Email this article Galerkin approximations for the Dirichlet problem with the $p(x)$-Laplacian
- Authors: Pastukhova S.E.1, Yakubovich D.A.2
-
Affiliations:
- MIREA — Russian Technological University
- Vladimir State University
- Issue: Vol 210, No 1 (2019)
- Pages: 155-174
- Section: Articles
- URL: https://journals.rcsi.science/0368-8666/article/view/142386
- DOI: https://doi.org/10.4213/sm9019
- ID: 142386
Cite item
Open Access
Access granted
Subscription Access
Abstract
We study the Dirichlet problem with $p( \cdot )$-Laplacian in a bounded domain, where $p( \cdot )$ is a measurable function whose range is bounded away from $1$ and $\infty$. A system of Galerkin approximations is constructed for the so-called $H$-solution or any other variational solution, and energy norm error estimates are proved.References: 19 items.
About the authors
Svetlana Evgenievna Pastukhova
MIREA — Russian Technological University
Email: pas-se@yandex.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor
Denis Andreevich Yakubovich
Vladimir State University
Email: yakubovichfmf@mail.ru
References
- В. В. Жиков, “К технике предельного перехода в нелинейных эллиптических уравнениях”, Функц. анализ и его прил., 43:2 (2009), 19–38
- В. В. Жиков, “Об одном подходе к разрешимости обобщенных уравнений Навье{–}Стокса”, Функц. анализ и его прил., 43:3 (2009), 33–53
- В. В. Жиков, С. Е. Пастухова, “Леммы о компенсированной компактности в эллиптических и параболических уравнениях”, Дифференциальные уравнения и динамические системы, Сборник статей, Тр. МИАН, 270, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2010, 110–137
- В. В. Жиков, Д. А. Якубович, “Galerkin approximations in problems with $p$-Laplacian (in Russian)”, Проблемы матем. анализа, 85, Тамара Рожковская, Новосибирск, 2016, 95–106
- O. Kovačik, J. Rakosnik, “On spaces $L^{p(x)}$ and $W^{k, p(x)}$”, Czechoslovak Math. J., 41(116):4 (1991), 592–618
- L. Diening, P. Harjulehto, P. Hästö, M. Růžička, Lebesgue and Sobolev spaces with variable exponents, Lecture Notes in Math., 2017, Springer, Heidelberg, 2011, x+509 pp.
- D. Breit, L. Diening, S. Schwarzacher, “Finite element approximation of the $p( cdot )$-Laplacian”, SIAM J. Numer. Anal., 53:1 (2015), 551–572
- S. I. Repin, “A posteriori error estimation for nonlinear variational problems by duality theory”, Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 28, Зап. науч. сем. ПОМИ, 243, ПОМИ, СПб., 1997, 201–214
- В. В. Жиков, “Усреднение функционалов вариационного исчисления и теории упругости”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 50:4 (1986), 675–710
- В. В. Жиков, “О вариационных задачах и нелинейных уравнениях с нестандартными условиями роста”, Проблемы матем. анализа, 54, Тамара Рожковская, Новосибирск, 2011, 23–112
- V. V. Zhikov, “Lavrentiev phenomenon and homogenization for some variational problems”, Composite media and homogenization theory, Proceedings of the 2nd workshop (Trieste, 1993), World Sci., Singapore, 1995, 273–288
- V. V. Zhikov, “On Lavrentiev's phenomenon”, Russian J. Math. Phys., 3:2 (1995), 249–269
- В. В. Жиков, “Об эффекте Лаврентьева”, Докл. РАН, 345:1 (1995), 10–14
- В. В. Жиков, “О плотности гладких функций в пространстве Соболева–Орлича”, Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 35, Зап. науч. сем. ПОМИ, 310, ПОМИ, СПб., 2004, 67–81
- D. E. Edmunds, J. Rakosnik, “Sobolev embeddings with variable exponent”, Studia Math., 143:3 (2000), 267–293
- P. Lindqvist, Notes on the $p$-Laplace equation, Rep. Univ. Jyväskylä Dep. Math. Stat., 102, Jyväskylä, Univ. of Jyväskylä, 2006, ii+80 pp.
- M. D. Surnachev, V. V. Zhikov, “On existence and uniqueness classes for the Cauchy problem for parabolic equations of the $p$-Laplace type”, Commun. Pure Appl. Anal., 12:4 (2013), 1783–1812
- S. E. Pastukhova, D. A. Yakubovich, “Galerkin approximations in problems with anisotropic $p( cdot )$-Laplacian”, Appl. Anal. (to appear) , Publ. online 2018
- С. Е. Пастухова, “О некоторых следствиях сильной сходимости в пространстве Лебега–Орлича”, Проблемы матем. анализа, 95, Тамара Рожковская, Новосибирск, 2018, 61–68
Supplementary files
