Convergence of spline interpolation processes and conditionality of systems of equations for spline construction

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

This study is a continuation of research on the convergence of interpolation processes with classical polynomial splines of odd degree. It is proved that the problem of good conditionality of a system of equations for interpolation spline construction via coefficients of the expansion of the $k$th derivative in $B$-splines is equivalent to the problem of convergence of the interpolation process for the $k$th spline derivative in the class of functions with continuous $k$th derivatives. It is established that for interpolation with splines of degree $2n-1$, the conditions that the projectors corresponding to the derivatives of orders $k$ and $2n-1-k$ be bounded are equivalent.Bibliography: 26 titles.

About the authors

Yuriy Stepanovich Volkov

Sobolev Institute of Mathematics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences; Novosibirsk State University

Email: volkov@math.nsc.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. Дж. Алберг, Э. Нильсон, Дж. Уолш, Теория сплайнов и ее приложения, Мир, М., 1972
  2. On approximation theory [Über Approximationstheorie] (Oberwolfach, 1963), Internat. Ser. Numer. Math., 5, eds. P. L. Butzer, J. Korevaar, Birkhäuser Verlag, Basel–Stuttgart, 1964, xvi+261 pp.
  3. C. de Boor, “On bounding spline interpolation”, J. Approximation Theory, 14:3 (1975), 191–203
  4. Ю. С. Волков, “Расходимость интерполяционных сплайнов нечетной степени”, Приближение сплайнами, Вычислительные системы, 106, ИМ СО АН СССР, Новосибирск, 1984, 41–56
  5. A. Yu. Shadrin, “The $L_infty$-norm of the $L_2$-spline projector is bounded independently of the knot sequence: a proof of de Boor's conjecture”, Acta Math., 187:1 (2001), 59–137
  6. Ю. С. Волков, “Безусловная сходимость еще одной средней производной для интерполяционных сплайнов нечетной степени”, Докл. РАН, 401:5 (2005), 592–594
  7. Ю. С. Волков, “Обратные циклических ленточных матриц и сходимость процессов интерполяции для производных периодических интерполяционных сплайнов”, Сиб. журн. вычисл. матем., 13:3 (2010), 243–253
  8. Ю. С. Волков, “О сходимости процесса интерполяции для производных полного сплайна”, Укр. матем. вiсн., 9:2 (2012), 278–296
  9. Ю. С. Волков, Ю. Н. Субботин, “50 лет задаче Шeнберга о сходимости сплайн-интерполяции”, Тр. ИММ УрО РАН, 20, № 1, 2014, 52–67
  10. Ю. С. Завьялов, Б. И. Квасов, В. Л. Мирошниченко, Методы сплайн-функций, Наука, М., 1980, 352 с.
  11. J. H. Ahlberg, E. N. Nilson, “Convergence properties of the spline fit”, J. Soc. Indust. Appl. Math., 11:1 (1963), 95–104
  12. Ю. С. Волков, “О построении интерполяционных полиномиальных сплайнов”, Сплайн-функции и их приложения, Вычислительные системы, 159, ИМ СО РАН, Новосибирск, 1997, 3–18
  13. Ю. С. Волков, “Вполне неотрицательные матрицы в методах построения интерполяционных сплайнов нечетной степени”, Матем. труды, 7:2 (2004), 3–34
  14. L. L. Schumaker, Spline functions: basic theory, Pure Appl. Math., John Wiley & Sons, Inc., New York, 1981, xiv+553 pp.
  15. К. де Бор, Практическое руководство по сплайнам, Радио и связь, М., 1985, 304 с.
  16. C. de Boor, “Splines as linear combinations of $B$-splines. A survey”, Approximation theory II (Austin, Tex., 1976), Academic Press, New York, 1976, 1–47
  17. R. A. DeVore, G. G. Lorentz, Constructive approximation, Grundlehren Math. Wiss., 303, Springer-Verlag, Berlin, 1993, x+449 pp.
  18. Ю. С. Волков, “О нахождении полного интерполяционного сплайна через $B$-сплайны”, Сиб. электрон. матем. изв., 5 (2008), 334–338
  19. Yu. S. Volkov, “Obtaining a banded system of equations in complete spline interpolation problem via $B$-spline basis”, Cent. Eur. J. Math., 10:1 (2012), 352–356
  20. А. И. Роженко, Теория и алгоритмы вариационной сплайн-аппроксимации, ИВМиМГ СО РАН, Новосибирск, 2005, 244 с.
  21. C. de Boor, “Bounding the error in spline interpolation”, SIAM Rev., 16:4 (1974), 531–544
  22. S. Demko, “Inverses of band matrices and local convergence of spline projections”, SIAM J. Numer. Anal., 14:4 (1977), 616–619
  23. Н. Л. Зматраков, “Сходимость интерполяционного процесса для параболических и кубических сплайнов”, Приближение функций и операторов, Сборник статей, Тр. МИАН СССР, 138, 1975, 71–93
  24. Н. Л. Зматраков, “Равномерная сходимость третьих производных интерполяционных кубических сплайнов”, Методы сплайн-функций, Вычислительные системы, 72, ИМ СО АН СССР, Новосибирск, 1977, 10–29
  25. C. de Boor, “On the convergence of odd-degree spline interpolation”, J. Approximation Theory, 1:4 (1968), 452–463
  26. Ю. С. Волков, В. Л. Мирошниченко, “Оценки норм матриц, обратных к матрицам монотонного вида и вполне неотрицательным матрицам”, Сиб. матем. журн., 50:6 (2009), 1248–1254

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2019 Волков Ю.S.

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).