Integrals of a difference of subharmonic functions against measures and the Nevanlinna characteristic

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

Integral inequalities for integrals of differences of subharmonic functions against Borel measures on balls in multidimensional Euclidean spaces are obtained. These integrals are estimated from above in terms of the product of the Nevanlinna characteristic of the function and various characteristics of the Borel measure and its support. The main theorem, which is a criterion concerning such estimates, presents several equivalent statements of different character. All results are new for the logarithms of the moduli of meromorphic functions on discs in the complex plane. They cover all preceding results, which go back to the classical small arcs lemma of Edrei and Fuchs, as special cases. Integrals against Borel measures with support on fractal sets are also allowed; in this case estimates are in terms of the Hausdorff measure and Hausdorff content of the support of the measure. Special cases of functions on the whole complex plane or space, or in the unit disc or ball, which are important for applications are distinguished, as well as cases involving integration against arc length over subsets of Lipschitz curves and against surface area over subsets of Lipschitz hypersurfaces. Bibliography: 42 titles.

About the authors

Bulat Nurmievich Khabibullin

Bashkir State University, Faculty of Mathematics and Information Technologies; Institute of Mathematics with Computing Centre — Subdivision of the Ufa Federal Research Centre of the Russian Academy of Sciences

Email: khabib-bulat@mail.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. A. Edrei, W. H. J. Fuchs, “Bounds for the number of deficient values of certain classes of meromorphic functions”, Proc. London Math. Soc. (3), 12 (1962), 315–344
  2. А. А. Гольдберг, И. В. Островский, Распределение значений мероморфных функций, Наука, М., 1970, 592 с.
  3. А. Ф. Гришин, М. Л. Содин, “Рост по лучу, распределение корней по аргументам целой функции конечного порядка и одна теорема единственности”, Теория функций, функциональный анализ и их приложения, 50, Вища школа, Харьков, 1988, 47–61
  4. А. Ф. Гришин, Т. И. Малютина, “Новые формулы для индикаторов субгармонических функций”, Матем. физ., анал., геом., 12:1 (2005), 25–72
  5. Л. А. Габдрахманова, Б. Н. Хабибуллин, “Одна теорема о малых интервалах для субгармонических функций”, Изв. вузов. Матем., 2020, № 9, 15–24
  6. B. N. Khabibullin, “Integrals of subharmonic functions and their differences with weight over small sets on a ray”, Mat. Stud., 54:2 (2020), 162–171
  7. M. Girnyk, “Planar Lebesgue measure of exceptional set in approximation of subharmonic functions”, Журн. матем. физ., анал., геом., 5:4 (2009), 347–358
  8. R. Nevanlinna, Le theoremè de Picard–Borel et la theorie des fonctions meromorphes, Gauthier-Villars, Paris, 1929, vii+174 pp.
  9. Б. Н. Хабибуллин, “Характеристика Неванлинны и интегральные неравенства с максимальной радиальной характеристикой для мероморфных функций и разностей субгармонических”, Алгебра и анализ, 34:2 (2022), 152–184
  10. G. Valiron, Lectures on the general theory of integral functions, Chelsea Pub. Co., New York, 1949, xi+208 pp.
  11. Б. Я. Левин, Распределение корней целых функций, Гостехиздат, М., 1956, 632 с.
  12. N. H. Bingham, C. M. Goldie, J. L. Teugels, Regular variation, Encyclopedia Math. Appl., 27, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1987, xx+491 pp.
  13. Б. Н. Хабибуллин, “Обобщение уточненного порядка”, Докл. Башкирского ун-та, 5:1 (2020), 1–6
  14. M. G. Arsove, “Functions representable as differences of subharmonic functions”, Trans. Amer. Math. Soc., 75 (1953), 327–365
