Gradient in the problem of controlling processes described by linear pseudohyperbolic equations

1. Введение. Постановка задачи

Пусть $L_j^{2n_j}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in ℝ\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, здесь $n_j\in \mathbb{N}$, $j\in \mathrm{<mo>\{</mo>1,2,3<mo>\}</mo>}$. Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

$L_1^{2n_1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}+L_2^{2n_2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\partial u}{\partial t}+L_3^{2n_3}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo>=</mo>}F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$     (1)

В нём операторы $L_j^{2n_j}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\partial \partial x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ можно рассматривать как линейные дифференциальные операторы порядка $2n$, $n={\max }_{j=1, 2, 3}{n}_j$, которые порождаются соответствующими многочленами от одной переменной и определяются соотношениями

$L_j^{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>0}}^{2n}}{p}_{j\mathrm{,}k}{z}^k\mathrm{,}{p}_{j\mathrm{,}k}\in ℝ\mathrm{,}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>0}}^{2n}}\left|p_{j\mathrm{,}k}\right|\ne \mathrm{0,}$

а при $z=\partial /\partial x$ имеем

 $L_j^{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>0}}^{2n}}{p}_{j\mathrm{,}k}\frac{{\partial }^k}{\partial x^k}\mathrm{,}{p}_{j\mathrm{,}k}\in ℝ\mathrm{.}$

Решение уравнения (1) удовлетворяет краевым условиям

${\alpha }_k\frac{{\partial }^{k}u}{\partial x^k}{|}_{x=0}=\mathrm{0,}{\beta }_k\frac{{\partial }^{k}u}{\partial x^k}{|}_{x=l}=\mathrm{0,}k=\overline{\mathrm{0,2}n-1},$    (2)

и начальным условиям

$u{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{t\mathrm{<mo>=</mo>0}}\mathrm{<mo>=</mo>}{u}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\frac{\partial u}{\partial t}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{t\mathrm{<mo>=</mo>0}}\mathrm{<mo>=</mo>}{u}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$    (3)

При этом числа ${\alpha }_k$, ${\beta }_k$ не все равны нулю. Отметим, что выполняются условия согласования на краях, а именно, условиям (2) удовлетворяют производные по переменной $t$ от функции $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и функции из начальных условий.

Стоит отметить, что начально-краевую задачу (1)$–$(3) можно рассматривать как обобщённую математическую модель колебательных процессов самой различной природы. В работе [1] приводится обзор различных математических моделей колебаний упругих материалов, для них устанавливается теорема единственности решения задачи Коши. В [2, 3] предлагаются алгоритмы для построения численных решений начально-краевой задачи для линейного и нелинейного псевдогиперболических уравнений. В статье [4] применяется проекционный метод Галёркина для линейного псевдогиперболического уравнения второго порядка по пространственной переменной с переменными коэффициентами. Важными результатами этой работы являются теорема единственности и оценки погрешности численного метода. Ниже рассмотрим конкретные примеры, в которых будем считать, что внешнего воздействия на колеблющуюся систему не оказывается, т.е. $F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$ (описание числовых параметров соответствующих моделей можно найти в источниках из предложенного списка литературы).

Пример 1 [уравнение колебаний струны]. Пусть $n\mathrm{<mo>=</mo>1}$, многочлены $L_1\mathrm{,}$ $L_2\mathrm{,}$ $L_3$ определяются соотношениями

$L_1^{2n}\left(z\right)=\mathrm{1,}{L}_2^{2n}\left(z\right)=\mathrm{0,}{L}_3^{2n}\left(z\right)=-a^2{z}^2.$

Тогда получаем (см. [5, 6]) уравнение

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}-a^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=0.$

Пример 2 [уравнение колебаний балки]. Пусть $n\mathrm{<mo>=</mo>2}$, многочлены $L_1\mathrm{,}$ $L_2\mathrm{,}$ $L_3$ определяются соотношениями

$L_1^{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1,}{L}_2^{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}{L}_3^{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{A}^2{z}^4\mathrm{.}$

Тогда (см. [5, 6])

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}+A^2\frac{{\partial }^{4}u}{\partial x^4}\mathrm{<mo>=</mo>0.}$

