Isomorphisms and elementary equivalence of Chevalley groups over commutative rings

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

It is proved that two Chevalley groups with indecomposable root systems of rank $>1$ over commutative rings (which contain in addition $1/2$ for the types $\mathbf A_2$, $\mathbf B_l$, $\mathbf C_l$, $\mathbf F_4$, and $\mathbf G_2$, and $1/3$ for the type $\mathbf G_2$) are isomorphic or elementarily equivalent if and only if the corresponding root systems coincide, the weight lattices of the representation of the Lie algebra coincide, and the rings are isomorphic or elementarily equivalent, respectively. The isomorphisms of adjoint (elementary) Chevalley groups over the rings of the above types are also described. Bibliography: 25 titles.

About the authors

Elena Igorevna Bunina

Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics

Email: helenbunina@yandex.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. E. I. Bunina, “Automorphisms of Chevalley groups of different types over commutative rings”, J. Algebra, 355:1 (2012), 154–170
  2. Е. И. Бунина, “Элементарная эквивалентность групп Шевалле над полями”, Фундамент. и прикл. матем., 12:8 (2006), 29–77
  3. Е. И. Бунина, “Элементарная эквивалентность групп Шевалле над локальными кольцами”, Матем. сб., 201:3 (2010), 3–20
  4. Е. И. Бунина, А. В. Михалев, А. Г. Пинус, Элементарная и близкие к ней логические эквивалентности классических и универсальных алгебр, МЦНМО, М., 2015, 360 с.
  5. Дж. Хамфри, Введение в теорию алгебр Ли и их представлений, МЦНМО, М., 2003, 216 с.
  6. Н. Бурбаки, Группы и алгебры Ли, Гл. IV–VI. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней, Элементы математики, Мир, М., 1972, 334 с.
  7. Р. Стейнберг, Лекции о группах Шевалле, Мир, М., 1975, 262 с.
  8. R. W. Carter, Simple groups of Lie type, Wiley Classics Lib., Reprint of 1972 original, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1989, x+335 pp.
  9. N. Vavilov, E. Plotkin, “Chevalley groups over commutative rings. I. Elementary calculations”, Acta Appl. Math., 45:1 (1996), 73–113
  10. C. Chevalley, “Certain schemas des groupes semi-simples”, Seminaire Bourbaki, v. 6, Annee 1960/61, Soc. Math. France, Paris, 1995, Exp. No. 219, 219–234
  11. А. Борель, “Свойства и линейные представления групп Шевалле”, Семинар по алгебраическим группам, Мир, М., 1973, 9–59
  12. M. Demazure, P. Gabriel, Groupes algebriques, v. I, Geometrie algebrique, generalites, groupes commutatifs, Masson & Cie, Editeur, Paris; North-Holland Publ. Co., Amsterdam, 1970, xxvi+700 pp.
  13. N. A. Vavilov, “Structure of Chevalley groups over commutative rings”, Nonassociative algebras and related topics (Hiroshima, 1990), World Sci. Publ., River Edge, NJ, 1991, 219–335
  14. E. Abe, K. Suzuki, “On normal subgroups of Chevalley groups over commutative rings”, Tôhoku Math. J. (2), 28:2 (1976), 185–198
  15. L. N. Vaserstein, “On normal subgroups of Chevalley groups over commutative rings”, Tôhoku Math. J. (2), 38:2 (1986), 219–230
  16. S. Shelah, “Every two elementarily equivalent models have isomorphic ultrapowers”, Israel J. Math, 10:2 (1971), 224–233
  17. H. J. Keisler, “Ultraproducts and elementary classes”, Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A, 64, = Indag. Math., 23 (1961), 477–495
  18. Е. И. Бунина, “Автоморфизмы групп Шевалле типов $A_l$, $D_l$, $E_l$ над локальными кольцами с $1/2$”, Фундамент. и прикл. матем., 15:2 (2009), 35–59
  19. E. I. Bunina, “Automorphisms of Chevalley groups of type $F_4$ over local rings with $1/2$”, J. Algebra, 323:8 (2010), 2270–2289
  20. Е. И. Бунина, “Автоморфизмы групп Шевалле типов $B_2$ и $G_2$ над локальными кольцами”, Фундамент. и прикл. матем., 13:4 (2007), 3–29
  21. Е. И. Бунина, “Автоморфизмы групп Шевалле типа $B_l$ над локальными кольцами с $1/2$”, Фундамент. и прикл. матем., 15:7 (2009), 3–46
  22. Е. И. Бунина, “Автоморфизмы групп Шевалле типов $A_l$, $D_l$, $E_l$ над локальными кольцами с необратимой двойкой”, Фундамент. и прикл. матем., 15:7 (2009), 47–80
  23. Е. И. Бунина, “Автоморфизмы элементарных присоединeнных групп Шевалле типов $A_l$, $D_l$, $E_l$ над локальными кольцами с 1/2”, Алгебра и логика, 48:4 (2009), 443–470
  24. A. A. Klyachko, “Automorphisms and isomorphisms of Chevalley groups and algebras”, J. Algebra, 324:10 (2010), 2608–2619
  25. Н. Бурбаки, Коммутативная алгебра, Элементы математики, M., Мир, 1971

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2019 Бунина Е.I.

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).