Random walks conditioned to stay nonnegative and branching processes in nonfavorable random environment

Capa

Citar

Texto integral

Acesso aberto Acesso aberto
Acesso é fechado Acesso está concedido
Acesso é fechado Somente assinantes

Resumo

Let {Sn,n⩾0} be a random walk with increments that belong (without centering) to the domain of attraction of an alpha-stable law, that is, there exists a process {Yt,t⩾0} such that Snt/an ⇒ Yt, t⩾0, as n→∞ for some scaling constants an. Assuming that S0=o(an) and Sn⩽φ(n)=o(an), we prove several conditional limit theorems for the distribution of the random variable Sn−m given that m=o(n) and min0⩽k⩽nSk⩾0. These theorems supplement the assertions established by Caravenna and Chaumont in 2013. Our results are used to study the population size of a critical branching process evolving in an unfavourable environment.

Sobre autores

Vladimir Vatutin

Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences

Autor responsável pela correspondência
Email: vatutin@mi-ras.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Congzao Dong

Xidian University

Email: czdong@xidian.edu.cn

Elena Dyakonova

Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences

Email: elena@mi-ras.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Head Scientist Researcher

Bibliografia

  1. V. I. Afanasyev, J. Geiger, G. Kersting, V. A. Vatutin, “Criticality for branching processes in random environment”, Ann. Probab., 33:2 (2005), 645–673
  2. В. И. Афанасьев, “Принцип инвариантности для критического процесса Гальтона–Ватсона, достигающего высокого уровня”, Теория вероятн. и ее примен., 55:4 (2010), 625–643
  3. V. I. Afanasyev, C. Böinghoff, G. Kersting, V. A. Vatutin, “Limit theorems for weakly subcritical branching processes in random environment”, J. Theoret. Probab., 25:3 (2012), 703–732
  4. J. Bertoin, R. A. Doney, “On conditioning a random walk to stay nonnegative”, Ann. Probab., 22:4 (1994), 2152–2167
  5. N. H. Bingham, C. M. Goldie, J. L. Teugels, Regular variation, Encyclopedia Math. Appl., 27, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1987, xx+491 pp.
  6. E. Bolthausen, “On a functional central limit theorem for random walks conditioned to stay positive”, Ann. Probab., 4:3 (1976), 480–485
  7. A. Bryn-Jones, R. A. Doney, “A functional limit theorem for random walk conditioned to stay non-negative”, J. London Math. Soc. (2), 74:1 (2006), 244–258
  8. L. Chaumont, “Excursion normalisee, meandre at pont pour les processus de Levy stables”, Bull. Sci. Math., 121:5 (1997), 377–403
  9. F. Caravenna, “A local limit theorem for random walks conditioned to stay positive”, Probab. Theory Related Fields, 133:4 (2005), 508–530
  10. F. Caravenna, L. Chaumont, “Invariance principles for random walks conditioned to stay positive”, Ann. Inst. Henri Poincare Probab. Stat., 44:1 (2008), 170–190
  11. F. Caravenna, L. Chaumont, “An invariance principle for random walk bridges conditioned to stay positive”, Electron. J. Probab., 18 (2013), 60, 32 pp.
  12. L. Chaumont, R. A. Doney, “Invariance principles for local times at the maximum of random walks and Levy processes”, Ann. Probab., 38:4 (2010), 1368–1389
  13. F. den Hollander, Random polymers, Ecole d'Ete de Probabilites de Saint-Flour XXXVII – 2007, Lecture Notes in Math., 1974, Springer-Verlag, Berlin, 2009, xiv+258 pp.
  14. R. A. Doney, “Local behaviour of first passage probabilities”, Probab. Theory Related Fields, 152:3-4 (2012), 559–588
  15. В. Феллер, Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т. 2, Мир, М., 1967, 752 с.
  16. Б. В. Гнеденко, А. Н. Колмогоров, Предельные распределения для сумм независимых случайных величин, Гостехиздат, М.–Л., 1949, 264 с.
  17. D. L. Iglehart, “Functional central limit theorems for random walks conditioned to stay positive”, Ann. Probab., 2:2 (1974), 608–619
  18. W. D. Kaigh, “An invariance principle for random walk conditioned by a late return to zero”, Ann. Probab., 4:1 (1976), 115–121
  19. G. Kersting, V. Vatutin, Discrete time branching processes in random environment, Math. Stat. Ser., John Wiley & Sons, London; ISTE, Hoboken, NJ, 2017, xiv+286 pp.
  20. T. M. Liggett, “An invariance principle for conditioned sums of independent random variables”, J. Math. Mech., 18:6 (1968), 559–570
  21. Б. А. Рогозин, “Распределение первого лестничного момента и высоты и флуктуации случайного блуждания”, Теория вероятн. и ее примен., 16:4 (1971), 593—613
  22. Е. Сенета, Правильно меняющиеся функции, Наука, М., 1985, 142 с.
  23. Я. Г. Синай, “О распределении первой положительной суммы для последовательности независимых случайных величин”, Теория вероятн. и ее примен., 2:1 (1957), 126–135
  24. C. Stone, “A local limit theorem for nonlattice multi-dimensional distribution functions”, Ann. Math. Statist., 36:2 (1965), 546–551
  25. V. A. Vatutin, V. Wachtel, “Local probabilities for random walks conditioned to stay positive”, Probab. Theory Related Fields, 143:1-2 (2009), 177–217
  26. V. Vatutin, E. Dyakonova, “Path to survival for the critical branching processes in a random environment”, J. Appl. Probab., 54:2 (2017), 588–602
  27. В. А. Ватутин, Е. Е. Дьяконова, “Критические ветвящиеся процессы, эволюционирующие в неблагоприятной случайной среде”, Дискрет. матем., 34:3 (2022), 20–33
  28. В. А. Ватутин, Е. Е. Дьяконова, “Размер популяции критического ветвящегося процесса, эволюционирующего в неблагоприятной среде”, Теория вероятн. и ее примен., 68:3 (2023), 509–531

Arquivos suplementares

Arquivos suplementares
Ação
1. JATS XML
Baixar

Declaração de direitos autorais © Ватутин В.A., Донг К., Дьяконова Е.E., 2023

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).