  15. M. G. Arsove, “Functions of potential type”, Trans. Amer. Math. Soc., 75 (1953), 526–551
  16. А. Ф. Гришин, Нгуен Ван Куинь, И. В. Поединцева, “Теоремы о представлении $delta$-субгармонических функций”, Вестн. ХНУ им. В. Н. Каразина. Cер. Мaтeм., прикл. мaтeм. и мех., 1133:70 (2014), 56–75
  17. Б. Н. Хабибуллин, А. П. Розит, “К распределению нулевых множеств голоморфных функций”, Функц. анализ и его прил., 52:1 (2018), 26–42
  18. B. N. Khabibullin, “Integrals with a meromorphic function or the difference of subharmonic functions over discs and planar small sets”, Lobachevskii J. Math., 42:6 (2021), 1175–1182
  19. W. K. Hayman, Subharmonic functions, v. II, London Math. Soc. Monogr., 20, Academic Press, Inc., London, 1989, i–xxvi and 285–875 pp.
  20. B. N. Khabibullin, “The logarithm of the modulus of an entire function as a minorant for a subharmonic function outside a small exceptional set”, Azerb. J. Math., 11:2 (2021), 48–59
  21. Б. Н. Хабибуллин, “Теоремы типа Лиувилля для функций конечного порядка”, Уфим. матем. журн., 12:4 (2020), 117–121
  22. Б. Н. Хабибуллин, “Глобальная ограниченность функций конечного порядка, ограниченных вне малых множеств”, Матем. сб., 212:11 (2021), 116–127
  23. Г. Федерер, Геометрическая теория меры, Наука, М., 1987, 760 с.
  24. Л. К. Эванс, Р. Ф. Гариепи, Теория меры и тонкие свойства функций, Научная книга (ИДМИ), Новосибирск, 2002, 216 с.
  25. Н. С. Ландкоф, Основы современной теории потенцила, Наука, М., 1966, 515 с.
  26. T. Ransford, Potential theory in the complex plane, London Math. Soc. Stud. Texts, 28, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1995, x+232 pp.
  27. У. Хейман, П. Кеннеди, Субгармонические функции, Мир, М., 1980, 304 с.
  28. L. L. Helms, Introduction to potential theory, Pure Appl. Math., XXII, Wiley Interscience [A division of John Wiley & Sons, Inc.], New York–London–Sydney, 1969, ix+282 pp.
  29. V. Azarin, Growth theory of subharmonic functions, Birkhäuser Adv. Texts Basler Lehrbücher, Birkhäuser Verlag, Basel, 2009, vi+259 pp.
  30. Е. М. Чирка, “Потенциалы на компактной римановой поверхности”, Комплексный анализ, математическая физика и приложения, Сборник статей, Труды МИАН, 301, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2018, 287–319
  31. И. И. Привалов, “Обобщение формулы Jensen'a. I”, Изв. АН СССР. VII сер. Отд. матем. и естеств. наук, 1935, № 6-7, 837–847
  32. И. И. Привалов, “Обобщение формулы Jensen'a. II”, Изв. АН СССР. VII сер. Отд. матем. и естеств. наук, 1935, № 6-7, 848–856
  33. И. И. Привалов, Субгармонические функции, ОНТИ НКТП СССР, М.–Л., 1937, 200 с.
  34. Б. Н. Хабибуллин, А. В. Шмелeва, “Выметание мер и субгармонических функций на систему лучей. I. Классический случай”, Алгебра и анализ, 31:1 (2019), 156–210
  35. Л. Карлесон, Избранные проблемы теории исключительных множеств, Мир, М., 1971, 126 с.
  36. C. A. Rogers, Hausdorff measures, Cambridge Univ. Press, London–New York, 1970, viii+179 pp.
  37. D. R. Adams, L. I. Hedberg, Function spaces and potential theory, Grundlehren Math. Wiss., 314, Springer-Verlag, Berlin, 1996, xii+366 pp.
  38. В. Я. Эйдерман, “Оценки картановского типа для потенциалов с ядром Коши и с действительными ядрами”, Матем. сб., 198:8 (2007), 115–160
  39. А. Л. Вольберг, В. Я. Эйдерман, “Неоднородный гармонический анализ: 16 лет развития”, УМН, 68:6(414) (2013), 3–58
  40. А. А. Тужилин, Мера Хаусдорфа: трудности перевода, 2017
  41. H. Federer, “Surface area. I”, Trans. Amer. Math. Soc, 55 (1944), 420–437
  42. F. Morgan, Geometric measure theory, A beginner's guide, 4th ed., Elsevier/Academic Press, Amsterdam, 2009, viii+249 pp.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2022 Khabibullin B.N.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».