Canonical geometrization of orientable $3$-manifolds defined by vector colourings of $3$-polytopes

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

The geometrization conjecture of Thurston (finally proved by Perelman) says that any oriented $3$-manifold can canonically be partitioned into pieces, which have a geometric structure modelled on one of the eight geometries: $S^3$, $\mathbb R^3$, $\mathbb H^3$, $S^2\times\mathbb R$, $\mathbb H^2\times \mathbb R$, the universal cover of $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$, $\mathrm{Nil}$ and $\mathrm{Sol}$. In a seminal paper (1991) Davis and Januszkiewicz introduced a wide class of $n$-dimensional manifolds, small covers over simple $n$-polytopes. We give a complete answer to the following problem: build an explicit canonical decomposition of any orientable $3$-manifold defined by a vector colouring of a simple $3$-polytope, in particular, of a small cover. The proof is based on an analysis of results in this direction obtained previously by different authors. Bibliography: 44 titles.

About the authors

Nikolai Yur'evich Erokhovets

Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences

Email: erochovetsn@hotmail.com
Candidate of physico-mathematical sciences, no status

References

  1. V. M. Buchstaber, T. E. Panov, Toric topology, Math. Surveys Monogr., 204, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2015, xiv+518 pp.
  2. M. Aschenbrenner, S. Friedl, H. Wilton, $3$-manifold groups, EMS Ser. Lect. Math., Eur. Math. Soc., Zürich, 2015, xiv+215 pp.
  3. F. Bonahon, “Geometric structures on $3$-manifolds”, Handbook of geometric topology, North-Holland, Amsterdam, 2002, 93–164
  4. P. Scott, “The geometries of $3$-manifolds”, Bull. London Math. Soc., 15:5 (1983), 401–487
  5. W. P. Thurston, The geometry and topology of three-manifolds, electronic version 1.1, 2002
  6. J. Morgan, Gang Tian, The geometrization conjecture, Clay Math. Monogr., 5, Amer. Math. Soc., Providence, RI; Clay Math. Inst., Cambridge, MA, 2014, x+291 pp.
  7. M. W. Davis, T. Januszkiewicz, “Convex polytopes, Coxeter orbifolds and torus actions”, Duke Math. J., 62:2 (1991), 417–451
  8. M. W. Davis, B. Okun, “Vanishing theorems and conjectures for the $ell^2$-homology of right-angled Coxeter groups”, Geom. Topol., 5 (2001), 7–74
  9. Н. Ю. Ероховец, “Трехмерные прямоугольные многогранники конечного объема в пространстве Лобачевского: комбинаторика и конструкции”, Алгебраическая топология, комбинаторика и математическая физика, Сборник статей. К 75-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН Виктора Матвеевича Бухштабера, Труды МИАН, 305, МИАН, М., 2019, 86–147
  10. T. A. Schroeder, “Geometrization of $3$-dimensional Coxeter orbifolds and Singer's conjecture”, Geom. Dedicata, 140 (2009), 163–174
  11. M. W. Davis, The geometry and topology of Coxeter groups, London Math. Soc. Monogr. Ser., 32, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 2008, xvi+584 pp.
  12. Т. Е. Панов, Я. А. Верeвкин, “Полиэдральные произведения и коммутанты прямоугольных групп Артина и Коксетера”, Матем. сб., 207:11 (2016), 105–126
  13. Lisu Wu, Atoroidal manifolds in small covers
  14. Lisu Wu, Li Yu, “Fundamental groups of small covers revisited”, Int. Math. Res. Not. IMRN, 2021:10 (2021), 7262–7298
  15. Zhi Lü, Lisu Wu, Topology and geometry of flagness and beltness of simple orbifolds
  16. M. Davis, T. Januszkiewicz, R. Scott, “Nonpositive curvature of blow-ups”, Selecta Math. (N.S.), 4:4 (1998), 491–547
  17. M. Gromov, “Hyperbolic groups”, Essays in group theory, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 8, Springer, New York, 1987, 75–263
  18. А. Д. Медных, “Группы автоморфизмов трeхмерных гиперболических многообразий”, Докл. АН СССР, 285:1 (1985), 40–44
