On the phenomenon of the support shrinking of a solution with a time delay and on the extinction of the solution

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

The phenomenon of support shrinking with a time delay for the solution of a doubly nonlinear degenerate parabolic equation is studied in the case of slow diffusion and strong absorption. For a nonnegative solution, a sufficient condition for support shrinking beginning with some moment of time is deduced in terms of the local behaviour of the mass of the initial datum. It is also proved that the solution vanishes identically in finite time.Bibliography: 21 titles.

About the authors

Sergey Petrovich Degtyarev

Institute of Applied Mathematics and Mechanics

Email: degtyar@i.ua
Doctor of physico-mathematical sciences, no status

References

  1. С. П. Дегтярев, “Об условиях мгновенной компактификации носителя решения и о точных оценках носителя в задаче Коши для параболического уравнения с двойной нелинейностью и абсорбцией”, Матем. сб., 199:4 (2008), 37–64
  2. L. C. Evans, B. F. Knerr, “Instantaneous shrinking of the support of nonnegative solutions to certain nonlinear parabolic equations and variational inequalities”, Illinois J. Math., 23:1 (1979), 153–166
  3. M. Ughi, “Initial behavior of the free boundary for a porous media equation with strong absorption”, Adv. Math. Sci. Appl., 11:1 (2001), 333–345
  4. А. С. Калашников, “О зависимости свойств решений параболических уравнений в неограниченных областях от поведения коэффициентов на бесконечности”, Матем. сб., 125(167):3(11) (1984), 398–409
  5. А. С. Калашников, “О поведении вблизи начальной гиперплоскости решений задачи Коши для параболических систем с нелинейной диссипацией”, Тр. сем. им. И. Г. Петровского, 16, Изд-во Моск. ун-та, М., 1992, 106–113
  6. У. Г. Абдуллаев, “О мгновенном сжатии носителя решения нелинейного вырождающегося параболического уравнения”, Матем. заметки, 63:3 (1998), 323–331
  7. У. Г. Абдуллаев, “О точных локальных оценках носителя решений в задачах для нелинейных параболических уравнений”, Матем. сб., 186:8 (1995), 3–24
  8. R. Kersner, A. Shishkov, “Instantaneous shrinking of the support of energy solutions”, J. Math. Anal. Appl., 198:3 (1996), 729–750
  9. А. Е. Шишков, “Мертвые зоны и мгновенная компактификация носителей энергетических решений квазилинейных параболических уравнений произвольного порядка”, Матем. сб., 190:12 (1999), 129–156
  10. А. Е. Шишков, А. Г. Щелков, “Динамика носителей энергетических решений смешанных задач для квазилинейных параболических уравнений произвольного порядка”, Изв. РАН. Сер. матем., 62:3 (1998), 175–200
  11. S. N. Antontsev, J. I. Diaz, S. Shmarev, Energy methods for the free boundary problems. Applications to nonlinear PDEs and fluid mechanics, Progr. Nonlinear Differential Equations Appl., 48, Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2002, xii+329 pp.
  12. A. E. Shishkov, “Instantaneous shrinking phenomenon for solutions of higher-dimensional nonlinear diffusion-convection equations”, Methods Funct. Anal. Topology, 5:3 (1999), 54–76
  13. А. Е. Шишков, “Компактификация носителей энергетических обобщенных решений квазилинейных параболических уравнений типа нестационарной фильтрации с сильной конвекцией”, Тр. сем. им. И. Г. Петровского, 20, Изд-во Моск. ун-та, М., 1997, 121–154
  14. K. Ishige, “On the existence of solutions of the Cauchy problem for a doubly nonlinear parabolic equation”, SIAM J. Math.Anal., 27:5 (1996), 1235–1260
  15. Hui Jun Fan, “Cauchy problem of some doubly degenerate parabolic equations with initial datum a measure”, Acta Math. Sin. (Engl. Ser.), 20:4 (2004), 663–682
  16. M. Tsutsumi, “On solutions of some doubly nonlinear degenerate parabolic equations with absorption”, J. Math. Anal. Appl., 132:1 (1988), 187–212
  17. D. Andreucci, A. F. Tedeev, “Universal bounds at the blow-up time for nonlinear parabolic equations”, Adv. Differential Equations, 10:1 (2005), 89–120
  18. D. Andreucci, A. F. Tedeev, “Finite speed of propagation for the thin-film equation and other higher-order parabolic equations with general nonlinearity”, Interfaces Free Bound., 3:3 (2001), 233–264
  19. D. Andreucci, A. F. Tedeev, “A Fujita type result for a degenerate Neumann problem in domains with noncompact boundary”, J. Math. Anal. Appl., 231:2 (1999), 543–567
  20. F. Bernis, “Finite speed of propagation and asymptotic rates for some nonlinear higher order parabolic equations with absorption”, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, 104:1-2 (1986), 1–19
  21. О. А. Ладыженская, В. А. Солонников, Н. Н. Уральцева, Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа, Наука, М., 1967, 736 с.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2021 Дегтярев С.P.

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).