Combinatorial invarian for gradient-like flows on connected summ of $\mathbb{S}^{n-1}\times \mathbb{S}^1$

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We obtain necessary and sufficient conditions for the topological equivalence of gradient-like flows without heteroclinic intersections defined on the connected sum of a finite number of manifolds homeomorphic to Sn−1×S1, n≥3. For n>3, this result extends substantially the class of manifolds such that structurally stable systems on these manifolds admit a topological classification.

About the authors

Vyacheslav Zigmuntovich Grines

National Research University – Higher School of Economics in Nizhny Novgorod

Author for correspondence.
Email: elena_gurevich@list.ru

Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Elena Yakovlevna Gurevich

National Research University – Higher School of Economics in Nizhny Novgorod

Email: elena_gurevich@list.ru
Candidate of physico-mathematical sciences, no status

References

  1. S. Smale, “On gradient dynamical systems”, Ann. of Math. (2), 74 (1961), 199–206
  2. Л. Э. Эльсгольц, “Оценка числа особых точек динамической системы, заданной на многообразии”, Матем. сб., 26(68):2 (1950), 215–223
  3. S. Smale, “Morse inequalities for a dynamical system”, Bull. Amer. Math. Soc., 66 (1960), 43–49
  4. C. Bonatti, V. Grines, V. Medvedev, E. Pecou, “Three-manifolds admitting Morse–Smale diffeomorphisms without heteroclinic curves”, Topology Appl., 117:3 (2002), 335–344
  5. V. Z. Grines, E. A. Gurevich, O. V. Pochinka, “Topological classification of Morse–Smale diffeomorphisms without heteroclinic intersections”, J. Math. Sci. (N.Y.), 208:1 (2015), 81–90
  6. С. Ю. Пилюгин, “Фазовые диаграммы, определяющие системы Морса–Смейла без периодических траекторий на сферах”, Дифференц. уравнения, 14:2 (1978), 245–254
  7. В. З. Гринес, Е. Я. Гуревич, “Индекс Морса седловых состояний равновесия градиентно-подобных потоков на связной сумме $mathbb{S}^{n-1}times mathbb{S}^1$”, Матем. заметки, 111:4 (2022), 616-619
  8. А. А. Андронов, Е. А. Леонтович, И. И. Гордон, А. Г. Майер, Теория бифуркаций динамических систем на плоскости, Наука, М., 1967, 487 с.
  9. M. M. Peixoto, “On the classification of flows on 2-manifolds”, Dynamical systems (Univ. Bahia, Salvador, 1971), Academic Press, New York, 1973, 389–419
  10. Я. Л. Уманский, “Необходимые и достаточные условия топологической эквивалентности трехмерных динамических систем Морса–Смейла с конечным числом особых траекторий”, Матем. сб., 181:2 (1990), 212–239
  11. А. А. Ошемков, В. В. Шарко, “О классификации потоков Морса–Смейла на двумерных многообразиях”, Матем. сб., 189:8 (1998), 93–140
  12. V. Grines, E. Gurevich, O. Pochinka, D. Malyshev, “On topological classification of Morse–Smale diffeomorphisms on the sphere $S^n$ ($n > 3$)”, Nonlinearity, 33:12 (2020), 7088–7113
  13. S. Smale, “Differentiable dynamical systems”, Bull. Amer. Math. Soc., 73:6 (1967), 747–817
  14. L. E. J. Brouwer, “Über Abbildung von Mannigfaltigkeiten”, Math. Ann., 71:1 (1911), 97–115
  15. А. Ф. Филиппов, “Элементарное доказательство теоремы Жордана”, УМН, 5:5(39) (1950), 173–176
  16. M. H. A. Newman, Elements of the topology of plane sets of points, Reprint of the 2nd ed., Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1954, vii+214 pp.
  17. E. E. Moise, Geometric topology in dimensions 2 and 3, Grad. Texts in Math., 47, Springer-Verlag, New York–Heidelberg, 1977, x+262 pp.
  18. M. Brown, “A proof of the generalized Schoenflies theorem”, Bull. Amer. Math. Soc., 66:2 (1960), 74–76
  19. M. Brown, H. Gluck, “Stable structures on manifolds. I. Homeomorphisms of $S^{n}$”, Ann. of Math. (2), 79:1 (1964), 1–17
  20. Л. В. Келдыш, “Топологические вложения в евклидово пространство”, Тр. МИАН СССР, 81, 1966, 3–184
  21. G. M. Fisher, “On the group of all homeomorphisms of a manifold”, Trans. Amer. Math. Soc., 97 (1960), 193–212
  22. D. Rolfsen, Knots and links, AMS Chelsea Publishing Serias, 346, Reprint with corr. of the 1976 original, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2003, ix+439 pp.
  23. R. C. Kirby, “Stable homeomorphisms and the annulus conjecture”, Ann. of Math. (2), 89:3 (1969), 575–582
  24. F. Quinn, “The embedding theorems for towers”, Four-manifold theory (Durham, NH, 1982), Contemp. Math., 35, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1984, 461–471
  25. R. D. Edwards, “The solution of the 4-dimensional annulus conjecture (after Frank Quinn)”, Four-manifold theory (Durham, NH, 1982), Contemp. Math., 35, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1984, 211–264
  26. А. В. Чернавский, “О работах Л. В. Келдыш и ее семинара”, УМН, 60:4(364) (2005), 11–36
  27. В. В. Прасолов, Элементы теории гомологий, МЦНМО, М., 2006, 448 с.
  28. M. Brown, “Locally flat imbeddings of topological manifolds”, Ann. of Math. (2), 75:2 (1962), 331–341
  29. М. Хирш, Дифференциальная топология, Мир, М., 1979, 279 с.
  30. В. А. Емеличев, О. И. Мельников, В. И. Сарванов, Р. И. Тышкевич, Лекции по теории графов, Наука, М., 1990, 384 с.
  31. K. R. Meyer, “Energy functions for Morse Smale systems”, Amer. J. Math., 90:4 (1968), 1031–1040
  32. В. Гуревич, Г. Волмэн, Теория размерности, ИЛ, М., 1948, 232 с.
  33. Y. Matsumoto, An introduction to Morse theory, Transl. from the 1997 Japan. original, Transl. Math. Monogr., 208, Iwanami Series in Modern Mathematics, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2002, xiv+219 pp.
  34. J. Milnor, Lectures on the $h$-cobordism theorem, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1965, v+116 pp.
  35. В. З. Гринес, Е. Я. Гуревич, В. С. Медведев, “О реализации классов топологической сопряженности каскадов Морса–Смейла на сфере $S^n$”, Труды МИАН, 310, Избранные вопросы математики и механики (2020), 119–134
  36. В. С. Медведев, Я. Л. Уманский, “О разложении $n$-мерных многообразий на простые многообразия”, Изв. вузов. Матем., 1979, № 1, 46–50

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2023 Grines V.Z., Gurevich E.Y.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».