  19. A. D. Mednykh, A. Yu. Vesnin, “On three-dimensional hyperbolic manifolds of Löbell type”, Complex analysis and applications '85 (Varna, 1985), Publ. House Bulgar. Acad. Sci., Sofia, 1986, 440–446
  20. А. Ю. Веснин, “Трехмерные гиперболические многообразия типа Лeбелля”, Сиб. матем. журн., 28:5 (1987), 50–53
  21. A. D. Mednykh, “Three-dimensional hyperelliptic manifolds”, Ann. Global. Anal. Geom., 8:1 (1990), 13–19
  22. А. Ю. Веснин, А. Д. Медных, “Сферические группы Коксетера и гиперэллиптические $3$-многообразия”, Матем. заметки, 66:2 (1999), 173–177
  23. А. Ю. Веснин, “Прямоугольные многогранники и трехмерные гиперболические многообразия”, УМН, 72:2(434) (2017), 147–190
  24. H. Nakayama, Y. Nishimura, “The orientability of small covers and coloring simple polytopes”, Osaka J. Math., 42:1 (2005), 243–256
  25. Г. M. Циглер, Теория многогранников, МЦНМО, М., 2014, 568 с.
  26. V. M. Buchstaber, N. Yu. Erokhovets, “Fullerenes, polytopes and toric topology”, Combinatorial and toric homotopy. Introductory lectures, Lect. Notes Ser. Inst. Math. Sci. Natl. Univ. Singap., 35, World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2018, 67–178
  27. Н. Ю. Ероховец, “Инвариант Бухштабера простых многогранников”, УМН, 63:5(383) (2008), 187–188
  28. A. Ayzenberg, The problem of Buchstaber number and its combinatorial aspects
  29. И. В. Изместьев, “Свободное действие тора на многообразии $mathscr{Z}_P$ и группа проективностей многогранника $P$”, УМН, 56:3(339) (2001), 169–170
  30. Н. Ю. Ероховец, “Теория инварианта Бухштабера симплициальных комплексов и выпуклых многогранников”, Алгебраическая топология, выпуклые многогранники и смежные вопросы, Сборник статей. К 70-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН Виктора Матвеевича Бухштабера, Труды МИАН, 286, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2014, 144–206
  31. A. Ayzenberg, “Buchstaber invariant, minimal non-simplices and related”, Osaka J. Math., 53:2 (2016), 377–395
  32. А. В. Погорелов, “О правильном разбиении пространства Лобачевского”, Матем. заметки, 1:1 (1967), 3–8
  33. Е. М. Андреев, “О выпуклых многогранниках в пространствах Лобачевского”, Матем. сб., 81(123):3 (1970), 445–478
  34. G. D. Birkhoff, “The reducibility of maps”, Amer. J. Math., 35:2 (1913), 115–128
  35. Е. М. Андреев, “О выпуклых многогранниках конечного объема в пространстве Лобачевского”, Матем. сб., 83(125):2(10) (1970), 256–260
  36. Э. Б. Винберг, О. В. Шварцман, “Дискретные группы движений пространств постоянной кривизны”, Геометрия – 2, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. матем. Фундам. направления, 29, ВИНИТИ, М., 1988, 147–259
  37. A. Yu. Vesnin, A. A. Egorov, “Ideal right-angled polyhedra in Lobachevsky space”, Чебышевский сб., 21:2 (2020), 65–83
  38. A. A. Egorov, A. Yu. Vesnin, “On correlation of hyperbolic volumes of fullerenes with their properties”, Comput. Math. Biophys., 8 (2020), 150–167
  39. A. Egorov, A. Vesnin, “Volume estimates for right-angled hyperbolic polyhedra”, Rend. Istit. Mat. Univ. Trieste, 52 (2020), 565–576
  40. В. М. Бухштабер, Н. Ю. Ероховец, М. Масуда, Т. Е. Панов, С. Пак, “Когомологическая жeсткость многообразий, задаваемых трeхмерными многогранниками”, УМН, 72:2(434) (2017), 3–66
  41. В. М. Бухштабер, Н. Ю. Ероховец, “Конструкции семейств трехмерных многогранников, характеристические фрагменты фуллеренов и многогранники Погорелова”, Изв. РАН. Сер. матем., 81:5 (2017), 15–91
  42. A. Hatcher, Notes on basic $3$-manifold topology
  43. W. Lück, “Survey on aspherical manifolds”, European congress of mathematics (Amsterdam, 2008), Eur. Math. Soc., Zürich, 2010, 53–82
  44. A. Hatcher, Algebraic topology, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2002, xii+544 pp.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2022 Erokhovets N.Y.

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).