On a class of interpolation inequalities on the 2D sphere

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We prove estimates for the Lp">Lp-norms of systems of functions and divergence-free vector functions that are orthonormal in the Sobolev space H1">H1 on the 2D sphere. As a corollary, order sharp constants for the embedding H1↪Lq">H1↪Lq, q<∞">q<∞, are obtained in the Gagliardo-Nirenberg interpolation inequalities.

About the authors

Sergey Vital'evich Zelik

University of Surrey; Lanzhou University

Author for correspondence.
Email: s.zelik@surrey.ac.uk
Doctor of physico-mathematical sciences, Senior Researcher

Aleksei Andreevich Ilyin

Keldysh Institute of Applied Mathematics of Russian Academy of Sciences

Email: ailyin58@gmail.com
Doctor of physico-mathematical sciences, Senior Researcher

References

  1. W. Beckner, “Sharp Sobolev inequalities on the sphere and the Moser–Trudinger inequality”, Ann. of Math. (2), 138:1 (1993), 213–242
  2. M. F. Bidaut-Veron, L. Veron, “Nonlinear elliptic equations on compact Riemannian manifolds and asymptotics of Emden equations”, Invent. Math., 106:3 (1991), 489–539
  3. J. Dolbeault, M. J. Esteban, M. Kowalczyk, M. Loss, “Sharp interpolation inequalities on the sphere: new methods and consequences”, Chinese Ann. Math. Ser. B, 34:1 (2013), 99–112
  4. E. H. Lieb, “An $L^p$ bound for the Riesz and Bessel potentials of orthonormal functions”, J. Funct. Anal., 51:2 (1983), 159–165
  5. A. A. Ilyin, S. Zelik, “Sharp dimension estimates of the attractor of the damped 2D Euler–Bardina equations”, Partial differential equations, spectral theory, and mathematical physics, EMS Ser. Congr. Rep., EMS Press, Berlin, 2021, 209–229
  6. A. Ilyin, A. Kostianko, S. Zelik, “Sharp upper and lower bounds of the attractor dimension for 3D damped Euler–Bardina equations”, Phys. D, 432 (2022), 133156, 13 pp.
  7. С. В. Зелик, А. А. Ильин, А. Г. Костянко, “Оценки размерности аттракторов регуляризированной системы Эйлера с диссипацией на сфере”, Матем. заметки, 111:1 (2022), 54–66
  8. A. Ilyin, A. Kostianko, S. Zelik, “Applications of the Lieb–Thirring and other bounds for orthonormal systems in mathematical hydrodynamics”, The physics and mathematics of Elliott Lieb. The 90th anniversary, v. I, EMS Press, Berlin, 2022, 583–608
  9. К. И. Бабенко, “Об одном неравенстве в теории интегралов Фурье”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 25:4 (1961), 531–542
  10. W. Beckner, “Inequalities in Fourier analysis”, Ann. of Math. (2), 102 (1975), 159–182
  11. Ш. М. Насибов, “Об оптимальных константах в некоторых неравенствах Соболева и их приложении к нелинейному уравнению Шрeдингера”, Докл. АН СССР, 307:3 (1989), 538–542
  12. Э. Либ, М. Лосс, Анализ, Науч. кн., Новосибирск, 1998, 276 с.
  13. M. I. Weinstein, “Nonlinear Schrödinger equations and sharp interpolation estimates”, Comm. Math. Phys., 87:4 (1983), 567–576
  14. G. Talenti, “Best constant in Sobolev inequality”, Ann. Mat. Pura Appl. (4), 110 (1976), 353–372
  15. E. H. Lieb, “Sharp constants in the Hardy–Littlewood–Sobolev and related inequalities”, Ann. of Math. (2), 118:2 (1983), 349–374
  16. И. Стейн, Г. Вейс, Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах, Мир, М., 1974, 336 с.
  17. H. Araki, “On an inequality of Lieb and Thirring”, Lett. Math. Phys., 19:2 (1990), 167–170
  18. E. Lieb, W. Thirring, “Inequalities for the moments of the eigenvalues of the Schrödinger Hamiltonian and their relation to Sobolev inequalities”, Studies in mathematical physics. Essays in honor of Valentine Bargmann, Princeton Ser. Phys., Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1976, 269–303
  19. B. Simon, Trace ideals and their applications, Math. Surveys Monogr., 120, 2nd ed., Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2005, viii+150 pp.
  20. A. Ilyin, A. Laptev, S. Zelik, “Lieb–Thirring constant on the sphere and on the torus”, J. Funct. Anal., 279:12 (2020), 108784, 18 pp.
  21. J. A. Hempel, G. R. Morris, N. S. Trudinger, “On the sharpness of a limiting case of the Sobolev imbedding theorem”, Bull. Austral. Math. Soc., 3:3 (1970), 369–373
  22. A. A. Ilyin, “Lieb–Thirring inequalities on the $N$-sphere and in the plane, and some applications”, Proc. London Math. Soc. (3), 67:1 (1993), 159–182
  23. А. А. Ильин, “Частично диссипативные полугруппы, порожденные системой Навье–Стокса на двумерных многообразиях, и их аттракторы”, Матем. сб., 184:1 (1993), 55–88
  24. В. И. Крылов, Приближенное вычисление интегралов, Физматгиз, М., 1959, 327 с.
  25. С. В. Зелик, А. А. Ильин, “Асимптотика функций Грина и точные интерполяционные неравенства”, УМН, 69:2(416) (2014), 23–76

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2023 Zelik S.V., Ilyin A.A.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».