Karatsuba's divisor problem and related questions

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We prove that
px1τ(p1)x(logx)3/2andnx1τ(n2+1)x(logx)1/2,">px1τ(p1)x(logx)3/2andnx1τ(n2+1)x(logx)1/2,
where τ(n)=dn1">τ(n)=dn1 is the number of divisors of n">n, and the first sum is taken over prime numbers.
Bibliography: 14 titles.

About the authors

Mikhail Rashidovich Gabdullin

Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences

Email: gabdullin@mi-ras.ru
Candidate of physico-mathematical sciences

Sergei Vladimirovich Konyagin

Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences

Email: konyagin23@gmail.com
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Vitalii Victorovich Iudelevich

Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics

Author for correspondence.
Email: gabdullin@mi-ras.ru

without scientific degree, no status

References

  1. E. C. Titchmarsh, “A divisor problem”, Rend. Circ. Mat. Palermo, 54 (1930), 414–429
  2. Ю. В. Линник, “Новые варианты и применения дисперсионного метода в бинарных аддитивных задачах”, Докл. АН СССР, 137:6 (1961), 1299–1302
  3. H. Halberstam, “Footnote to the Titchmarsh–Linnik divisor problem”, Proc. Amer. Math. Soc., 18 (1967), 187–188
  4. E. Bombieri, J. B. Friedlander, H. Iwaniec, “Primes in arithmetic progressions to large moduli”, Acta Math., 156:3-4 (1986), 203–251
  5. S. Ramanujan, “Some formulae in the analytic theory of numbers”, Messenger Math., 45 (1916), 81–84
  6. В. В. Юделевич, “О проблеме делителей Карацубы”, Изв. РАН, 86:5 (2022), 169–196
  7. P. Pollack, “Nonnegative multiplicative functions on sifted sets, and the square roots of $-1$ modulo shifted primes”, Glasg. Math. J., 62:1 (2020), 187–199
  8. М. Б. Барбан, П. П. Вехов, “Суммирование мультипликативных функций от полиномов”, Матем. заметки, 5:6 (1969), 669–680
  9. K. Ford, H. Halberstam, “The Brun–Hooley sieve”, J. Number Theory, 81:2 (2000), 335–350
  10. J. B. Rosser, L. Schoenfeld, “Approximate formulas for some functions of prime numbers”, Illinois J. Math., 6:1 (1962), 64–94
  11. S. Uchiyama, “On some products involving primes”, Proc. Amer. Math. Soc., 28:2 (1971), 629–630
  12. G. Tenenbaum, “Note sur les lois locales conjointes de la fonction nombre de facteurs premiers”, J. Number Theory, 188 (2018), 88–95
  13. К. Прахар, Распределение простых чисел, Мир, М., 1967, 511 с.
  14. E. Landau, Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, 2 Bände, B. G. Teubner, Leipzig–Berlin, 1909, x+564 pp., ix+567–961 pp.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML

Copyright (c) 2023 Gabdullin M.R., Konyagin S.V., Iudelevich V.V.

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).