2n-2k-1}\right|<\infty \mathrm{,} \sum _{k=-\infty }^{\infty }\left|{\epsilon }_{2k+t}\right|<\infty \mathrm{,}$

если 𝑡=0 или 𝑡=1.

Доказательство. Очевидно, что

$\left|{\Delta }_0\right(\lambda \left)\right|<c_1{e}^{\pi Im\lambda |}\mathrm{.}$ (38)

Пусть последовательность ${\lambda }_n$ удовлетворяет условию (36). Тогда существует постоянная $M$ такая, что

$\sup |{\epsilon }_{n|<}M\mathrm{,} \sum _{n\in Z}|{\epsilon }_n{|}^2<M\mathrm{.}$ (39)

Обозначим

$\Delta \left(\lambda \right)=-i\pi e^{i\pi (t+\lambda )/2}(\lambda -{\lambda }_0)\prod _{\begin{array}{c}n=-\infty \mathrm{,}\\ n\ne 0\end{array}}^{\infty }\frac{{\lambda }_n-\lambda }{2n}\mathrm{.}$

Пусть 𝑓(𝜆)=Δ(𝜆)−Δ0(𝜆). Исследование свойств функции $f\left(\lambda \right)$ основывается на следующих утверждениях.

Утверждение 1. Функция $f\left(\lambda \right)$ является целой функцией экспоненциального типа, не превышающего $\pi$.

Доказательство. Обозначим через $\Gamma$ объединение кругов Γ(2𝑛+𝑡, 𝑟₀), 𝑛 ∈ Z, где $r_0=\min \left\{\right|t|/4, 1/4\}$ при $t\ne 0$ и $r_0\mathrm{<mo>=</mo>1<mo>/</mo>4}$ при $t\mathrm{<mo>=</mo>0}$. Если $\lambda \notin \Gamma$, то

$f\left(\lambda \right)=-{\Delta }_0\left(\lambda \right)\left(1-\frac{\Delta \left(\lambda \right)}{{\Delta }_0}\right)=-{\Delta }_0\left(\lambda \right)-\varphi \left(\lambda \right))$,   (40)

где

$\varphi \left(\lambda \right)\frac{\lambda -{\lambda }_0}{\lambda -t}\prod _{\begin{array}{c}n=-\infty \mathrm{,}\\ n\ne 0\end{array}}^{\infty }\left(1+\frac{{\epsilon }_n}{{\lambda }_n^0-\lambda }\right)\underset{n=-\infty }{\overset{\infty }{=\prod }}\left(1+\frac{{\epsilon }_n}{2n+t-\lambda }\right)\mathrm{.}$

Оценим функцию $\varphi \left(\lambda \right)$. Обозначим 𝛼_𝑛(𝜆)=𝜀_𝑛/(2𝑛+𝑡−𝜆) . Из (39) следует, что

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|{\alpha }_n\lambda \right|\le \sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(|{\epsilon }_n{|}^2+|2n+t-\lambda {|}^{-2}\right)/2<c_3\mathrm{.}$ (41)

Легко видеть, что для всех $|𝑛|>𝑛0, где 𝑛0 —$ достаточно большое число, справедливо неравенство

|𝛼_𝑛(𝜆)|<1/4, (42)

для любого $\lambda \notin \Gamma$. Если $\mathrm{<mo>|</mo>}n\mathrm{<mo>|</mo>}\le n_0$, то неравенство (42) имеет место для всех достаточно больших $\mathrm{<mo>|</mo>}\lambda \mathrm{<mo>|</mo>}$, следовательно, указанное неравенство справедливо для всех $\mathrm{<mo>|</mo>}\lambda \mathrm{<mo>|</mo>}\ge C_0$. Из (41), (42) и элементарного неравенства

| ln(1+𝑧)|⩽2|𝑧|, (43)

справедливого при $\mathrm{<mo>|</mo>}z\mathrm{<mo>|</mo>}\le \mathrm{1<mo>/</mo>4}$, следует, что

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|\ln \right(1+{\alpha }_n)\le c_4\mathrm{.}$

Здесь и в дальнейшем выбираем ту ветвь ln(1+𝑧), которая обращается в нуль при $z=0$. Согласно [15, гл. V, $\text{§}$ 1, п. 72] перепишем последнее соотношение в виде

$\left|\varphi \right(\lambda \left)\right|\le \prod _{n=-\infty }^{\infty }|1+{\alpha }_n(\lambda \left)\right|\le e^{c_4}\mathrm{.}$ (44)

Из (38), (40), (44) следует, что

|𝑓(𝜆)|<𝑐5𝑒^{𝜋| Im 𝜆|} (45)

вне области Γ′ =Γ∪{|𝜆|<𝐶₀}.