Пример 3 [уравнение колебаний двутавровой балки] Пусть $n\mathrm{<mo>=</mo>2}$, многочлены $L_1\mathrm{,}$ $L_2\mathrm{,}$ $L_3$ определяются соотношениями

$L_1^{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1,}{L}_2^{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}{L}_3^{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}-a^2{z}^2+A^2{z}^4\mathrm{.}$

Тогда (см. [7])

 $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}-a^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+A^2\frac{{\partial }^{4}u}{\partial x^4}=0.$

Пример 4 [уравнение Аллера$–$Лыкова]. Простейшее псевдогиперболическое уравнение получается при $n\mathrm{<mo>=</mo>1}$, многочлены $L_1$, $L_2$, $L_3$ определяются соотношениями

$L_1^{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{A}_1\mathrm{,}{L}_2^{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1}-A^2{z}^2\mathrm{,}{L}_3^{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}-D{z}^2\mathrm{.}$

Имеем (см. [8])

$A_1\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}+\frac{\partial u}{\partial t}-A^2\frac{{\partial }^{3}u}{\partial x^2\partial t}-D^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}\mathrm{<mo>=</mo>0.}$

Пример 5 [уравнение колебаний движущейся струны]. Пусть $n\mathrm{<mo>=</mo>1}$, многочлены $L_1\mathrm{,}$ $L_2\mathrm{,}$ $L_3$ определяются соотношениями

 $L_1^{2n}\mathrm{<mo>=</mo>1,}{L}_2^{2n}\mathrm{<mo>=</mo>2}{v}_{0}z\mathrm{,}{L}_3^{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\left(v_0^2-c^2\right)z^2\mathrm{.}$

Тогда [9]

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}+2v_0\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial t}+\left(v_0^2-c^2\right)\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}\mathrm{<mo>=</mo>0.}$    (4)

Пример 6 [уравнение колебаний движущегося упругого полотна]. Пусть $n\mathrm{<mo>=</mo>2}$, многочлены $L_1\mathrm{,}$ $L_2\mathrm{,}$ $L_3$ определяются соотношениями

$L_1^{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1,}{L}_2^{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>2}{v}_{0}z\mathrm{,}{L}_3^{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\left(v_0^2-c^2\right)z^2+\frac{D}{m}{z}^4\mathrm{.}$

Получаем [9]

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}+2v_0\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial t}+\left(v_0^2-c^2\right)\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{D}{m}\frac{{\partial }^{4}u}{\partial x^4}\mathrm{<mo>=</mo>0.}$    (5)

Пример 7 [уравнение колебаний движущегося вязкоупругого полотна]. Пусть $n\mathrm{<mo>=</mo>3}$, многочлены $L_1\mathrm{,}$ $L_2\mathrm{,}$ $L_3$ определяются соотношениями

$L_1^{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1,}{L}_2^{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>2}cz+\gamma \alpha z^4\mathrm{,}{L}_3^{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}^2-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}{z}^2+\alpha z^4+\gamma \alpha c{z}^5\mathrm{.}$

В результате получаем [9]

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}+2c\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial t}+\gamma \alpha \frac{{\partial }^{5}u}{\partial x^4\partial t}+\left(c^2-1\right)\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\alpha \frac{{\partial }^{4}u}{\partial x^4}+\gamma \alpha c\frac{{\partial }^{5}u}{\partial x^5}\mathrm{<mo>=</mo>0.}$    (6)

Для дальнейшего изложения потребуется вспомогательное утверждение.

Лемма 1. Пусть функция $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ удовлетворяет краевым условиям (2). Тогда существуют числа ${\alpha }_k$, ${\beta }_k$ при $k\in \mathrm{<mo>\{</mo>0,1,...,}n\mathrm{<mo>\}</mo>}$ такие, что имеют место тождества

 ${\displaystyle \underset{0}{\overset{l}{\int }}}\frac{{\partial }^{2k}u}{\partial x^{2k}}\frac{\partial u}{\partial t}dx\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^k}{2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{l}{\int }}}\frac{\partial }{\partial t}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{{\partial }^{k}u}{\partial x^k}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\text{}2}dx\mathrm{,}$    (7)

