Local structure of convex surfaces
- 作者: Plakhov A.1,2
-
隶属关系:
- Department of Mathematics, University of Aveiro
- Institute for Information Transmission Problems of the Russian Academy of Sciences (Kharkevich Institute)
- 期: 卷 215, 编号 3 (2024)
- 页面: 119-158
- 栏目: Articles
- URL: https://journals.rcsi.science/0368-8666/article/view/254276
- DOI: https://doi.org/10.4213/sm9921
- ID: 254276
如何引用文章
详细
Рассмотрим точку на поверхности выпуклого тела и опорную плоскость к телу в этой точке. Проведем плоскость, параллельную данной опорной плоскости и отсекающую некоторую часть поверхности. Мы изучаем предельное поведение отсеченной части поверхности, когда секущая плоскость приближается к заданной точке. Более точно, изучается предельное поведение подходящим образом нормированной поверхностной меры в $S^2$, порожденной этой частью поверхности. Рассматриваются случаи, когда точка является регулярной и когда она особая: коническая или ребристая. Опорная плоскость может быть по-разному расположена по отношению к касательному конусу в данной точке: может пересекаться с конусом по вершине, прямой (если точка является особой ребристой), плоскому углу (который может вырождаться в луч или полуплоскость) или по плоскости (если точка регулярная и соответственно конус вырождается в полупространство). В случае пересечения по лучу плоскость может касаться конуса (односторонним или двусторонним образом) или же нет.Оказывается, предельное поведение меры может быть разным. В случае пересечения опорной плоскостью конуса по вершине или в случае (одностороннего или двустороннего) касания слабый предел всегда существует и однозначно определяется по плоскости и по конусу. В случае же пересечения по прямой или лучу при отсутствии касания предел может вообще не существовать. В последнем случае дана характеризация всех возможных слабых частичных пределов.Библиография: 13 названий.
作者简介
Alexander Plakhov
Department of Mathematics, University of Aveiro; Institute for Information Transmission Problems of the Russian Academy of Sciences (Kharkevich Institute)
Email: plakhovalexander0@gmail.com
Doctor of physico-mathematical sciences, Head Scientist Researcher
参考
- А. Д. Александров, “К теории смешанных объемов выпуклых тел. III. Распространение двух теорем Минковского о выпуклых многогранниках на произвольные выпуклые тела”, Матем. сб., 3(45):1 (1938), 27–46
- В. А. Александров, Н. В. Коптева, С. С. Кутателадзе, “Сумма Бляшке и выпуклые многогранники”, Труды семинара по векторному и тензорному анализу, 26, Изд-во МГУ, М., 2005, 8–30
- И. Ньютон, Собрание трудов академика А. Н. Крылова, т. VII, Математические начала натуральной философии, Изд-во АН СССР, М.–Л., 1936, 659 с.
- G. Buttazzo, B. Kawohl, “On Newton's problem of minimal resistance”, Math. Intelligencer, 15:4 (1993), 7–12
- F. Brock, V. Ferone, B. Kawohl, “A symmetry problem in the calculus of variations”, Calc. Var. Partial Differential Equations, 4:6 (1996), 593–599
- G. Buttazzo, V. Ferone, B. Kawohl, “Minimum problems over sets of concave functions and related questions”, Math. Nachr., 173 (1995), 71–89
- G. Wachsmuth, “The numerical solution of Newton's problem of least resistance”, Math. Program., 147:1-2(A) (2014), 331–350
- A. Plakhov, “A note on Newton's problem of minimal resistance for convex bodies”, Calc. Var. Partial Differential Equations, 59:5 (2020), 167, 13 pp.
- A. Plakhov, “A solution to Newton's least resistance problem is uniquely defined by its singular set”, Calc. Var. Partial Differential Equations, 61:5 (2022), 189, 37 pp.
- A. Plakhov, “On generalized Newton's aerodynamic problem”, Тр. ММО, 82, no. 1, МЦНМО, М., 2021, 217–226
- А. В. Погорелов, Внешняя геометрия выпуклых поверхностей, Наука, М., 1969, 759 с.
- A. Plakhov, “Local structure of convex surfaces near regular and conical points”, Axioms, 11:8 (2022), 356, 10 pp.
- R. Schneider, Convex bodies: the Brunn–Minkowski theory, Encyclopedia Math. Appl., 44, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1993, xiv+490 pp.