Обозначим 𝐷 =⋃︀𝑛∈Z[2𝑛+Re 𝑡−1/4, 2𝑛+Re 𝑡+1/4], 𝐷0 = (0, 2) ∖𝐷. Легко видеть, что множество $D_0$ является объединением конечного числа интервалов, сумма длин которых не менее единицы. Пусть $x_0$ $—$ середина одного из этих интервалов. Тогда все точки $x_0+2k$, 𝑘∈Z, лежат вне множества $D$. В частности, неравенство (45) справедливо, если $\lambda$ принадлежит прямым $Im\lambda =\pm {\widehat{C}}_0$, где ${\widehat{C}}_0=C_0+2\left|t\right|+1$, и вертикальным отрезкам с вершинами в точках $(x_0+2k\mathrm{,}-{\widehat{C}}_0)$, $(x_0+2k\mathrm{,}{\widehat{C}}_0)$, |2𝑘−1|>𝐶₀, 𝑘 ∈ Z. Согласно принципу максимума неравенство (45) имеет место на всей комплексной плоскости, следовательно, функция $f\left(\lambda \right)$ является целой функцией экспоненциального типа, не превышающего $\pi$.

Утверждение 2. Функция $f$ принадлежит классу $P{W}_{\pi }$.

Доказательство. Обозначим

$W\left(\lambda \right)=\ln \varphi \left(\lambda \right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\ln (1+{\alpha }_n(\lambda \left)\right)$,

тогда

$f\left(\lambda \right)=-{\Delta }_0\lambda \left(1-e^{W\lambda }\right)\mathrm{.}$ (46)

Оценим функцию $W\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, если $\lambda \notin {\Gamma }^{\prime }$. Из (39), (42), (43) следует, что

$\left|W\right(\lambda \left)\right|\le \sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|\ln \right(1+{\alpha }_n\left(\lambda \right)\left)\right|\le$

$\le \frac{2M}{\left|\lambda \right|}+\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(\frac{|{\epsilon }_n{|}^2}{10M}+\frac{10M}{|2n-\lambda {|}^2}\right)\le \frac{2M}{\left|\lambda \right|}+\frac{1}{10}+20M\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{n^2+|Im\lambda {|}^2}\le$

$\le \frac{2M}{\left|\lambda \right|}+\frac{1}{10}+20M\left(\frac{2}{|Im\lambda {|}^2}+\underset{1}{\overset{\infty }{\int }}\frac{dx}{x^2+|Im\lambda {|}^2}\right)\le \frac{2M}{\text{|}m\lambda |}+\frac{1}{10}+20M\left(\frac{2}{|Im\lambda {|}^2}+\frac{\pi }{2\left|Im\lambda \right|}\right)\mathrm{,}$

откуда вытекает, что

|𝑊(𝜆)|<1/4 (47)

если $\left|\mathrm{Im\lambda }\right|\ge M_1=10(\pi +2+22M)+{\widehat{C}}_0$. Из элементарных соотношений

$\frac{\left|z\right|}{2}\le |1-e^{z|}\le 2|z|$,

справедливых при $z\le 1/4$, получаем, что выполняется неравенство 1−𝑒^𝑊(𝜆)|⩽2|𝑊(𝜆)|, из которого и из (38), (46), (47) находим, что

|𝑓(𝜆)|⩽𝑐₆|𝑊(𝜆)| (48)

для $\lambda \in l$, где $l$ $–$ прямая $Im\lambda =M_1$. Докажем, что

$\underset{l}{\int |}W\left(\lambda \right){|}^{2}d\lambda <\infty \mathrm{.}$ (49)

