On jet closures of singularities

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

Jet closure and jet support closure were first introduced by de Fernex, Ein and Ishii to solve the local isomorphism problem. In this paper we introduce two local algebras associated to jet closure and jet support closure, respectively. We show that these two algebras are invariants of singularities. We compute and investigate these invariants for some interesting cases, such as the cases of monomial ideals and homogeneous ideals. For application, we can distinguish different simple curve singularities by a finite number of jet support closures, and this number is close to the Milnor number of the singularity. We also introduce a new filtration and a jet index for jet closures. The jet index describes which jet scheme recovers the information on the base scheme. Moreover, we obtain some properties of the jet index. Bibliography: 16 titles.

About the authors

Yifan Chen

Department of Mathematical Sciences, Tsinghua University, Beijing, P. R. China

Author for correspondence.
Email: c-yf20@tsinghua.org.cn

Huaiqing Zuo

Department of Mathematical Sciences, Tsinghua University, Beijing, P. R. China

Email: hqzuo@mail.tsinghua.edu.cn

References

  1. В. И. Арнольд, А. Н. Варченко, С. М. Гусейн-Заде, Особенности дифференцируемых отображений, т. 1, Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов, Наука, М., 1982, 304 с.
  2. A. H. Durfee, “Fifteen characterizations of rational double points and simple critical points”, Enseign. Math. (2), 25:1-2 (1979), 131–163
  3. T. de Fernex, L. Ein, S. Ishii, “Jet closures and the local isomorphism problem”, J. Algebra, 501 (2018), 166–181
  4. R. A. Goward, Jr., K. E. Smith, “The jet scheme of a monomial scheme”, Comm. Algebra, 34:5 (2006), 1591–1598
  5. D. Mallory, “Triviality of arc closures and the local isomorphism problem”, J. Algebra, 544 (2020), 47–61
  6. P. Vojta, “Jets via Hasse–Schmidt derivations”, Diophantine geometry, CRM Series, 4, Edizioni della Normale, Pisa, 2007, 335–361
  7. S. Ishii, “Jet schemes, arc spaces and the Nash problem”, C. R. Math. Acad. Sci. Soc. R. Can., 29:1 (2007), 1–21
  8. S. Ishii, “Mather discrepancy and the arc spaces”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 63:1 (2013), 89–111
  9. S. Ishii, “Finite determination conjecture for Mather–Jacobian minimal log discrepancies and its applications”, Eur. J. Math., 4:4 (2018), 1433–1475
  10. S. Ishii, A. J. Reguera, “Singularities with the highest Mather minimal log discrepancy”, Math. Z., 275:3-4 (2013), 1255–1274
  11. S. Ishii, A. J. Reguera, “Singularities in arbitrary characteristic via jet schemes”, Hodge theory and $L^2$-analysis, Adv. Lect. Math. (ALM), 39, Int. Press, Somerville, MA, 2017, 419–449
  12. D. Rees, Lectures on the asymptotic theory of ideals, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 113, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1988, x+202 pp.
  13. J. F. Nash, Jr., “Arc structure of singularities”, Duke Math. J., 81:1 (1995), 31–38
  14. J. Denef, F. Loeser, “Germs of arcs on singular algebraic varieties and motivic integration”, Invent. Math., 135:1 (1999), 201–232
  15. M. Mustaţǎ, “Singularities of pairs via jet schemes”, J. Amer. Math. Soc., 15:3 (2002), 599–615
  16. L. Ein, M. Mustaţǎ, “Jet schemes and singularities”, Algebraic geometry–Seattle 2005, Part 2, Proc. Sympos. Pure Math., 80, Part 2, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2009, 505–546

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Chen Y., Zuo H.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».