${\displaystyle \underset{0}{\overset{l}{\int }}}\frac{{\partial }^{2k+1}u}{\partial x^{2k+1}}\frac{\partial u}{\partial t}dx\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^k{\displaystyle \underset{0}{\overset{l}{\int }}}\frac{{\partial }^{k+1}u}{\partial x^{k+1}}\frac{{\partial }^{k+1}u}{\partial t\partial x^k}dx\mathrm{,}$    (8)

${\displaystyle \underset{0}{\overset{l}{\int }}}\frac{{\partial }^{2k+1}u}{\partial x^{2k}\partial t}\frac{\partial u}{\partial t}dx\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^k{\displaystyle \underset{0}{\overset{l}{\int }}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\partial }{\partial t}\frac{{\partial }^{k}u}{\partial x^k}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\text{}2}dx\mathrm{,}$    (9)

${\displaystyle \underset{0}{\overset{l}{\int }}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{{\partial }^{2k+1}u}{\partial x^{2k+1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\partial u}{\partial t}dx\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^k}{2}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{{\partial }^{k+1}u}{\partial x^k\partial t}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\text{}2}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{x\mathrm{<mo>=</mo>0}}^{x\mathrm{<mo>=</mo>}l}\mathrm{,}$     (10)

${\displaystyle \underset{0}{\overset{l}{\int }}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{{\partial }^{2k}}{\partial x^{2k}}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\partial u}{\partial t}dx\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^k}{2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{l}{\int }}}\frac{\partial }{\partial t}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{{\partial }^{k+1}u}{\partial t\partial x^k}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\text{}2}dx\mathrm{,}$    (11)

${\displaystyle \underset{0}{\overset{l}{\int }}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{{\partial }^{2k+1}}{\partial x^{2k+1}}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\partial u}{\partial t}dx\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{k+1}{\displaystyle \underset{0}{\overset{l}{\int }}}\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{{\partial }^{k+1}u}{\partial t\partial x^k}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{{\partial }^{k+1}u}{\partial t\partial x^k}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx\mathrm{.}$    (12)

Доказательство. Для доказательства необходимо применить формулу интегрирования по частям к интегралам, стоящим слева от знака равенства в формулах (7)$–$(12), и учесть краевые условия (2) при соответствующих значениях ${\alpha }_k\mathrm{,}$ ${\beta }_k$.

Далее поставим дополнительные ограничения на операторы $L_1^{2n}\partial /\partial x$, $L_3^{2n}\partial /\partial x$, на которые существенно будем опираться в дальнейшем. Введём обозначения: $\Omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}$ $x\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo>}$, $\Omega \mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}\Omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$; ${\widehat{W}}^{\mathrm{2,2}n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ множество функций, которые удовлетворяют краевым условиям (2), имеют производные до второго порядка по $t$ и производные до порядка $2n$ по переменной $x$ и интегрируемы с квадратом по области $\Omega$.

Пусть операторы $L_j^{2n}\partial /\partial x$ симметричные при $j\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\mathrm{1,3}}$, т.е. для любых функций $v_1\mathrm{,}{v}_2\in {\widehat{W}}^{\mathrm{2,2}n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ имеет место тождество

 $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{L}_j^{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{v}_1\mathrm{,}{v}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}_1\mathrm{,}{L}_j^{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{v}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$    (13)

где $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{,}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ скалярное произведение, определяемое формулой $\left(v_1\mathrm{,}{v}_2\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_0^l}{v}_1{v}_{2}dx$. Также потребуем, чтобы эти операторы были положительно определены, т.е. потребуем выполнения неравенства

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{L}_j^{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{v}_1\mathrm{,}{v}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ge C_j\left(v_1\mathrm{,}{v}_1\right)\mathrm{,}$    (14)

где $C_j\mathrm{<mo>></mo>0}$, $j\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\mathrm{1,3}}$. Так, при $p_k\ne 0$ дифференциальный оператор

 $L\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>0}}^n}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^k{p}_k^2\frac{{\partial }^{2k}}{\partial x^{2k}}$    (15)

является примером симметричного положительного оператора на пространстве функций, удовлетворяющих краевым условиям (2).