Из элементарного неравенства ln(1+𝑧)−𝑧|⩽|𝑧|², справедливого при |𝑧|⩽1/2, получаем, что

ln(1+𝑧)−𝑧 =𝑟(𝑧), |𝑟(𝑧)|⩽|𝑧|²,

следовательно,

𝑊(𝜆)=𝑆₁(𝜆)+𝑆₂(𝜆),

где

$S_1\left(\lambda \right)\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\alpha }_n\left(\lambda \right), \left|S_2\right(\lambda \left)\right|\le \sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|{\alpha }_n\right(\lambda ){|}^2\mathrm{.}$

Очевидно, что

|𝑊(𝜆)|⩽|𝑆₁(𝜆)|+|𝑆₂(𝜆)| (50)

Положим

$I_m=\underset{l}{\int |}{S}_m\left(\lambda \right){|}^{2}d\lambda \mathrm{,} m=1, 2$.

Вначале рассмотрим интеграл $I_1$. В [16, c. 221] показано, что

$I_1=\underset{l}{\int }{\left|\sum _{n=-\infty }^{\infty }\frac{{\epsilon }_n}{2n+t-\lambda }\right|}^{2}d\lambda \underset{l_1}{=\int }{\left|\sum _{n=-\infty }^{\infty }\frac{{\epsilon }_n}{2n-\lambda }\right|}^{2}d\lambda <\infty \mathrm{,}$ (51)

где $l_1$ является прямой Im 𝜆=𝑀₁−Im 𝑡.

Легко видеть, что

$\left|S_2\right(\lambda \left)\right|\le \sum _{n=-\infty }^{\infty }\frac{|{\epsilon }_n{|}^2}{|2n+t-\lambda {|}^2}\le c_7\mathrm{,}$

тогда

$I_2\le c_7\underset{l}{\int }\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }\frac{|{\epsilon }_n{|}^2}{|2n+t-\lambda {|}^2}\right)d\lambda \le c_8\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|{\epsilon }_n{|}^2\underset{l_1}{\int }\frac{d\lambda }{|2n-\lambda {|}^2}{c}_9\sum _{n-\infty }^{\infty }\right|{\epsilon }_n{|}^2<c_{10}\mathrm{.}$ (52)

Из (50)$–$(52) вытекает условие (49). Из (48), (49) и [17, гл. 3, п. 3.2.2] получаем, что

$\underset{R}{\int }\left|f\right(\lambda ){|}^{2}d\lambda <\infty \mathrm{.}$

Таким образом, если $J_{14}+J_{23}\ne 0$, то функция $\Delta \left(\lambda \right)$ удовлетворяет всем условиям теоремы 1, и, значит, существует потенциал 𝑉 ∈ 𝐿₂(0, 𝜋) такой, что спектр соответствующей задачи (1)$–$(3), (11) определяется формулой (36).

Пусть $J_{14}+J_{23}=0$. Проверим, что функция $f\left(\lambda \right)$ удовлетворяет условию (14). Рассмотрим два случая.

1. $t\ne 0$, $t\ne 1$. Пусть 𝑘 ∈Z.. Очевидно, что

0<𝑐11 <|Δ₀(𝑘)|<𝑐₁₂. (53)

Из (36) следует, что существует такое число $n_0>0$, что

$\sum _{\left|n\right|>n_0}|{\epsilon }_n{|}^2<\frac{1}{1000}\mathrm{,}$

и для любого $|𝑛|>𝑛0$ справедливо нервенство

$|{\epsilon }_n{|}^{2/3}<\frac{1}{1000}\mathrm{.}$

Пусть $\lambda \notin {\Gamma }^{\prime }$. Дополнительно предположим, что

|𝜆|>𝑀₂ =1000(2𝑛₀+1)𝑛₀𝑀

Используя хорошо известное неравенство 𝑎𝑏 ⩽ 𝑎^𝑝/𝑝+^𝑏𝑞/𝑞 (𝑎, 𝑏 > 0, 𝑝, 𝑞 > 1, 1/𝑝+1/𝑞 = 1), получаем, что

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|{\alpha }_n\right(\lambda \left)\right|\le \sum _{n\le n_0}\frac{|{\epsilon }_{n|}}{|2n+t-\lambda |}+\sum _{n{n}_0}\frac{\left|{\epsilon }_n\right|}{2n+t-\lambda }\le$

