Solomyak-type eigenvalue estimates for the Birman-Schwinger operator

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We revise the Cwikel-type estimate for the singular values of the operator $(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4}M_f(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4}$ on the torus $\mathbb{T}^d$, for the ideal $\mathcal{L}_{1,\infty}$ and $f\in L\log L(\mathbb{T}^d)$ (the Orlicz space), which was established by Solomyak in even dimensions, and we extend it to odd dimensions. We show that this result does not literally extend to Laplacians on $\mathbb{R}^d$, neither for Orlicz spaces on $\mathbb{R}^d$, nor for any symmetric function space on $\mathbb{R}^d$. Nevertheless, we obtain a new positive result on (symmetrized) Solomyak-type estimates for Laplacians on $\mathbb{R}^d$ for an arbitrary positive integer $d$ and $f$ in $L\log L(\mathbb{R}^d)$. The last result reveals the conformal invariance of Solomyak-type estimates. Bibliography: 44 titles.

About the authors

Fedor Anatol'evich Sukochev

University of New South Wales, School of Mathematics and Statistics

Email: f.sukochev@unsw.edu.au
Candidate of physico-mathematical sciences, Professor

Dmitriy Vladimirovich Zanin

University of New South Wales, School of Mathematics and Statistics

Doctor of physico-mathematical sciences

References

  1. R. A. Adams, Sobolev spaces, Pure Appl. Math., 65, Academic Press, New York–London, 1975, xviii+268 pp.
  2. S. V. Astashkin, F. A. Sukochev, C. P. Wong, “Distributionally concave symmetric spaces and uniqueness of symmetric structure”, Adv. Math., 232:1 (2013), 399–431
  3. C. Bennett, R. Sharpley, Interpolation of operators, Pure Appl. Math., 129, Academic Press, Inc., Boston, MA, 1988, xiv+469 pp.
  4. М. Ш. Бирман, В. В. Борзов, “Об асимптотике дискретного спектра некоторых сингулярных дифференциальных операторов”, Проблемы матем. физики, 5, ЛГУ, Л., 1971, 24–38
  5. М. Ш. Бирман, М. З. Соломяк, “Кусочно-полиномиальные приближения функций классов $W^alpha_p$”, Матем. сб., 73(115):3 (1967), 331–355
  6. М. Ш. Бирман, М. З. Соломяк, “О главном члене спектральной асимптотики для «негладких» эллиптических задач”, Функц. анализ и его прил., 4:4 (1970), 1–13
  7. М. Ш. Бирман, М. З. Соломяк, “Спектральная асимптотика негладких эллиптических операторов. I”, Тр. ММО, 27, Изд-во Моск. ун-та, М., 1972, 3–52
  8. М. Ш. Бирман, М. З. Соломяк, “Количественный анализ в теоремах вложения Соболева и приложения к спектральной теории”, Десятая летняя математическая школа (Кацивели/Нальчик, 1972), Ин-т матем. АН УССР, Киев, 1974, 5–189
  9. М. Ш. Бирман, М. З. Соломяк, “Оценки сингулярных чисел интегральных операторов”, УМН, 32:1(193) (1977), 17–84
  10. M. Sh. Birman, M. Z. Solomyak, “Schrödinger operator. Estimates for number of bound states as function-theoretical problem”, Spectral theory of operators (Novgorod, 1989), Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 150, Soviet Regional Conf., Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1992, 1–54
  11. E. DiBenedetto, Real analysis, Birkhäuser Adv. Texts Basler Lehrbucher, 2nd ed., Birkhäuser/Springer, New York, 2016, xxxii+596 pp.
  12. A. L. Carey, A. Rennie, A. Sedaev, F. Sukochev, “The Dixmier trace and asymptotics of zeta functions”, J. Funct. Anal., 249:2 (2007), 253–283
  13. M. Cwikel, “Weak type estimates for singular values and the number of bound states of Schrödinger operators”, Ann. of Math. (2), 106:1 (1977), 93–100
  14. R. L. Frank, “Cwikel's theorem and the CLR inequality”, J. Spectr. Theory, 4:1 (2014), 1–21
  15. R. L. Frank, A. Laptev, “Bound on the number of negative eigenvalues of two-dimensional Schrödinger operators on domains”, Алгебра и анализ, 30:3 (2018), 250–272
  16. V. Glaser, H. Grosse, A. Martin, “Bounds on the number of eigenvalues of the Schrödinger operator”, Comm. Math. Phys., 59:2 (1978), 197–212
  17. И. Ц. Гохберг, М. Г. Крейн, Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов, Наука, М., 1965, 448 с.