В этой работе будем говорить о слабых решениях задачи (1)$–$(3), т.е. таких функциях $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, которые для любых $v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in H_0^{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo>;</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и для любого $t\in \left[\mathrm{0<mo>;</mo>}T\right]$ при $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in H_0^{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo>;</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo>;</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ удовлетворяют тождеству

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{L}_1^{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{L}_2^{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\partial u}{\partial t}\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{L}_3^{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>.}$    (16)

Стоит обратить внимание на вопрос существования решения таких задач. Так, например, следуя [5], с использованием метода Галёркина можно построить последовательность конечномерных приближений, которая в слабом смысле будет сходиться к решению, которое удовлетворяет тождеству (16).

Пусть оператор $L_1^{2n}\partial /\partial x$ имеет вид (15), т.е.

$p_{\mathrm{1,}r}\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{0,}& r\mathrm{<mo>=</mo>2}k+\mathrm{1,}\\ {\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^k{p}_{2k}^2\mathrm{,}& r\mathrm{<mo>=</mo>2}k\mathrm{.}\end{array}\right.$

Далее введём на множестве ${\widehat{W}}^{\mathrm{2,2}n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ новое скалярное произведение

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}u\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{L}_1^{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$    (17)

Формула (17) при $p_0\ne 0$ корректно определяет скалярное произведение в силу построения оператора $L_1^{2n}\partial /\partial x$, симметричность следует из равенства (13), положительная определённость $—$ из (14).

Лемма 2. Имеет место неравенство

$\parallel w{\parallel }_2^2\le {\sigma }_l\parallel w{\parallel }_{L_1^{2n}}^2\mathrm{,}$

где $\parallel w{\parallel }_2^2\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}w\mathrm{,}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ $\parallel w{\parallel }_{L_1^{2n}}^2\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}w\mathrm{,}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}$ ${\sigma }_l=1/\left(L_1^{2n}\right(1/l\left)\right)$.

Доказательство. В силу формулы Ньютона$–$Лейбница, свойств интеграла и неравенства треугольника имеем

$\mathrm{<mo>|</mo>}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}-\mathrm{<mo>|</mo>}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}\le \mathrm{<mo>|</mo>}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo><mo>=</mo><mo>|</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}\frac{\partial w}{\partial x}dx\mathrm{<mo>|</mo>}\le {\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}\mathrm{<mo>|</mo>}\frac{\partial w}{\partial x}\mathrm{<mo>|</mo>}dx\mathrm{.}$    (18)

После возведения в квадрат получаем соотношения

${\left|w\right|}^2\le {\left(\underset{0}{\overset{l}{\int }}\left|\frac{\partial w}{\partial x}\right|dx\right)}^{\text{}2}+2\left|wx,t\right| \left|w\left(\mathrm{0,}t\right)\right|\le {\left(\underset{0}{\overset{l}{\int }}\left|\frac{\partial w}{\partial x}\right|dx\right)}^{\text{}2}+2\left|w\left(\mathrm{0,}𝑡\right)\right|\underset{x\in \left[\mathrm{0,}l\right]}{max}\left|w\left(x,t\right)\right|,$

и, применив неравенство Гёльдера,

$\mathrm{<mo>|</mo>}w{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2\le l{C}_w{\displaystyle \underset{0}{\overset{l}{\int }}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\partial w}{\partial x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\text{}2}dx\mathrm{,}$    (19)

где

$C_w\mathrm{<mo>=</mo>1}+\mathrm{2<mo>|</mo>}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}\underset{x\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}{{\displaystyle \max }}\mathrm{<mo>|</mo>}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo><mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}l{\displaystyle \underset{0}{\overset{l}{\int }}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\partial w}{\partial x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\text{}2}dx\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

С помощью леммы и неравенства (19) оценим слагаемые в выражении нормы, порождённой оператором $L_1^{2n}$:

$\parallel w{\parallel }_{L_1^{2n}}^2\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{L}_1^{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}w\mathrm{,}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{l}{\int }}}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>0}}^n}{p}_{2k}^2{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{{\partial }^{k}w}{\partial x^k}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\text{}2}dx\mathrm{.}$    (20)

