Polyhomomorphisms of locally compact groups

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

Let $G$ and $H$ be locally compact groups with fixed two-sided invariant Haar measures. A polyhomomorphism $G\rightarrowtail H$ is a closed subgroup $R\subset G\times H$ with fixed Haar measure, whose marginals on $G$ and $H$ are dominated by the Haar measures on $G$ and $H$. A polyhomomorphism can be regarded as a multi-valued map sending points to sets equipped with ‘uniform’ measures. For two polyhomomorphisms $G\rightarrowtail H$ and $H\rightarrowtail K$ there is a well-defined product $G\rightarrowtail K$. The set of polyhomomorphisms $G\rightarrowtail H$ is a metrizable compact space with respect to the Chabauty-Bourbaki topology and the product is separately continuous. A polyhomomorphism $G\rightarrowtail H$ determines a canonical operator $L^2(H)\to L^2(G)$, which is a partial isometry up to a scalar factor. For example, we consider locally compact linear spaces over finite fields and examine the closures of groups of linear operators in semigroups of polyhomomorphisms. Bibliography: 40 titles.

About the authors

Yurii Aleksandrovich Neretin

Faculty of Mathematics, University of Vienna; State Scientific Center of the Russian Federation - Institute for Theoretical and Experimental Physics; Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics; Institute for Information Transmission Problems of the Russian Academy of Sciences (Kharkevich Institute)

