Time minimization problem on the group of motions of a plane with admissible control in a half-disc

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

The time minimization problem with admissible control in a half-disc is considered on the group of motions of a plane. The control system under study provides a model of a car on the plane that can move forwards or rotate in place. Optimal trajectories of such a system are used to detect salient curves in image analysis. In particular, in medical image analysis such trajectories are used for tracking vessels in retinal images. The problem is of independent interest in geometric control theory: it provides a model example when the set of values of the control parameters contains zero at the boundary. The problem of controllability and existence of optimal trajectories is studied. By analysing the Hamiltonian system of the Pontryagin maximum principle the explicit form of extremal controls and trajectories is found. Optimality of the extremals is partially investigated. The structure of the optimal synthesis is described. Bibliography: 33 titles.

About the authors

Alexey Pavlovich Mashtakov

Ailamazyan Program Systems Institute of Russian Academy of Sciences

Email: alexey.mashtakov@gmail.com
Candidate of technical sciences, Senior Researcher

References

  1. L. E. Dubins, “On curves of minimal length with a constraint on average curvature, and with prescribed initial and terminal positions and tangents”, Amer. J. Math., 79:3 (1957), 497–516
  2. J. A. Reeds, L. A. Shepp, “Optimal paths for a car that goes both forwards and backwards”, Pacific J. Math., 145:2 (1990), 367–393
  3. Y. L. Sachkov, “Cut locus and optimal synthesis in the sub-Riemannian problem on the group of motions of a plane”, ESAIM Control Optim. Calc. Var., 17:2 (2011), 293–321
  4. R. Duits, S. P. L. Meesters, J.-M. Mirebeau, J. M. Portegies, “Optimal paths for variants of the $2D$ and $3D$ Reeds–Shepp car with applications in image analysis”, J. Math. Imaging Vision, 60:6 (2018), 816–848
  5. J.-P. Laumond, “Feasible trajectories for mobile robots with kinematic and environment constraints”, Intelligent autonomous systems (Amsterdam, 1986), North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1987, 346–354
  6. R. Montgomery, A tour of subriemannian geometries, their geodesics and applications, Math. Surveys Monogr., 91, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2002, xx+259 pp.
  7. H. J. Sussmann, Guoqing Tang, Shortest paths for the Reeds–Shepp car: a worked out example of the use of geometric techniques in nonlinear optimal control, Report SYCON1-10, Rutgers Univ., 1991, 72 pp.
  8. В. Н. Берестовский, “Геодезические левоинвариантной неголономной римановой метрики на группе движений евклидовой плоскости”, Сиб. матем. журн., 35:6 (1994), 1223–1229
  9. G. Sanguinetti, E. Bekkers, R. Duits, M. H. J. Janssen, A. Mashtakov, J. M. Mirebeau, “Sub-Riemannian fast marching in $operatorname{SE}(2)$”, Progress in pattern recognition, image analysis, computer vision, and applications, Lecture Notes in Comput. Sci., 9423, Springer, Cham, 2015, 366–374
  10. E. J. Bekkers, R. Duits, A. Mashtakov, Y. Sachkov, “Vessel tracking via sub-Riemannian geodesics on the projective line bundle”, Geometric science of information, Lecture Notes in Comput. Sci., 10589, Springer, Cham, 2017, 773–781
  11. А. А. Аграчев, Ю. Л. Сачков, Геометрическая теория управления, Физматлит, М., 2005, 392 с.
  12. А. А. Ардентов, Л. В. Локуциевский, Ю. Л. Сачков, “Решение серии задач оптимального управления с 2-мерным управлением на основе выпуклой тригонометрии”, Докл. РАН. Мат. информ. проц. упр., 494:1 (2020), 86–92
  13. J. Petitot, “The neurogeometry of pinwheels as a sub-Riemannian contact structure”, J. Physiol. Paris, 97:2-3 (2003), 265–309