Заметим, что неравенство (19) можно применять для производных, тогда получим

$\mathrm{<mo>|</mo>}\frac{{\partial }^{s}w}{\partial x^s}{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2\le l{C}_{\frac{{\partial }^{s}w}{\partial x^s}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{l}{\int }}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{{\partial }^{s+1}w}{\partial x^{s+1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\text{}2}dx\mathrm{,}$

откуда следует, что для любых $s\in \mathrm{<mo>\{</mo>0,1,...,2}n-\mathrm{1<mo>\}</mo>}$ выполняется оценка

$\parallel \frac{{\partial }^{s}w}{\partial x^s}{\parallel }_2^2\le l^2{C}_{\frac{{\partial }^{s}w}{\partial x^s}}\parallel \frac{{\partial }^{s+1}w}{\partial x^{s+1}}{\parallel }_2^2\mathrm{.}$    (21)

Поменяем в (20) порядок интегрирования и суммирования и применим неравенство (21):

$\parallel w{\parallel }_{L_1^{2n}}^2\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>0}}^n}{p}_{2k}^2{\displaystyle \underset{0}{\overset{l}{\int }}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{{\partial }^{k}w}{\partial x^k}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\text{}2}dx\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>0}}^n}{p}_{2k}^2\parallel \frac{{\partial }^{k}w}{\partial x^k}{\parallel }_2^2\ge \parallel w{\parallel }_2^2{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>0}}^n}\frac{p_{2k}^2}{l^{2k}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\displaystyle \prod _{s\mathrm{<mo>=</mo>0}}^k}{C}_{\frac{{\partial }^{s}w}{\partial x^s}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\text{}-1}\mathrm{.}$

Так как $\underset{𝑠\in \{0,1,...,𝑛\}}{\overset{}{\min }}$ $C_{\frac{{\partial }^{s}w}{\partial x^s}}$=1, то окончательно получим

$\parallel w{\parallel }_{L_1^{2n}}^2\ge L_1^{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{1}{l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\parallel w{\parallel }_2^2\mathrm{.}$

Полагая ${\sigma }_l=1/\left(L_1^{2n}\right(1/l\left)\right)$, завершаем доказательство леммы 2.

2. Задача управления

Рассмотрим уравнение (1) с краевыми условиями (2) и начальными условиями (3). Мы можем выбрать функцию $F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ правую часть уравнения (1). Пусть множество

$\Phi \mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo><mo>\{</mo>}F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{l}{\int }}}{F}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dxdt\mathrm{<mo><</mo>}+\infty \mathrm{<mo>\}</mo>.}$

Наша цель $—$ определить функцию $f\in \Phi$, которая доставляет минимум функционалу

 $J\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{‖u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}T\mathrm{,}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-y_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}‖}_2^2+\parallel \frac{\partial u}{\partial t}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}T\mathrm{,}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-y_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_2^2+\frac{1}{{\epsilon }^2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{l}{\int }}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}}{f}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dtdx\mathrm{,}$    (22)

где $y_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ $y_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ заданные функции; $\epsilon \mathrm{,}$ $T$ $—$ заданные положительные числа. Такой вид функционала рассматривается в работах [6, 10]. Другими словами, необходимо определить функцию $f$ такую, что к заданному моменту времени $T$ решение задачи (1)$–$(3) приблизится к функции $y_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, а производная решения по $t$ $—$ к $y_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Заметим, что если $y_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv 0$, $y_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv 0$, то задача состоит в гашении колебаний к заданному моменту времени.

Вместо (22) можно рассмотреть функционал

$J_{L_1^{2n}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{‖u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}T\mathrm{,}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-y_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}‖}_{L_1^{2n}}^2+\parallel \frac{\partial u}{\partial t}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}T\mathrm{,}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-y_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_1^{2n}}^2+C_{\epsilon }{\displaystyle \underset{0}{\overset{l}{\int }}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}}{f}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dtdx\mathrm{,}$    (23)

где $C_{\epsilon }=1/\left({\sigma }_l{\epsilon }^2\right)$.

