Construction of invariant Lyapunov norms of planar dynamical systems

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We consider the problem of the stability of linear dynamical switching systems. It is known that an irreducible d">d-dimensional system always has an invariant Lyapunov norm (a Barabanov norm), which determines the stability of the system and the rate of growth of its trajectories. We prove that in the case of d=2">d=2 the invariant norm is a piecewise analytic function and can be constructed explicitly for every finite system of matrices. The method of construction, an algorithm for computing the Lyapunov exponent and a way for deciding the stability of the system are presented. A complete classification of invariant norms for planar systems is derived. A criterion of the uniqueness of an invariant norm of a given system is proved, and some special norms (norms generated by polygons and so on) are investigated.

About the authors

Asiiat Magomedovna Musaeva

Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics

Author for correspondence.
Email: math-net2025_06@mi-ras.ru

without scientific degree, no status

References

  1. D. Liberzon, Switching in systems and control, Systems Control Found. Appl., Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2003, xiv+233 pp.
  2. D. Liberzon, A. S. Morse, “Basic problems in stability and design of switched systems”, IEEE Control Syst. Mag., 19:5 (1999), 59–70
  3. F. Blanchini, S. Miani, “A new class of universal Lyapunov functions for the control of uncertain linear systems”, IEEE Trans. Automat. Control, 44:3 (1999), 641–647
  4. U. Boscain, “A review on stability of switched systems for arbitrary switchings”, Geometric control and nonsmooth analysis, Ser. Adv. Math. Appl. Sci., 76, World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2008, 100–119
  5. A. P. Molchanov, Ye. S. Pyatnitskiy, “Criteria of asymptotic stability of differential and difference inclusions encountered in control theory”, Systems Control Lett., 13:1 (1989), 59–64
  6. F. Blanchini, S. Miani, “Piecewise-linear functions in robust control”, Robust control via variable structure and Lyapunov techniques (Benevento, 1994), Lect. Notes Control Inf. Sci., 217, Springer-Verlag London, Ltd., London, 1996, 213–243
  7. N. Guglielmi, L. Laglia, V. Protasov, “Polytope Lyapunov functions for stable and for stabilizable LSS”, Found. Comput. Math., 17:2 (2017), 567–623
  8. Н. Е. Барабанов, “Об абсолютном характеристическом показателе класса линейных нестационарных систем дифференциальных уравнений”, Сиб. матем. журн., 29:4 (1988), 12–22
  9. R. N. Shorten, K. S. Narendra, “Necessary and sufficient conditions for the existence of a common quadratic Lyapunov function for two stable second order linear time-invariant systems”, Proceedings of the 1999 American control conference (San Diego, CA), v. 2, IEEE, 1999, 1410–1414
  10. Y. Chitour, M. Gaye, P. Mason, “Geometric and asymptotic properties associated with linear switched systems”, J. Differential Equations, 259:11 (2015), 5582–5616
  11. I. D. Moris, An irreducible linear switching system whose unique Barabanov norm is not strictly convex
  12. D. V. Shatov, “Stability of a certain class of second order switched systems”, 20th IFAC conference on technology, culture, and international stability TECIS 2021 (Moscow, 2021), IFAC-PapersOnLine, 54:13 (2021), 425–430
  13. D. V. Shatov, “Analysis of stability and dwell time of a certain class of switched systems with second order subsystems”, 16th international conference on stability and oscillations of nonlinear control systems (Pyatnitskiy's conference) (Moscow, 2022), IEEE, 2022, 1–4
  14. M. Margaliot, “Stability analysis of switched systems using variational principles: an introduction”, Automatica J. IFAC, 42:12 (2006), 2059–2077
  15. M. Balde, U. Boscain, P. Mason, “A note on stability conditions for planar switched systems”, Internat. J. Control, 82:10 (2009), 1882–1888
  16. M. Balde, U. Boscain, “Stability of planar switched systems: the nondiagonalizable case”, Commun. Pure Appl. Anal., 7:1 (2008), 1–21
  17. M. Benaïm, S. Le Borgne, F. Malrieu, P. Zitt, “On the stability of planar randomly switched systems”, Ann. Appl. Probab., 24:1 (2014), 292–311
  18. L. Greco, F. Tocchini, M. Innocenti, “A geometry-based algorithm for the stability of planar switching systems”, Internat. J. Systems Sci., 37:11 (2006), 747–761
  19. Shen Cong, “Stability analysis for planar discrete-time linear switching systems via bounding joint spectral radius”, Systems Control Lett., 96 (2016), 7–10
  20. В. Ю. Протасов, “Совместный спектральный радиус и инвариантные множества линейных операторов”, Фундамент. и прикл. матем., 2:1 (1996), 205–231
  21. В. Ю. Протасов, “О гладкости кривых де Рама”, Изв. РАН. Сер. матем., 68:3 (2004), 139–180
  22. V. D. Blondel, J. Theys, A. A. Vladimirov, “An elementary counterexample to the finiteness conjecture”, SIAM J. Matrix Anal. Appl., 24:4 (2003), 963–979
  23. В. С. Козякин, “О вычислительных аспектах теории совместного спектрального радиуса”, Докл. РАН, 427:2 (2009), 160–164
  24. K. G. Hare, I. D. Morris, N. Sidorov, J. Theys, “An explicit counterexample to the Lagarias–Wang finiteness conjecture”, Adv. Math., 226:6 (2011), 4667–4701
  25. I. D. Morris, N. Sidorov, “On a devil's staircase associated to the joint spectral radii of a family of pairs of matrices”, J. Eur. Math. Soc. (JEMS), 15:5 (2013), 1747–1782
  26. A. Cicone, N. Guglielmi, S. Serra-Capizzano, M. Zennaro, “Finiteness property of pairs of $2 times 2$ sign-matrices via real extremal polytope norms”, Linear Algebra Appl., 432:2-3 (2010), 796–816
  27. И. Я. Новиков, В. Ю. Протасов, М. А. Скопина, Теория всплесков, Физматлит, М., 2005, 613 с.
  28. В. Ю. Протасов, “Фрактальные кривые и всплески”, Изв. РАН. Сер. матем., 70:5 (2006), 123–162
  29. J. N. Tsitsiklis, V. D. Blondel, “The Lyapunov exponent and joint spectral radius of pairs of matrices are hard–when not impossible–to compute and to approximate”, Math. Control Signals Systems, 10:1 (1997), 31–40
  30. V. Yu. Protasov, “The Barabanov norm is generically unique, simple, and easily computed”, SIAM J. Control Optim., 60:4 (2022), 2246–2267

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2023 Мусаева А.M.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».