Email: hepetuh@yandex.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. Э. Хьюитт, К. Росс, Абстрактный гармонический анализ, т. I, Структура топологических групп. Теория интегрирования. Представления групп, Наука, М., 1975, 654 с.
  2. Н. Бурбаки, Общая топология. Топологические группы. Числа и связанные с ними группы и пространства, Наука, М., 1969
  3. Н. Бурбаки, Интегрирование. Векторное интегрирование. Мера Хаара. Свертка и представления, Наука, М., 1970
  4. А. Вейль, Интегрирование в топологических группах и его применения, ИЛ, М., 1950, 224 с.
  5. Д. П. Желобенко, Основные структуры и методы теории представлений, МЦНМО, М., 2004, 488 с.
  6. Ю. А. Неретин, Топологические группы и инвариантные меры
  7. A. S. Kechris, Classical descriptive set theory, Grad. Texts in Math., 156, Springer-Verlag, New York, 1995, xviii+402 pp.
  8. В. И. Богачев, Основы теории меры, т. 2, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, Москва–Ижевск, 2003, 576 с.
  9. С. Маклейн, “Алгебра аддитивных отношений”, Математика, 7:6 (1963), 3–12
  10. Yu. A. Neretin, Lectures on Gaussian integral operators and classical groups, EMS Ser. Lect. Math., Eur. Math. Soc. (EMS), Zürich, 2011, xii+559 pp.
  11. H. Schubert, Kategorien, v. I, Heidelberger Taschenbücher, 65, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1970, ix+160 pp.
  12. Ю. А. Неретин, Категории симметрий и бесконечномерные группы, Эдиториал УРСС, М., 1998, 431 с.
  13. E. Michael, “Topologies on spaces of subsets”, Trans. Amer. Math. Soc., 71 (1951), 152–182
  14. I. Biringer, “Metrizing the Chabauty topology”, Geom. Dedicata, 195 (2018), 19–22
  15. Ю. А. Неретин, “Категории бистохастических мер и представления некоторых бесконечномерных групп”, Матем. сб., 183:2 (1992), 52–76
  16. Г. Е. Шилов, Б. Л. Гуревич, Интеграл, мера и производная, 2-е изд., Наука, М., 1967, 220 с.
  17. E. Hopf, “The general temporally discrete Markoff process”, J. Rational Mech. Anal., 3 (1954), 13–45
  18. Ж. Невe, Математические основы теории вероятностей, Мир, М., 1969, 309 с.
  19. А. М. Вершик, “Многозначные отображения с инвариантной мерой (полиморфизмы) и марковские операторы”, Проблемы теории вероятностных распределений. IV, Зап. науч. сем. ЛОМИ, 72, Изд-во “Наука”, Ленинград. отд., Л., 1977, 26–61
  20. U. Krengel, Ergodic theorems, De Gruyter Stud. Math., 6, Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1985, viii+357 pp.
  21. K. Schmidt, A. Vershik, “Algebraic polymorphisms”, Ergodic Theory Dynam. Systems, 28:2 (2008), 633-642
  22. J. A. Wolf, “Elliptic spaces in Grassmann manifolds”, Illinois J. Math., 7:3 (1963), 447–462
  23. T. Tsankov, “Unitary representations of oligomorphic groups”, Geom. Funct. Anal., 22:2 (2012), 528–555
  24. G. I. Ol'shanskiĭ, “On semigroups related to infinite-dimensional groups”, Topics in representation theory, Adv. Soviet Math., 2, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1991, 67–101
  25. Yu. A. Neretin, “The space $L^2$ on semi-infinite Grassmannian over finite field”, Adv. Math., 250 (2014), 320–350
  26. Yu. A. Neretin, Groups $mathrm{GL}(infty)$ over finite fields and multiplications of double cosets
  27. Yu. A. Neretin, On the Weil representation of infinite-dimensional symplectic group over a finite field
  28. G. I. Olshanskiĭ, “Unitary representations of infinite-dimensional pairs $(G,K)$ and the formalism of R. Howe”, Representations of Lie groups and related topics, Adv. Stud. Contemp. Math., 7, Gordon and Breach, New York, 1990, 269–463
  29. E. Nelson, “The free Markoff field”, J. Funct. Anal., 12:2 (1973), 211–227
  30. Yu. A. Neretin, “Spreading maps (polymorphisms), symmetries of Poisson processes, and matching summation”, Теория представлений, динамические системы, комбинаторные и алгоритмические методы. VII, Зап. науч. сем. ПОМИ, 292, ПОМИ, СПб., 2002, 62–91
  31. Yu. Neretin, “Symmetries of Gaussian measures and operator colligations”, J. Funct. Anal., 263:3 (2012), 782–802
  32. Ю. А. Неретин, “Распределения Уишарта–Пикреля и замыкания групповых действий”, Теория представлений, динамические системы, комбинаторные методы. XXVII, Зап. науч. сем. ПОМИ, 448, ПОМИ, СПб., 2016, 236–245
  33. R. E. Howe, C. C. Moore, “Asymptotic properties of unitary representations”, J. Funct. Anal., 32:1 (1979), 72–96
  34. J. King, “The commutant is the weak closure of the powers, for rank-1 transformations”, Ergodic Theory Dynam. Systems, 6:3 (1986), 363–384
  35. E. Janvresse, T. de la Rue, V. Ryzhikov, “Around King's rank-one theorems: flows and $mathbb{Z}^n$-actions”, Dynamical systems and group actions, Contemp. Math., 567, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2012, 143–161
  36. S. Solecki, “Closed subgroups generated by generic measure automorphisms”, Ergodic Theory Dynam. Systems, 34:3 (2014), 1011–1017
  37. E. Janvresse, A. A. Prikhod'ko, T. de la Rue, V. V. Ryzhikov, “Weak limits of powers of Chacon's automorphism”, Ergodic Theory Dynam. Systems, 35:1 (2015), 128–141
  38. А. Ю. Кушнир, В. В. Рыжиков, “Слабые замыкания эргодических действий”, Матем. заметки, 100:6 (2016), 847–854
  39. В. В. Рыжиков, “Слабое замыкание бесконечных действий ранга $1$, присоединения и спектр”, Матем. заметки, 106:6 (2019), 894–903
  40. G. W. Mackey, “Borel structure in groups and their duals”, Trans. Amer. Math. Soc., 85 (1957), 134–165

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2021 Неретин Ю.A.

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).