Henselian division algebras and reduced unitary Whitehead groups for outer forms of anisotropic algebraic groups of the type $A_n$

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

Some results on the structure of involutorial (that is, having an involution) Henselian tamely ramified division algebras are obtained. These results are then used to derive formulae for the computation of the reduced unitary Whitehead groups for outer forms of anisotropic algebraic groups of type $A_n$. Bibliography: 46 titles.

About the authors

Vyacheslav Ivanovich Yanchevskiĭ

Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus

Email: yanch@im.bas-net.by
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. Э. Артин, Геометрическая алгебра, Наука, M., 1969, 283 с.
  2. Ж. Дьeдонне, Геометрия классических групп, Мир, M., 1974, 204 с.
  3. Н. Бурбаки, Алгебра: модули, кольца, формы, Наука, М., 1966, 555 с.
  4. А. Борель, Линейные алгебраические группы, Мир, М., 1972, 269 с.
  5. T. A. Springer, Linear algebraic groups, Progr. Math., 9, 2nd ed., Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1998, xiv+334 pp.
  6. Дж. Хамфри, Линейные алгебраические группы, Наука, M., 1980, 400 с.
  7. В. П. Платонов, А. С. Рапинчук, Алгебраические группы и теория чисел, Наука, М., 1991, 656 с.
  8. J. Tits, “Algebraic and abstract simple groups”, Ann. of Math. (2), 80:2 (1964), 313–329
  9. В. П. Платонов, “О проблеме Таннака–Артина”, Докл. АН СССР, 221:5 (1975), 1038–1041
  10. Ph. Gille, “Le problème de Kneser–Tits”, Seminaire N. Bourbaki, v. 2007/2008, Asterisque, 326, Soc. Math. France, Paris, 2009, Exp. No. 983, vii, 39–81
  11. J. Tits, “Groupes de Whitehead de groupes algebriques simples sur un corps”, d'après V. P. Platonov et al., Seminaire N. Bourbaki, v. 1976/1977, Lecture Notes in Math., 677, Springer, Berlin, 1978, Exp. No. 505, 218–236
  12. В. И. Янчевский, “Приведенная унитарная $K$-теория и тела над гензелевыми дискретно-нормированными полями”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 42:4 (1978), 879–918
  13. В. П. Платонов, В. И. Янчевский, “О гипотезе Кнезера–Титса для унитарных групп”, Докл. АН СССР, 225:1 (1975), 48–51
  14. В. П. Платонов, В. И. Янчевский, “$mathrm{SK}_1$ для тел некоммутативных рациональных функций”, Докл. АН СССР, 249:5 (1979), 1064–1068
  15. В. П. Платонов, “Проблема Таннака–Артина и приведенная $K$-теория”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 40:2 (1976), 227–261
  16. В. П. Платонов, “Бирациональные свойства приведенных групп Уайтхеда”, Докл. АН БССР, 21:3 (1977), 197–198
  17. В. И. Янчевский, “Тела над гензелевыми дискретно нормированными полями и проблема Таннака–Артина”, Докл. АН СССР, 226:2 (1976), 281–283
  18. В. И. Янчевский, “Обратная задача приведенной унитарной $K$-теории”, Матем. заметки, 26:3 (1979), 475–482
  19. В. И. Янчевский, “Приведенная унитарная $K$-теория. Приложения к алгебраическим группам”, Матем. сб., 110(152):4(12) (1979), 579–596
  20. P. Draxl, “$SK_1$ von Algebren über vollständig diskret bewerteten Körpern und Galoiskohomologie abelscher Körpererweiterungen”, J. Reine Angew. Math., 1977:293/294 (1977), 116–142
  21. P. Draxl, “Ostrowski's theorem for Henselian valued skew fields”, J. Reine Angew. Math., 1984:354 (1984), 213–218
  22. R. Hazrat, A. R. Wadsworth, “$mathrm{SK}_1$ of graded division algebras”, Israel J. Math., 183 (2011), 117–163
  23. R. Hazrat, A.Ṙ. Wadsworth, “Unitary $mathrm{SK}_1$ of graded and valued division algebras”, Proc. Lond. Math. Soc. (3), 103:3 (2011), 508–534
  24. A. S. Merkurjev, “Generic element in $SK_1$ for simple algebras”, $K$-Theory, 7:1 (1993), 1–3
