Том 213, № 2 (2022)

Рассматриваются биллиарды на связных компактных столах в $\mathbb{R}^3$, ограниченных конечным числом софокусных квадрик и имеющих двугранные углы, равные ${\pi}/{2}$. Биллиарды в таких областях являются интегрируемыми, имея три первых интеграла, инволютивных внутри области. Введено два отношения эквивалентности: комбинаторная эквивалентность столов-областей, определяемая устройством их границы, и слабая эквивалентность соответствующих биллиардных систем на них. Выполнена классификация биллиардных столов в $\mathbb{R}^3$ относительно комбинаторной эквивалентности, получено 35 классов попарно неэквивалентных столов. Для каждого из полученных классов столов определен класс гомеоморфности неособого изоэнергетического 5-многообразия: либо $S^5$, либо $S^1\times S^4$, либо $S^2\times S^3$. Получено 24 класса попарно неэквивалентных (относительно слабой эквивалентности) слоений Лиувилля биллиардов на указанных столах в ограничении на неособый уровень энергии. Также определены атомы-бифуркации трехмерных торов, соответствующие дугам бифуркационной диаграммы.Библиография: 59 названий.

На бесконечномерном торе $\mathbb{T}^{\infty} {=} E/2\pi\mathbb{Z}^{\infty}$, где $E$ – бесконечномерное вещественное банахово пространство, $\mathbb{Z}^{\infty}$ – абстрактная целочисленная решетка, рассматривается специальный класс диффеоморфизмов $\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$. Упомянутый класс состоит из отображений $G\colon \mathbb{T}^{\infty}\to\mathbb{T}^{\infty}$, представляющих собой суммы линейных обратимых ограниченных операторов, сохраняющих решетку $\mathbb{Z}^{\infty}$, и $C^1$-гладких периодических добавок. Устанавливаются необходимые и достаточные условия, гарантирующие гиперболичность таких отображений (т.е. принадлежность их к диффеоморфизмам Аносова).Библиография: 15 названий.

Теорема Чмутова–Ландо утверждает, что значение весовой системы (функции на хордовых диаграммах, удовлетворяющей четырехчленным соотношениям Васильева), отвечающей алгебре Ли $\mathfrak{sl}_2$, зависит лишь от графа пересечений хордовой диаграммы.Мы вычисляем значения $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы на графах нескольких бесконечных серий, представляющих собой соединение графа с малым числом вершин с дискретным графом. В частности, мы вычисляем эти значения для серии, в которой исходный граф является циклом на пяти вершинах; все графы этой серии, за исключением начального, не являются графами пересечений.Мы также выводим формулу для проекций производящих функций графов, представляющих собой соединение произвольного графа с дискретным, на подпространство примитивных элементов в алгебре Хопфа графов. Воспользовавшись полученной формулой, мы вычисляем значения $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы на проекциях графов указанных серий на подпространство примитивных элементов. Наши вычисления подтверждают гипотезу С. К. Ландо о значениях $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы на проекциях на подпространство примитивных.Библиография: 17 названий.