Теорема 1 [об оценке функционала]. Имеет место неравенство

 $J\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le {\sigma }_l{J}_{L_1^{2n}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Доказательство. Воспользуемся леммой для первого и второго слагаемых в (22). Тогда, очевидно, получим

$J\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le {\sigma }_l\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{‖u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}T\mathrm{,}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-y_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}‖}_{L_1^{2n}}^2+\parallel \frac{\partial u}{\partial t}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}T\mathrm{,}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-y_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_1^{2n}}^2+\frac{1}{{\sigma }_l{\epsilon }^2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{l}{\int }}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}}{f}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dtdx\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Положив $C_{\epsilon }=1/\left({\sigma }_l{\epsilon }^2\right)$, завершим доказательство теоремы.

Отметим, что если $J_{L_1^{2n}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{f}_m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\to 0$ при $m\to \infty$, то в силу неравенства из теоремы получим $J\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{f}_m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\to 0$ при $m\to \infty$. Далее, если определим минимизирующую последовательность функций $f_m\in \Phi$ такую, что ${\lim }_{m\to \infty }{J}_{L_1^{2n}}{f}_m{J}_{L_1^{2n}}{f}^{\ast }$ (здесь $f^{\ast }\in \Phi$ $—$ функция, доставляющая минимум функционалу (23)), то будет найден не оптимальный, а квазиоптимальный режим.

Перепишем формулу (23) в более удобном виде:

$J_{L_1^{2n}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}T\mathrm{,}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-y_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}T\mathrm{,}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-y_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+$

$+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\partial u}{\partial t}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}T\mathrm{,}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-y_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\frac{\partial u}{\partial t}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}T\mathrm{,}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-y_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\text{}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+C_{\epsilon }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}f\mathrm{,}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Следующим стандартным шагом для получения необходимых условий оптимальности является вычисление вариации функционала $J_{L_1^{2n}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Определим её как

$\delta J_{L_1^{2n}}\mathrm{<mo>=</mo>}{J}_{L_1^{2n}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}f+h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-J_{L_1^{2n}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

где $h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \Phi$.

Получим выражение для вариации функционала:

$\delta J_{L_1^{2n}}=\left(u\right(x,T,f+h)-y_0(x),u(x,T,f+h)-y_0(x\left)\right)+$

$+\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right(x,T,f+h)-y_1(x),\frac{\partial u}{\partial t}(x,T,f+h)-y_1(x\left)\right)+C_{\epsilon }(f+h,f+h)-$

$-\left(u\right(x,T,f)-y_0(x),u(x,T,f)-y_0(x\left)\right)-\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right(x,T,f)-y_1(x),\frac{\partial u}{\partial t}(x,T,f)-y_1(x\left)\right)-C_{\epsilon }(f,f)=$

$=\left(u\right(x,T,f+h)+u(x,T,f),u(x,T,f+h)-u(x,T,f\left)\right)+$

$+\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right(x,T,f+h)+\frac{\partial u}{\partial t}(x,T,f),\frac{\partial u}{\partial t}(x,T,f+h)-\frac{\partial u}{\partial t}(x,T,f\left)\right)-$

$-2\left(\right(u(x,T,f+h)-u(x,T,f),y_0\left(x\right))+(\frac{\partial u}{\partial t}(x,T,f+h)-\frac{\partial u}{\partial t}(x,T,f),y_1\left(x\right)\left)\right)+$

$+C_{\epsilon }\underset{0}{\overset{l}{\int }}\underset{0}{\overset{T}{\int }}\left(2f(x,t)h(x,t)+h^2(x,t)\right)dtdx.$

Пусть теперь $\delta u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}f+h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ Эта функция удовлетворяет исходному уравнению (1) с правой частью $F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, а именно

$L_1^{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\delta u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+L_2^{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\delta u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+L_3^{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\delta u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$    (24)

краевым условиям (2) и нулевым начальным условиям

$\delta u{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{t\mathrm{<mo>=</mo>0}}\mathrm{<mo>=</mo>0,}\frac{\partial \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\delta u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{t\mathrm{<mo>=</mo>0}}\mathrm{<mo>=</mo>0.}$    (25)

Тогда

$\delta J_{L_1^{2n}}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\delta u+2u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}T\mathrm{,}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\delta u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\partial \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\delta u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t}+2\frac{\partial u}{\partial t}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}T\mathrm{,}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\frac{\partial \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\delta u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-$

