Равномерное распределение нулей случайных многочленов и случайные полиномиальные отображения в $\mathbb C^m$

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Только для подписчиков

Аннотация

Мы рассматриваем задачу о равномерном распределении нулей для последовательности $Z$-асимптотически чебышёвских многочленов в $\mathbb{C}^{m}$. Используя некоторые результаты из недавней работы Байрактара, Блума и Левенберга, мы получаем результат о равномерном распределении для более общей вероятностной постановки, чем рассмотренная Байрактаром, Блумом и Левенбергом, притом, что у них использованы базисные многочлены более общего вида, чем $Z$-асимптотически чебышёвские. Полученный нами результат о равномерном распределении основан на оценке ожидаемого распределения и дисперсии для случайных потоков, ассоциированных с множествами нулей многочленов. Наш общий результат о равномерном распределении показывает, что равномерное распределение имеет место и без предположения, что случайные коэффициенты разложения по базису являются независимыми одинаково распределенными величинами, что также означает, что нет необходимости рассматривать какую-то конкретную функцию распределения этих случайных коэффициентов. В § 3, в отличие от случая коразмерности 1, мы исследуем базис из полиномов, ортогональных относительно $ L^{2}$-скалярного произведения, задаваемого асимптотически взвешенными бернштейново-марковскими мерами на заданном локально регулярном компакте, и для распределения вероятности из класса, глубоко изученного Байрактаром и включающего в себя как частные случаи (стандартное) гауссовское распределение и вероятностное распределение Фубини–Штуди, получаем результат о равномерном распределении в коразмерности $>1$.Библиография: 35 названий.

Об авторах

Озан Гюньюз

Faculty of Engineering and Natural Sciences, Sabanci University, Istanbul, Turkey

Автор, ответственный за переписку.
Email: ozangunyuz@alumni.sabanciuniv.edu
доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник

Список литературы

  1. Н. И. Ахиезер, Лекции по теории аппроксимации, 2-е изд., Наука, М., 1965, 407 с.
  2. A. Bojnik, O. Günyüz, Random systems of holomorphic sections of a sequence of line bundles on compact Kähler manifolds
  3. T. Bayraktar, “Equidistribution of zeros of random holomorphic sections”, Indiana Univ. Math. J., 65:5 (2016), 1759–1793
  4. T. Bayraktar, “Zero distribution of random sparse polynomials”, Michigan Math. J., 66:2 (2017), 389–419
  5. T. Bayraktar, T. Bloom, N. Levenberg, “Random polynomials in several complex variables”, J. Anal. Math., 153:1 (2024), 219–245
  6. A. Bloch, G. Polya, “On the roots of certain algebraic equations”, Proc. London Math. Soc. (2), 33:2 (1931), 102–114
  7. T. Bloom, “On families of polynomials which approximate the pluricomplex Green function”, Indiana Univ. Math. J., 50:4 (2001), 1545–1566
  8. T. Bloom, “Random polynomials and Green functions”, Int. Math. Res. Not. IMRN, 2005:28 (2005), 1689–1708
  9. T. Bloom, “Random polynomials and (pluri)potential theory”, Ann. Polon. Math., 91:2-3 (2007), 131–141
  10. T. Bloom, B. Shiffman, “Zeros of random polynomials on $mathbb C^m$”, Math. Res. Lett., 14:3 (2007), 469–479
  11. T. Bloom, N. Levenberg, “Random polynomials and pluripotential-theoretic extremal functions”, Potential Anal., 42:2 (2015), 311–334
  12. T. Bloom, D. Dauvergne, “Asymptotic zero distribution of random orthogonal polynomials”, Ann. Probab., 47:5 (2019), 3202–3230
  13. T. Bayraktar, D. Coman, G. Marinescu, “Universality results for zeros of random holomorphic sections”, Trans. Amer. Math. Soc., 373:6 (2020), 3765–3791
  14. D. Coman, G. Marinescu, “Equidistribution results for singular metrics on line bundles”, Ann. Sci. Ec. Norm. Super. (4), 48:3 (2015), 497–536
  15. J.-P. Demailly, “Monge–Ampère operators, Lelong numbers and intersection theory”, Complex analysis and geometry, Univ. Ser. Math., Plenum Press, New York, 1993, 115–193
  16. P. Erdös, P. Turan, “On the distribution of roots of polynomials”, Ann. of Math. (2), 51 (1950), 105–119
  17. J. E. Fornaess, N. Sibony, “Oka's inequality for currents and applications”, Math. Ann., 301:3 (1995), 399–419
  18. J. P. Forrester, G. Honner, “Exact statistical properties of the zeros of complex random polynomials”, J. Phys. A, 32:16 (1999), 2961–2981
  19. O. Günyüz, Equidistribution for random polynomials and systems of random holomorphic sections
  20. J. M. Hammersley, “The zeros of a random polynomial”, Proceedings of the third Berkeley symposium on mathematical statistics and probability, 1954–1955, v. II, Part 1, Univ. California Press, Berkeley–Los Angeles, CA, 1956, 89–111
  21. J. H. Hannay, “Chaotic analytic zero points: exact statistics for those of a random spin state”, J. Phys. A, 29:5 (1996), L101–L105
  22. C. P. Hughes, A. Nikeghbali, “The zeros of random polynomials cluster uniformly near the unit circle”, Compos. Math., 144:3 (2008), 734–746
  23. M. Kac, “On the average number of real roots of a random algebraic equation”, Bull. Amer. Math. Soc., 49 (1943), 314–320
  24. J. E. Littlewood, A. C. Offord, “On the number of real roots of a random algebraic equation. III”, Матем. сб., 12(54):3 (1943), 277–286
  25. M. Klimek, Pluripotential theory, London Math. Soc. Monogr. (N.S.), 6, The Clarendon Press, Oxford Univ. Press, New York, 1991, xiv+266 pp.
  26. F. Leja, “Problèmes à resoudre poses à la conference”, Colloq. Math., 7 (1959), 151–153
  27. S. Nonnenmacher, A. Voros, “Chaotic eigenfunctions in phase space”, J. Statist. Phys., 92:3-4 (1998), 431–518
  28. J. M. Rojas, “On the average number of real roots of certain random sparse polynomial systems”, The mathematics of numerical analysis (Park City, UT, 1995), Lectures in Appl. Math., 32, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1996, 689–699
  29. M. Shub, S. Smale, “Complexity of Bezout's theorem. II. Volumes and probabilities”, Computational algebraic geometry (Nice, 1992), Progr. Math., 109, Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1993, 267–285
  30. B. Shiffman, “Convergence of random zeros on complex manifolds”, Sci. China Ser. A, 51:4 (2008), 707–720
  31. B. Shiffman, Asymptotic expansion of the variance of random zeros on complex manifolds
  32. B. Shiffman, S. Zelditch, “Distribution of zeros of random and quantum chaotic sections of positive line bundles”, Comm. Math. Phys., 200:3 (1999), 661–683
  33. B. Shiffman, S. Zelditch, “Number variance of random zeros on complex manifolds”, Geom. Funct. Anal., 18:4 (2008), 1422–1475
  34. B. Shiffman, S. Zelditch, “Number variance of random zeros on complex manifolds. II. Smooth statistics”, Pure Appl. Math. Q., 6:4 (2010), 1145–1167
  35. В. П. Захарюта, “Трансфинитный диаметр, постоянные Чебышева и емкость для компакта в $mathbf C^n$”, Матем. сб., 96(138):3 (1975), 374–389

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Гюньюз О., 2025

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».