  18. A. Grigor'yan, N. Nadirashvili, “Negative eigenvalues of two-dimensional Schrödinger operators”, Arch. Ration. Mech. Anal., 217:3 (2015), 975–1028
  19. Ш. Кобаяси, Группы преобразований в дифференциальной геометрии, Наука, М., 1986, 224 с.
  20. М. А. Красносельский, Я. Б. Рутицкий, Выпуклые функции и пространства Орлича, Физматгиз, М., 1958, 271 с.
  21. С. Г. Крейн, Ю. И. Петунин, Е. М. Семенов, Интерполяция линейных операторов, Наука, М., 1978, 400 с.
  22. G. Levitina, F. Sukochev, D. Zanin, “Cwikel estimates revisited”, Proc. Lond. Math. Soc. (3), 120:2 (2020), 265–304
  23. S. Lord, F. Sukochev, D. Zanin, “A last theorem of Kalton and finiteness of Connes' integral”, J. Funct. Anal., 279:7 (2020), 108664, 54 pp.
  24. S. Lord, F. Sukochev, D. Zanin, Singular traces. Theory and applications, De Gruyter Stud. Math., 46, De Gruyter, Berlin, 2013, xvi+452 pp.
  25. В. Г. Мазья, Пространства С. Л. Соболева, Изд-во Ленингр. ун-та, Л., 1985, 416 с.
  26. W. McLean, Strongly elliptic systems and boundary integral equations, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2000, xiv+357 pp.
  27. T. Ozawa, “On critical cases of Sobolev's inequalities”, J. Funct. Anal., 127:2 (1995), 259–269
  28. С. И. Похожаев, “О теореме вложения Соболева в случае $pl {=} n$”, Докл. научн.-техн. конф. МЭИ. Секц. мат., МЭИ, М., 1965, 158–170
  29. A. Pushnitski, “The Birman–Schwinger principle on the essential spectrum”, J. Funct. Anal., 261:7 (2011), 2053–2081
  30. Г. В. Розенблюм, “Распределение дискретного спектра сингулярных дифференциальных операторов”, Докл. АН СССР, 202 (1972), 1012–1015
  31. G. Rozenblum, “Eigenvalues of singular measures and Connes' noncommutative integration”, J. Spectr. Theory, 12:1 (2022), 259–300
  32. M. Ruzhansky, V. Turunen, Pseudo-differential operators and symmetries. Background analysis and advanced topics, Pseudo Diff. Oper., 2, Birkhäuser Verlag, Basel, 2010, xiv+709 pp.
  33. E. Shargorodsky, “On negative eigenvalues of two-dimensional Schrödinger operators”, Proc. Lond. Math. Soc. (3), 108:2 (2014), 441–483
  34. B. Simon, “Analysis with weak trace ideals and the number of bound states of Schrödinger operators”, Trans. Amer. Math. Soc., 224:2 (1976), 367–380
  35. B. Simon, Trace ideals and their applications, Math. Surveys Monogr., 120, 2nd ed., Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2005, viii+150 pp.
  36. M. Solomyak, “Piecewise-polynomial approximation of functions from $H^ell((0,1)^d)$, $2ell=d$, and applications to the spectral theory of the Schrödinger operators”, Israel J. Math., 86:1-3 (1994), 253–275
  37. M. Solomyak, “Spectral problems related to the critical exponent in the Sobolev embedding theorem”, Proc. Lond. Math. Soc. (3), 71:1 (1995), 53–75
  38. M. Solomyak, “On the discrete spectrum of a class of problems involving the Neumann Laplacian in unbounded domains”, Voronezh winter mathematical schools, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 184, Adv. Math. Sci., 37, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1998, 233–251
  39. F. Sukochev, D. Zanin, “A $C^*$-algebraic approach to the principal symbol. I”, J. Operator Theory, 80:2 (2018), 481–522
  40. F. Sukochev, D. Zanin, “Which traces are spectral?”, Adv. Math., 252 (2014), 406–428
  41. F. Sukochev, D. Zanin, Optimality of Cwikel–Solomyak estimates, 2022
  42. N. S. Trudinger, “On imbeddings into Orlicz spaces and some applications”, J. Math. Mech., 17:5 (1967), 473–483
  43. T. Weidl, “Another look at Cwikel's inequality”, Differential operators and spectral theory, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 189, Adv. Math. Sci., 41, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999, 247–254
  44. В. И. Юдович, “О некоторых оценках, связанных с интегральными операторами и решениями эллиптических уравнений”, Докл. АН СССР, 138:4 (1961), 805–808

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2022 Sukochev F.A., Zanin D.V.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».