 $-\mathrm{2<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\delta u\mathrm{,}{y}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\partial \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\delta u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t}\mathrm{,}{y}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+C_{\epsilon }{\displaystyle \underset{0}{\overset{l}{\int }}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}}\left(2f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+h^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)dtdx\mathrm{,}$

 $\delta J_{L_1^{2n}}\mathrm{<mo>=</mo>2<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}T\mathrm{,}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-y_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\delta u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\partial u}{\partial t}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}T\mathrm{,}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-y_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\frac{\partial \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\delta u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+C_{\epsilon }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}f\mathrm{,}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+R_h\mathrm{,}$    (26)

где

$R_h\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\delta u\mathrm{,}\delta u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\partial \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\delta u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t}\mathrm{,}\frac{\partial \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\delta u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+C_{\epsilon }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}h\mathrm{,}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$    (27)

Далее определим сопряжённую функцию $\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, которая является решением краевой задачи для сопряжённого уравнения. Начальные условия для сопряжённой функции определяются условиями

$\frac{\partial \psi }{\partial t}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{t\mathrm{<mo>=</mo>}T}\mathrm{<mo>=</mo>}-\mathrm{2<mo\; stretchy="false">(</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}T\mathrm{,}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-y_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}\psi {\mathrm{<mo>|</mo>}}_{t\mathrm{<mo>=</mo>}T}\mathrm{<mo>=</mo>2<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\partial u}{\partial t}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}T\mathrm{,}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-y_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>.}$    (28)

С учётом условий (28) выражение для вариации (26) можно записать как

 $\delta J_{L_1^{2n}}\mathrm{<mo>=</mo>}-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\partial \psi }{\partial t}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\delta u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\frac{\partial \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\delta u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+2C_{\epsilon }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}f\mathrm{,}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+R_h\mathrm{.}$    (29)

Запишем дифференциальное уравнение для $\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Из (29) временно отбросим величину $R_h$, тогда, изменив порядок дифференцирования под знаком интеграла и использовав симметричность оператора $L_1^{2n}$, получим

$\delta J_{L_1^{2n}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{l}{\int }}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-L_1^{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\partial \psi }{\partial t}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\delta u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+L_1^{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\partial \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\delta u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t}+2C_{\epsilon }{\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\text{}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx\mathrm{<mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{l}{\int }}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{L}_1^{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\text{}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{t\mathrm{<mo>=</mo>}T}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\delta u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+L_1^{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\partial \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\delta u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t}+2C_{\epsilon }{\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx\mathrm{<mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{l}{\int }}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}}\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{L}_1^{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\delta u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+L_1^{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\partial \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\delta u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt+2C_{\epsilon }{\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx\mathrm{<mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{l}{\int }}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-L_1^{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\delta u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+L_1^{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\delta u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+2C_{\epsilon }f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}dtdx\mathrm{.}$

Учитывая симметричность оператора $L_1^{2n}\partial /\partial x$ (см. (13)), преобразуем последний интеграл:

$\delta J_{L_1^{2n}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{l}{\int }}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-L_1^{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\delta u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cdot L_1^{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\delta u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+2C_{\epsilon }f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}dtdx\mathrm{,}$

выражая из (24) слагаемое $L_1^{2n}(\partial /\partial x)\left({\partial }^2\right(\delta u)/\partial t^2)$, получаем

$\delta J_{L_1^{2n}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{l}{\int }}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-L_1^{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cdot \delta u+$

$+\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-L_2^{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\partial \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\delta u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t}-L_3^{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\delta u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\text{}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+2C_{\epsilon }f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\text{}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dtdx\mathrm{.}$

Здесь после раскрытия скобок и группировки слагаемых с сомножителем $h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ окончательно будем иметь

$\delta J_{L_1^{2n}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{l}{\int }}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-L_1^{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{{\partial }^2\psi }{\partial t^2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\delta u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\psi L_2^{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\partial \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\delta u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t}-\psi L_3^{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\delta u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\psi +2C_{\epsilon }f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dtdx\mathrm{.}$    (30)

В формуле (30) для краткости не указываем аргументы $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Определим далее сопряжённое уравнение