$\le 2M\sum _{\left|n\right|\le n_0}\frac{1}{2n-\lambda }+2\sum _{\left|n\right|>n_0}\left(|{\epsilon }_n{|}^2+\frac{{\left({\epsilon }_n\right)}^{2/3}}{|2n-\lambda {|}^{2/3}}\right)\le \frac{1}{50}+\frac{1}{500}\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{4/3}}<\frac{1}{10}\mathrm{,}$

следовательно, неравенство (51) имеет место для любого $\lambda$ из рассматриваемой области.

Повторяя предыдущие рассуждения, находим, что

$\left|f\right(\lambda \left)\right|\le c_{13}\left(\left|\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\alpha }_n\left(\lambda \right)\right|+\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\alpha }_n{\left(\lambda \right)}^2\right)\mathrm{.}$

Из последнего неравенства вытекает, что для всех |𝑘|>𝑘₀, где 𝑘₀ =max(𝐶0,𝑀2),

$\left|f\right(k\left)\right|\le c_{14}\left(\left|\sum _{n=-\infty }^{\infty }\frac{{\epsilon }_n}{2n+t-k}\right|+\sum _{n=-\infty }^{\infty }\frac{|{\epsilon }_n{|}^2}{|2n+t-k{|}^2}\right)\mathrm{.}$ (54)

Очевидно, что

$\sum _{k=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }\frac{{\left({\epsilon }_n\right)}^2}{{(2n+t-k)}^2}=\sum _{n-\infty }^{\infty }|{\epsilon }_n{\sum _{k-\infty }^{\infty }}^2\frac{1}{|2n+t-k{|}^2}<c_{15}\sum _{n=-\infty }^{\infty }|{\epsilon }_n{|}^{2<}{c}_{16}\mathrm{.}$ (55)

Из (37), (53)$–$(55) следует справедливость условия (14).

2. $t\mathrm{<mo>=</mo>0}$ или $t\mathrm{<mo>=</mo>1}$. Пусть $t\mathrm{<mo>=</mo>0}$, случай $t\mathrm{<mo>=</mo>1}$ рассматривается аналогично.

Оценим $\mathrm{<mo>|</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}k+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}$. Очевидно, что . Рассуждая аналогично случаю 1, получаем

${\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>}-\infty }^{\infty }}\mathrm{<mo>|</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}k+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo><mo><</mo>}\infty \mathrm{.}$ (56)

Оценим $\mathrm{<mo>|</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}$. Очевидно, что ${\Delta }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$, следовательно, $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\Delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Так как функция $\Delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ ограничена в полосе $\mathrm{<mo>|</mo>}Im\lambda \mathrm{<mo>|</mo>}\le 1$ и для всех достаточно больших по абсолютной величине $k$ $\mathrm{<mo>|</mo>}{\epsilon }_k\mathrm{<mo>|</mo><mo><</mo>1<mo>/</mo>2}$, то согласно принципу максимума будем иметь

$\mathrm{<mo>|</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo><mo>=</mo><mo>|</mo>}\Delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}\le \mathrm{<mo>|</mo>}{\epsilon }_{2k}\mathrm{<mo>|</mo>}\underset{\mathrm{<mo>|</mo>2}k-\lambda \mathrm{<mo>|</mo><mo>=</mo>1}}{{\displaystyle \max }}\left\{\left|\frac{\Delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\lambda }_{2k}-\lambda }\right|\right\}\le c_{17}\mathrm{<mo>|</mo>}{\epsilon }_{2k}\mathrm{<mo>|</mo>.}$ (57)

Из (56), (57) и условия теоремы вытекает справедливость (14). Теорема доказана.

Заметим, что краевые условия

$A\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{cccc}1& -i& -1& -i\\ 1& 0& 1& 0\end{array}\right)\mathrm{,}$

удовлетворяющие соотношениям (11), являются нерегулярными, причём выполняется условие $J_{14}+J_{23}\mathrm{<mo>=</mo>0}$.

КОНФЛИКТ ИНТЕРЕСОВ

Автор данной работы заявляет, что у него нет конфликта интересов.