  25. V. P. Platonov, “Algebraic groups and reduced $K$-theory”, Proceedings of the international congress of mathematicians (Helsinki, 1978), Acad. Sci. Fennica, Helsinki, 1980, 311–317
  26. A. Suslin, “$SK_1$ of division algebras and Galois cohomology revisited”, Proceedings of the St. Petersburg Mathematical Society, v. XII, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 219, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2006, 125–147
  27. V. E. Voskresenskiĭ, Algebraic groups and their birational invariants, Transl. from the Russian manuscript, Transl. Math. Monogr., 179, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1998, xiv+218 pp.
  28. A. R. Wadsworth, V. I. Yanchevskiĭ, “Unitary $mathrm{SK}_1$ for a graded division ring and its quotient division ring”, J. Algebra, 352:1 (2012), 62–78
  29. A. R. Wadsworth, “Unitary $mathrm{SK}_1$ of semiramified graded and valued division algebras”, Manuscripta Math., 139:3-4 (2012), 343–389
  30. B. Sury, “On $operatorname{SU}(1,D)/[mathrm{U}(1,D),mathrm{U}(1,D)]$ for a quaternion division algebra $D$”, Arch. Math. (Basel), 90:6 (2008), 493–500
  31. B. A. Sethuraman, B. Sury, “A note on the special unitary group of a division algebra”, Proc. Amer. Math. Soc., 134:2 (2006), 351–354
  32. В. И. Янчевский, “Приведенные группы Уайтхеда и проблема сопряжeнности для специальных унитарных групп анизотропных эрмитовых форм”, Вопросы теории представлений алгебр и групп. 23, Зап. науч. сем. ПОМИ, 400, ПОМИ, СПб., 2012, 222–245
  33. В. П. Платонов, В. И. Янчевский, “Гипотеза Дьедонне о структуре унитарных групп над телом и эрмитова $K$-теория”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 48:6 (1984), 1266–1294
  34. В. П. Платонов, В. И. Янчевский, “К теории гензелевых тел”, Докл. АН СССР, 297:2 (1987), 294–298
  35. В. П. Платонов, В. И. Янчевский, “Конечномерные гензелевы тела”, Докл. АН СССР, 297:3 (1987), 542–547
  36. B. Jacob, A. Wadsworth, “Division algebras over Henselian fields”, J. Algebra, 128:1 (1990), 126–179
  37. Ю. Л. Ершов, “Гензелевы нормирования тел и группа $SK_1$”, Матем. сб., 117(159):1 (1982), 60–68
  38. А. В. Прокопчук, В. И. Янчевский, “О нециклических унитарных инволюциях гензелевых дискретно нормированных алгебр с делением”, Изв. НАН Беларуси. Cер. физ.-матем. наук, 2014, № 1, 51–53
  39. A. A. Albert, “Involutorial simple algebras and real Riemann matrices”, Ann. of Math. (2), 36:4 (1935), 886–964
  40. M.-A. Knus, A. Merkurjev, M. Rost, J.-P. Tignol, The book of involutions, Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., 44, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1998, xxii+593 pp.
  41. U. Rehmann, S. V. Tikhonov, V. I. Yanchevskiĭ, “Prescribed behavior of central simple algebras after scalar extension”, J. Algebra, 351:1 (2012), 279–293
  42. P. Roquette, “Isomorphisms of generic splitting fields of simple algebras”, J. Reine Angew. Math., 1984:214/215 (1964), 207–226
  43. С. В. Тихонов, В. И. Янчевский, “Гомоморфизмы и инволюции неразветвленных гензелевых алгебр с делением”, Вопросы теории представлений алгебр и групп. 26, Зап. науч. сем. ПОМИ, 423, ПОМИ, СПб., 2014, 264–275
  44. А. С. Меркурьев, “Норменный принцип для алгебраических групп”, Алгебра и анализ, 7:2 (1995), 77–105
  45. A. A. Albert, Structure of algebras, Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., 24, Reprint of 1939 ed., Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1961, xi+210 pp.
  46. Ж. П. Серр, Когомологии Галуа, Мир, М., 1968, 208 с.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2022 Yanchevskiĭ V.I.

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).