$\delta u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{L}_1^{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{{\partial }^2\psi }{\partial t^2}+L_3^{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\psi L_2^{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\partial \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\delta u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t}\mathrm{<mo>=</mo>0.}$     (31)

Тогда из (30) с учётом (31) получаем окончательное выражение для вариации:

$\delta J_{L_1^{2n}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{l}{\int }}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}}\left(\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+2C_{\epsilon }f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dtdx+R_h\mathrm{.}$    (32)

Формула (32) даёт представление приращения функционала (23), которое линейно относительно приращения управления $h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Если докажем, что $R_h$ имеет более высокий порядок малости относительно приращения $h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, то формула (32) даст явное выражение градиента функционала, что позволит использовать его для построения градиентных методов минимизации. Далее сформулируем вспомогательное утверждение.

Теорема 2 [энергетическое тождество]. Пусть $L_1^{2n}\partial /\partial x$, $L_3^{2n}\partial /\partial x$ $—$ дифференциальные операторы, которые имеют вид

 $L_1^{2n}\left(\frac{\partial }{\partial x}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>0}}^n}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^k{p}_{\mathrm{1,2}k}^2\frac{{\partial }^{2k}}{\partial x^{2k}}\mathrm{,}{L}_3^{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>0}}^n}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^k{p}_{\mathrm{3,2}k}^2\frac{{\partial }^{2k}}{\partial x^{2k}}\mathrm{,}$

а оператор $L_2^{2n}\partial /\partial x$ $—$ оператор общего вида. Определим величину

$E\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{l}{\int }}}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>0}}^n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{p}_{\mathrm{1,2}k}^2{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{{\partial }^{k+1}u}{\partial x^k\partial t}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\text{}2}+p_{\mathrm{3,2}k}^2{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{{\partial }^{k}u}{\partial x^k}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\text{}2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx{\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>|</mo>}}_{t\mathrm{<mo>=</mo>}\tau }\mathrm{,}$    (33)

где $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ решение уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям (2) и начальным условиям (3). Тогда для любого $\tau \mathrm{<mo>></mo>0}$ имеет место тождество

  $E\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-E\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle \underset{0}{\overset{l}{\int }}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\tau }{\int }}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{L}_2^{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\partial u}{\partial t}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\partial u}{\partial t}dtdx\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{l}{\int }}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\tau }{\int }}}F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\partial u}{\partial t}dtdx\mathrm{.}$    (34)

Доказательство. Умножим уравнение (1) на $\partial /\partial x$ и проинтегрируем по области $\Omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, а после использования леммы немедленно получим утверждение теоремы.

Установленную теорему можно применять для доказательства единственности решения краевых задач.

Следствие [единственность решения]. Пусть существует решение $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ начально-краевой задачи (1)$–$(3) и выполняется равенство

${\displaystyle \underset{0}{\overset{l}{\int }}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\tau }{\int }}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{L}_2^{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\partial u}{\partial t}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\partial u}{\partial t}dtdx\mathrm{<mo>=</mo>0.}$

Тогда это решение единственно.

Доказательство. Пусть $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ различные (несовпадающие) решения начально-краевой задачи. Рассмотрим функцию $v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Она является решением задачи (1), (2) при $F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$ и при нулевых начальных условиях (3). По теореме для функции $v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ имеем $E\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-E\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$ и $E\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0.}$ Тогда в силу (34) получаем $v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv 0$, откуда $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ 

Теорема 3 [оценка остатка $R_h$]. Пусть

 $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{L}_2^{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\partial \delta u}{\partial t}\mathrm{,}\frac{\partial \delta u}{\partial t}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ge 0$

и выполнены условия теоремы 2. Тогда для величины $R_h$ из (27) имеет место оценка

$R_h\mathrm{<mo>=</mo>}O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{l}{\int }}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}}{h}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dtdx\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Доказательство. Рассмотрим первое и второе слагаемые в (27). Раскрыв скалярное произведение, с учётом леммы будем иметь

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\frac{\partial \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\delta u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t}\mathrm{,}\frac{\partial \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\delta u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{l}{\int }}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{L}_1^{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\partial \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\delta u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\partial \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\delta u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t}dtdx\mathrm{.}$