  14. G. Citti, A. Sarti, “A cortical based model of perceptual completion in the roto-translation space”, J. Math. Imaging Vision, 24:3 (2006), 307–326
  15. U. Boscain, R. A. Chertovskih, J. P. Gauthier, A. O. Remizov, “Hypoelliptic diffusion and human vision: a semidiscrete new twist”, SIAM J. Imaging Sci., 7:2 (2014), 669–695
  16. U. Boscain, J.-P. Gauthier, D. Prandi, A. Remizov, “Image reconstruction via non-isotropic diffusion in Dubins/Reed–Shepp-like control systems”, 53rd IEEE conference on decision and control (Los Angeles, CA, 2014), IEEE, 2014, 4278–4283
  17. A. P. Mashtakov, A. A. Ardentov, Yu. L. Sachkov, “Parallel algorithm and software for image inpainting via sub-Riemannian minimizers on the group of rototranslations”, Numer. Math. Theory Methods Appl., 6:1 (2013), 95–115
  18. B. Franceschiello, A. Mashtakov, G. Citti, A. Sarti, “Geometrical optical illusion via sub-Riemannian geodesics in the roto-translation group”, Differential Geom. Appl., 65 (2019), 55–77
  19. R. Duits, U. Boscain, F. Rossi, Y. Sachkov, “Association fields via cuspless sub-Riemannian geodesics in $operatorname{SE}(2)$”, J. Math. Imaging Vision, 49:2 (2014), 384–417
  20. U. Boscain, R. Duits, F. Rossi, Yu. Sachkov, “Curve cuspless reconstruction via sub-Riemannian geometry”, ESAIM Control Optim. Calc. Var., 20:3 (2014), 748–770
  21. D. J. Field, A. Hayes, R. F. Hess, “Contour integration by the human visual system: evidence for a local “association field””, Vision Res., 33:2 (1993), 173–193
  22. R. Duits, M. Felsberg, G. Granlund, B. Romeny, “Image analysis and reconstruction using a wavelet transform constructed from a reducible representation of the Euclidean motion group”, Int. J. Comput. Vis., 72:1 (2007), 79–102
  23. E. J. Bekkers, R. Duits, A. Mashtakov, G. R. Sanguinetti, “A PDE approach to data-driven sub-Riemannian geodesics in $operatorname{SE}(2)$”, SIAM J. Imaging Sci., 8:4 (2015), 2740–2770
  24. A. Mashtakov, R. Duits, Yu. Sachkov, E. J. Bekkers, I. Beschastnyi, “Tracking of lines in spherical images via sub-Riemannian geodesics in $operatorname{SO}(3)$”, J. Math. Imaging Vision, 58:2 (2017), 239–264
  25. R. Duits, A. Ghosh, T. C. J. Dela Haije, A. Mashtakov, “On sub-Riemannian geodesics in $operatorname{SE}(3)$ whose spatial projections do not have cusps”, J. Dyn. Control Syst., 22:4 (2016), 771–805
  26. W. L. J. Scharpach, Optimal paths for the Reeds–Shepp car with monotone spatial control and vessel tracking in medical image analysis, MSc. Thesis, Univ. of Technology, Eindhoven, 2018, 60 pp.
  27. М. И. Зеликин, Оптимальное управление и вариационное исчисление, 2-е изд., Едиториал УРСС, М., 2004, 160 с.
  28. A. Agrachev, D. Barilari, U. Boscain, A comprehensive introduction to sub-Riemannian geometry. From the Hamiltonian viewpoint, Cambridge Stud. Adv. Math., 181, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2020, xviii+745 pp.
  29. C. Laurent-Gengoux, A. Pichereau, P. Vanhaecke, Poisson structures, Grundlehren Math. Wiss., 347, Springer, Heidelberg, 2013, xxiv+461 pp.
  30. M. Lakshmanan, S. Rajasekar, Nonlinear dynamics. Integrability, chaos and patterns, Adv. Texts Phys., Springer-Verlag, Berlin, 2003, xx+619 pp.
  31. P. M. Mathews, M. Lakshmanan, “Dynamics of a nonlinear field”, Ann. Physics, 79:1 (1973), 171–185
  32. В. И. Арнольд, Обыкновенные дифференциальные уравнения, 4-е изд., РХД, Ижевск, 2000, 368 с.
  33. P. F. Byrd, M. D. Friedman, “Table of integrals of Jacobian elliptic functions”, Handbook of elliptic integrals for engineers and scientists, Grundlehren Math. Wiss., 67, Springer, Berlin–Heidelberg, 1971, 191–222

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2022 Mashtakov A.P.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».