Bifurcations changing the homotopy type of the closure of an invariant saddle manifold of a surface diffeomorphism

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

It is well known from the homotopy theory of surfaces that an ambient isotopy does not change the homotopy type of a closed curve. Using the language of dynamical systems, this means that an arc in the space of diffeomorphisms that joins two isotopic diffeomorphisms with invariant closed curves in distinct homotopy classes must go through bifurcations. A scenario is described which changes the homotopy type of the closure of the invariant manifold of a saddle point of a polar diffeomorphism of a 2-torus to anyprescribed homotopically nontrivial type. The arc constructed in the process is stable and does not change the topological conjugacy class of the original diffeomorphism. The ideas that are proposed here for constructing such an arc for a 2-torus can naturally be generalized to surfaces of greater genus. Bibliography: 32 titles.

About the authors

Elena Vyacheslavovna Nozdrinova

National Research University – Higher School of Economics in Nizhny Novgorod

without scientific degree, no status

Olga Vital'evna Pochinka

National Research University – Higher School of Economics in Nizhny Novgorod

Email: olga-pochinka@yandex.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, no status

References

  1. В. С. Афраймович, Л. П. Шильников, “О некоторых глобальных бифуркациях, связанных с исчезновением неподвижной точки типа седло–узел”, Докл. АН СССР, 219:6 (1974), 1281–1284
  2. В. С. Афраймович, Л. П. Шильников, “О малых периодических возмущениях автономных систем”, Докл. АН СССР, 214:4 (1974), 739–742
  3. A. Banyaga, “On the structure of the group of equivariant diffeomorphisms”, Topology, 16:3 (1977), 279–283
  4. P. R. Blanchard, “Invariants of the NPT isotopy classes of Morse–Smale diffeomorphisms of surfaces”, Duke Math. J., 47:1 (1980), 33–46
  5. А. Н. Безденежных, В. З. Гринес, “Динамические свойства и топологическая классификация градиентноподобных диффеоморфизмов на двумерных многообразиях. I”, Методы качественной теории дифференциальных уравнений, Горьк. гос. ун-т, Горький, 1984, 22–38
  6. Х. Бонатти, В. З. Гринес, В. С. Медведев, О. В. Починка, “Бифуркации диффеоморфизмов Морса–Смейла с дико вложенными сепаратрисами”, Динамические системы и оптимизация, Сборник статей. К 70-летию со дня рождения академика Дмитрия Викторовича Аносова, Труды МИАН, 256, Наука, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2007, 54–69
  7. В. З. Гринес, О. В. Починка, “О простом изотопическом классе диффеоморфизма “источник-сток” на 3-сфере”, Матем. заметки, 94:6 (2013), 828–845
  8. G. Fleitas, “Replacing tangencies by saddle-nodes”, Bol. Soc. Brasil. Mat., 8:1 (1977), 47–51
  9. J. Franks, “Necessary conditions for stability of diffeomorphisms”, Trans. Amer. Math. Soc., 158:2 (1971), 301–308
  10. И. М. Гельфанд, Лекции по линейной алгебре, 4-е изд., Наука, М., 1971, 271 с.
  11. В. З. Гринес, С. Х. Капкаева, О. В. Починка, “Трехцветный граф как полный топологический инвариант для градиентно-подобных диффеоморфизмов поверхностей”, Матем. сб., 205:10 (2014), 19–46
  12. В. З. Гринес, Е. В. Жужома, В. С. Медведев, О. В. Починка, “Глобальные аттрактор и репеллер диффеоморфизмов Морса–Смейла”, Дифференциальные уравнения и топология. II, Сборник статей. К 100-летию со дня рождения академика Льва Семеновича Понтрягина, Труды МИАН, 271, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2010, 111–133
  13. V. Z. Grines, T. V. Medvedev, O. V. Pochinka, Dynamical systems on 2- and 3-manifolds, Dev. Math., 46, Springer, Cham, 2016, xxvi+295 pp.
  14. М. Хирш, Дифференциальная топология, Мир, М., 1979, 279 с.
  15. M. W. Hirsch, C. C. Pugh, M. Shub, Invariant manifolds, Lecture Notes in Math., 583, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1977, ii+149 pp.
  16. В. И. Лукьянов, Л. П. Шильников, “О некоторых бифуркациях динамических систем с гомоклиническими структурами”, Докл. АН СССР, 243:1 (1978), 26–29
  17. S. Matsumoto, “There are two isotopic Morse–Smale diffeomorphisms which cannot be joined by simple arcs”, Invent. Math., 51:1 (1979), 1–7
  18. J. Milnor, Lectures on the $h$-cobordism theorem, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1965, v+116 pp.
  19. Дж. Милнор, “Топология с дифференциальной точки зрения”: Дж. Милнор, А. Уоллес, Дифференциальная топология. Начальный курс, Мир, М., 1972, 178–262
  20. Дж. Милнор, Теория Морса, М., Мир, 1965, 184 с.
  21. J. Munkres, “Obstructions to the smoothing of piecewise-differentiable homeomorphisms”, Ann. of Math. (2), 72:3 (1960), 521–554
  22. S. Newhouse, J. Palis, F. Takens, “Stable arcs of diffeomorphisms”, Bull. Amer. Math. Soc., 82:3 (1976), 499–502
  23. S. Newhouse, J. Palis, F. Takens, “Bifurcations and stability of families of diffeomorphisms”, Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math., 57 (1983), 5–71
  24. S. Newhouse, M. M. Peixoto, “There is a simple arc joining any two Morse–Smale flows”, Trois etudes en dynamique qualitative, Asterisque, 31, Soc. Math. France, Paris, 1976, 15–41
  25. E. V. Nozdrinova, “Rotation number as a complete topological invariant of a simple isotopic class of rough transformations of a circle”, Нелинейная динам., 14:4 (2018), 543–551
  26. E. V. Nozdrinova, O. V. Pochinka, “On the existence of a smooth arc without bifurcations joining source-sink diffeomorphisms on the 2-sphere”, J. Phys. Conf. Ser., 990 (2018), 012010, 7 pp.
  27. E. Nozdrinova, O. Pochinka, “Solution of the 33rd Palis–Pugh problem for gradient-like diffeomorphisms of a two-dimensional sphere”, Discrete Contin. Dyn. Syst., 41:3 (2021), 1101–1131
  28. Ж. Палис, В. Ди Мелу, Геометрическая теория динамических систем. Введение, Мир, М., 1986, 299 с.
  29. J. Palis, C. C. Pugh, “Fifty problems in dynamical systems”, Dynamical systems – Warwick 1974, Proc. Sympos. Appl. Topology and Dynamical Systems, presented to E. C. Zeeman on his fiftieth birthday (Univ. Warwick, Coventry, 1973/1974), Lecture Notes in Math., 468, Springer, Berlin, 1975, 345–353
  30. D. Pixton, “Wild unstable manifolds”, Topology, 16:2 (1977), 167–172
  31. D. Rolfsen, Knots and links, Math. Lecture Ser., 7, Publish or Perish, Inc., Berkeley, CA, 1976, ix+439 pp.
  32. S. Smale, “Diffeomorphisms of the 2-sphere”, Proc. Amer. Math. Soc., 10 (1959), 621–626

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2022 Nozdrinova E.V., Pochinka O.V.

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).