Galerkin approximations for the Dirichlet problem with the $p(x)$-Laplacian

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We study the Dirichlet problem with $p( \cdot )$-Laplacian in a bounded domain, where $p( \cdot )$ is a measurable function whose range is bounded away from $1$ and $\infty$. A system of Galerkin approximations is constructed for the so-called $H$-solution or any other variational solution, and energy norm error estimates are proved.References: 19 items.

About the authors

Svetlana Evgenievna Pastukhova

MIREA — Russian Technological University

Email: pas-se@yandex.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Denis Andreevich Yakubovich

Vladimir State University

Email: yakubovichfmf@mail.ru

References

  1. В. В. Жиков, “К технике предельного перехода в нелинейных эллиптических уравнениях”, Функц. анализ и его прил., 43:2 (2009), 19–38
  2. В. В. Жиков, “Об одном подходе к разрешимости обобщенных уравнений Навье{–}Стокса”, Функц. анализ и его прил., 43:3 (2009), 33–53
  3. В. В. Жиков, С. Е. Пастухова, “Леммы о компенсированной компактности в эллиптических и параболических уравнениях”, Дифференциальные уравнения и динамические системы, Сборник статей, Тр. МИАН, 270, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2010, 110–137
  4. В. В. Жиков, Д. А. Якубович, “Galerkin approximations in problems with $p$-Laplacian (in Russian)”, Проблемы матем. анализа, 85, Тамара Рожковская, Новосибирск, 2016, 95–106
  5. O. Kovačik, J. Rakosnik, “On spaces $L^{p(x)}$ and $W^{k, p(x)}$”, Czechoslovak Math. J., 41(116):4 (1991), 592–618
  6. L. Diening, P. Harjulehto, P. Hästö, M. Růžička, Lebesgue and Sobolev spaces with variable exponents, Lecture Notes in Math., 2017, Springer, Heidelberg, 2011, x+509 pp.
  7. D. Breit, L. Diening, S. Schwarzacher, “Finite element approximation of the $p( cdot )$-Laplacian”, SIAM J. Numer. Anal., 53:1 (2015), 551–572
  8. S. I. Repin, “A posteriori error estimation for nonlinear variational problems by duality theory”, Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 28, Зап. науч. сем. ПОМИ, 243, ПОМИ, СПб., 1997, 201–214
  9. В. В. Жиков, “Усреднение функционалов вариационного исчисления и теории упругости”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 50:4 (1986), 675–710
  10. В. В. Жиков, “О вариационных задачах и нелинейных уравнениях с нестандартными условиями роста”, Проблемы матем. анализа, 54, Тамара Рожковская, Новосибирск, 2011, 23–112
  11. V. V. Zhikov, “Lavrentiev phenomenon and homogenization for some variational problems”, Composite media and homogenization theory, Proceedings of the 2nd workshop (Trieste, 1993), World Sci., Singapore, 1995, 273–288
  12. V. V. Zhikov, “On Lavrentiev's phenomenon”, Russian J. Math. Phys., 3:2 (1995), 249–269
  13. В. В. Жиков, “Об эффекте Лаврентьева”, Докл. РАН, 345:1 (1995), 10–14
  14. В. В. Жиков, “О плотности гладких функций в пространстве Соболева–Орлича”, Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 35, Зап. науч. сем. ПОМИ, 310, ПОМИ, СПб., 2004, 67–81
  15. D. E. Edmunds, J. Rakosnik, “Sobolev embeddings with variable exponent”, Studia Math., 143:3 (2000), 267–293
  16. P. Lindqvist, Notes on the $p$-Laplace equation, Rep. Univ. Jyväskylä Dep. Math. Stat., 102, Jyväskylä, Univ. of Jyväskylä, 2006, ii+80 pp.
  17. M. D. Surnachev, V. V. Zhikov, “On existence and uniqueness classes for the Cauchy problem for parabolic equations of the $p$-Laplace type”, Commun. Pure Appl. Anal., 12:4 (2013), 1783–1812
  18. S. E. Pastukhova, D. A. Yakubovich, “Galerkin approximations in problems with anisotropic $p( cdot )$-Laplacian”, Appl. Anal. (to appear) , Publ. online 2018
  19. С. Е. Пастухова, “О некоторых следствиях сильной сходимости в пространстве Лебега–Орлича”, Проблемы матем. анализа, 95, Тамара Рожковская, Новосибирск, 2018, 61–68

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2019 Пастухова С.E., Якубович Д.A.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».